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2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a6•a2＝a12
C．（﹣2a2）2＝4a4 D．b3•b3＝2b3
3．（3分）若分式x-3x+3的值为零，则x的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
4．（3分）如图所示，已知AB＝CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC≌△DCB（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠ACB C．AC＝BD D．BC＝CD
5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
C．x2+2x+1＝（x﹣1）2 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
6．（3分）计算mm-1+11-m等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．m+1m-1 D．m-1m+1
7．（3分）甲、乙两人分别从距离目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地．设甲的速度为2xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．62x=103x+2060 B．103x=62x+2060
C．63x=102x+2060 D．62x=103x+20
8．（3分）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
9．（3分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．23 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，将0.000000102用科学记数法表示为 ．
12．（3分）若分式2x-1有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）解分式方程5x=7x-2，其根为 ．
14．（3分）若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
15．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝ ．
16．（3分）若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（a3）2÷a﹣a2•a3；
（2）（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣y）．
18．（8分）分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）3m（m﹣n）﹣6n（m﹣n）．
19．（8分）如图，AB⊥BE，CD⊥DF，垂足分别为B、D，∠1＝∠2，A、F、E、C四点共线且AF＝CE．求证：AB＝CD．
20．（8分）先化简，再求值：x-2x2-1÷x-2x2+2x+1-（1x-1+1），其中，x=75．
21．（8分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点．点A、C、G、H在格点上，将点A先向右移动5格，再向上移动2格后得到点B，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，保留画图过程的痕迹，并回答问题：
（1）在网格中标注点B，并连接AB；
（2）在网格中找格点D，使得GD∥AB且GD＝AB；
（3）在网格中找格点E，使得CE⊥AB，垂足为F；
（4）在线段GH上找一点M，使得∠AMG＝∠BMH．
22．（10分）某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成．
（1）求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料；
（2）现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数）
23．（10分）等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点M与点N分别在直线BC和AB上，且始终满足∠MDN＝120°．
（1）如图1，当DN⊥AB时，求证：DM⊥BC；
（2）如图2，当点M与点N分别在线段BC和AB上时，求BM+BN的值；
（3）如图3，当点M与点N分别在线段BC和AB的延长线上时，求BM﹣BN的值．
24．（12分）△ABC、△DPC都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AP＝BD；
（2）如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a6•a2＝a12
C．（﹣2a2）2＝4a4 D．b3•b3＝2b3
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、a6•a2＝a8，故B不符合题意；
C、（﹣2a2）2＝4a4，故C符合题意；
D、b3•b3＝b6，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）若分式x-3x+3的值为零，则x的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【解答】解：由分子x﹣3＝0解得：x＝3，
而当x＝3时，分母x+3＝3+3＝6≠0，
故x＝3．
故选：A．
4．（3分）如图所示，已知AB＝CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC≌△DCB（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠ACB C．AC＝BD D．BC＝CD
【解答】解：A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ABC＝∠ACB不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BC＝CD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
C．x2+2x+1＝（x﹣1）2 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
【解答】解：A．a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘多项式，故不符合题意；
B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3是多项式乘多项式，故不符合题意；
C．x2+2x+1＝（x+1）2，因式分解错误，不符合题意；
D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意；
故选：D．
6．（3分）计算mm-1+11-m等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．m+1m-1 D．m-1m+1
【解答】解：mm-1+11-m
=mm-1-1m-1
=m-1m-1
＝1，
故选：B．
7．（3分）甲、乙两人分别从距离目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地．设甲的速度为2xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．62x=103x+2060 B．103x=62x+2060
C．63x=102x+2060 D．62x=103x+20
【解答】解：设甲的速度为2xkm/h，则乙的速度为3xkm/h．
根据题意，得103x=62x+2060．
故选：B．
8．（3分）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【解答】解：图中阴影部分面积可以表示为：a2﹣b2，
还可以表示为：2×(a+b)(a-b)2=（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
9．（3分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：如图所示：
分三种情况：
①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置；
②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置；
③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，
故选：B．
10．（3分）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．23 B．4 C．6 D．8
【解答】解：连接BE并延长交AC延长线于F，
∵∠ACB＝120°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∵∠DCE＝120°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∵CB为定直线，∠CBE＝30°为定值，
∴当D在直线AB上运动时，E也在定直线上运动，
当AE⊥BE时，AE最小，
∵∠CAB＝30°＝∠ABC＝∠CBE，
∴∠AFB＝90°，
∴当E与F重合时，AE最小，在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF=12CB=2，
∴AF＝AC+CF＝6，
∴AE的最小值为AF＝6，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，将0.000000102用科学记数法表示为 1.02×10﹣7 ．
【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7．
故答案为：1.02×10﹣7．
12．（3分）若分式2x-1有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
13．（3分）解分式方程5x=7x-2，其根为 x＝﹣5 ．
【解答】解：方程两边去分母得：5（x﹣2）＝7x，
整理解得x＝﹣5．
检验得x＝﹣5是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣5．
14．（3分）若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 36°或108° ．
【解答】解：分两种情况：
当36°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣36°×2＝108°；
当30°的角是顶角时，则顶角为36°．
故答案为：36°或108°．
15．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝ 8 ．
【解答】解：如图，连接OA．
设AB＝x，则AC＝AB＝x．
∵S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴12AB•OE+12AC•OF＝12，即12x×3＝12，
解得x＝8，
所以AB＝8．
故答案为：8．
16．（3分）若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝ 4041 ．
【解答】解：设x＝2022﹣a，y＝2021﹣a，
∴xy＝2020，x﹣y＝2022﹣a﹣2021+a＝1，
∴（2022﹣a）2+（2021﹣a）2
＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×2020
＝4041．
故答案为：4041．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（a3）2÷a﹣a2•a3；
（2）（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣y）．
【解答】解：（1）原式＝a6÷a﹣a5
＝a5﹣a5
＝0；
（2）原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣y2
＝2x2﹣4xy+3y2．
18．（8分）分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）3m（m﹣n）﹣6n（m﹣n）．
【解答】解：（1）原式＝（a2+4）（a2﹣4）
＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝3（m﹣n）（m﹣2n）．
19．（8分）如图，AB⊥BE，CD⊥DF，垂足分别为B、D，∠1＝∠2，A、F、E、C四点共线且AF＝CE．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF+FE＝CE+FE，
即AE＝CF，
∵AB⊥BE，CD⊥DF，
∴∠B＝∠D＝90°，
在△ABE与△DCF中，
∠B=∠D∠1=∠2AE=CF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD．
20．（8分）先化简，再求值：x-2x2-1÷x-2x2+2x+1-（1x-1+1），其中，x=75．
【解答】解：x-2x2-1÷x-2x2+2x+1-（1x-1+1）
=x-2(x+1)(x-1)•(x+1)2x-2-1x-1-1
=x+1x-1-1x-1-x-1x-1
=x+1-1-x+1x-1
=1x-1，
当x=75时，原式=175-1=52．
21．（8分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点．点A、C、G、H在格点上，将点A先向右移动5格，再向上移动2格后得到点B，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，保留画图过程的痕迹，并回答问题：
（1）在网格中标注点B，并连接AB；
（2）在网格中找格点D，使得GD∥AB且GD＝AB；
（3）在网格中找格点E，使得CE⊥AB，垂足为F；
（4）在线段GH上找一点M，使得∠AMG＝∠BMH．
【解答】解：（1）如图，线段AB即为所求；
（2）如图，线段DG即为所求；
（3）如图，线段CE，点F即为所求；
（4）如图，点M即为所求．
22．（10分）某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成．
（1）求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料；
（2）现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数）
【解答】解：（1）设B种型号的机器人每天搬运x吨化工原料，则A种型号的机器人每天搬运2x吨化工原料，
根据题意得：3002x+3=300x，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的根，
此时2x＝100，
答：A种型号的机器人每天搬运100吨化工原料，B种型号的机器人每天搬运50吨化工原料；
（2）设B型机器人工作b天，则A型机器人需要工作（536-50b100）天，
由题意得：150×536-50b100+65b≤740，
整理得：3（536﹣50b）+130b≤1480，
解得：b≥6.4，
∵b为整数，
∴b最小为7，
如果B机器人工作7天的，A机器人需工作（536﹣50×7）÷100约2天，
总费用为65×7+150×2＝755＞740，
B机器人工 作8天的话，A机器人工作天数为整数，还是需要2天，
B机器人工作9天的话，A机器人只需要工作1天，
总费用为65×9+150＝735，符合要求
答：至少安排B型机器人工作9天．
23．（10分）等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点M与点N分别在直线BC和AB上，且始终满足∠MDN＝120°．
（1）如图1，当DN⊥AB时，求证：DM⊥BC；
（2）如图2，当点M与点N分别在线段BC和AB上时，求BM+BN的值；
（3）如图3，当点M与点N分别在线段BC和AB的延长线上时，求BM﹣BN的值．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵△ABC时等边三角形，AD＝DC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵DN⊥AB，
∴∠DNB＝90°，
∴∠BDN＝90°﹣30°＝60°，
∵∠MDN＝120°，
∴∠BDM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴DM⊥BC；
（2）解：如图2中，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接BD．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵∠ABC＝60°，∠DEB＝∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∵∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠NDE＝∠MDF，
∵∠DEN＝∠DFM＝90°，
∴△DEN≌△DFM（ASA），
∴EN＝FM，
∵∠DBE＝∠DBF，BD＝BD，∠DEB＝∠DFB，
∴△DEB≌△DFB（AAS），
∴BE＝BF，
∴BM+BN＝BF+FM+BE﹣EN＝2BE，
∵AD＝DC＝3，∠BDA＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD=3AD＝33，
∴BE＝BD•cos30°＝33×32=92，
∴BM+BN＝2BE＝9．
（3）解：如图3中，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
同法可证，BE＝BF，EN＝FM，
∴BM﹣BN＝BF+FM﹣（EN﹣EB）＝2BE＝9．
24．（12分）△ABC、△DPC都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AP＝BD；
（2）如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝60°，
∴∠BCD＝∠ACP，
在△BCD和△ACP中，
CB=CA∠BCD=∠ACPCD=CP，
∴△BCD≌△ACP（SAS），
∴BD＝AP；
（2）①证明：如图2中，延长PM到K，使得MK＝PM，连接CK．
∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
在△AMP和△CMK中，
MA=MC∠AMP=∠CMKMP=MK，
∴△AMP≌△CMK（SAS），
∴MP＝MK，AP＝CK，∠APM＝∠K＝90°，
同法可证△BCD≌△ACP，
∴BD＝PA＝CK，
∵PB＝2PM，
∴PB＝PK，
∵PD＝PC，
∴△PDB≌△PCK（SSS），
∴∠PBD＝∠K＝90°，
∴PB⊥BD．
②解：结论：PC＝2PA．
∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB＝∠CPK，
设∠DPB＝∠CPK＝x，则∠BDP＝90°﹣x，
∵∠APC＝∠CDB，
∴90°+x＝60°+90°﹣x，
∴x＝30°，
∴∠DPB＝30°，
∵∠PBD＝90°，
∴PD＝2BD，
∵PC＝PD，BD＝PA，
∴PC＝2PA．
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a6•a2＝a12
C．（﹣2a2）2＝4a4 D．b3•b3＝2b3
3．（3分）若分式x-3x+3的值为零，则x的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
4．（3分）如图所示，已知AB＝CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC≌△DCB（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠ACB C．AC＝BD D．BC＝CD
5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
C．x2+2x+1＝（x﹣1）2 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
6．（3分）计算mm-1+11-m等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．m+1m-1 D．m-1m+1
7．（3分）甲、乙两人分别从距离目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地．设甲的速度为2xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．62x=103x+2060 B．103x=62x+2060
C．63x=102x+2060 D．62x=103x+20
8．（3分）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
9．（3分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．23 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，将0.000000102用科学记数法表示为 ．
12．（3分）若分式2x-1有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）解分式方程5x=7x-2，其根为 ．
14．（3分）若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
15．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝ ．
16．（3分）若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（a3）2÷a﹣a2•a3；
（2）（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣y）．
18．（8分）分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）3m（m﹣n）﹣6n（m﹣n）．
19．（8分）如图，AB⊥BE，CD⊥DF，垂足分别为B、D，∠1＝∠2，A、F、E、C四点共线且AF＝CE．求证：AB＝CD．
20．（8分）先化简，再求值：x-2x2-1÷x-2x2+2x+1-（1x-1+1），其中，x=75．
21．（8分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点．点A、C、G、H在格点上，将点A先向右移动5格，再向上移动2格后得到点B，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，保留画图过程的痕迹，并回答问题：
（1）在网格中标注点B，并连接AB；
（2）在网格中找格点D，使得GD∥AB且GD＝AB；
（3）在网格中找格点E，使得CE⊥AB，垂足为F；
（4）在线段GH上找一点M，使得∠AMG＝∠BMH．
22．（10分）某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成．
（1）求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料；
（2）现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数）
23．（10分）等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点M与点N分别在直线BC和AB上，且始终满足∠MDN＝120°．
（1）如图1，当DN⊥AB时，求证：DM⊥BC；
（2）如图2，当点M与点N分别在线段BC和AB上时，求BM+BN的值；
（3）如图3，当点M与点N分别在线段BC和AB的延长线上时，求BM﹣BN的值．
24．（12分）△ABC、△DPC都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AP＝BD；
（2）如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a6•a2＝a12
C．（﹣2a2）2＝4a4 D．b3•b3＝2b3
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、a6•a2＝a8，故B不符合题意；
C、（﹣2a2）2＝4a4，故C符合题意；
D、b3•b3＝b6，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）若分式x-3x+3的值为零，则x的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【解答】解：由分子x﹣3＝0解得：x＝3，
而当x＝3时，分母x+3＝3+3＝6≠0，
故x＝3．
故选：A．
4．（3分）如图所示，已知AB＝CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC≌△DCB（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠ACB C．AC＝BD D．BC＝CD
【解答】解：A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ABC＝∠ACB不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BC＝CD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
C．x2+2x+1＝（x﹣1）2 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
【解答】解：A．a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘多项式，故不符合题意；
B．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3是多项式乘多项式，故不符合题意；
C．x2+2x+1＝（x+1）2，因式分解错误，不符合题意；
D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意；
故选：D．
6．（3分）计算mm-1+11-m等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．m+1m-1 D．m-1m+1
【解答】解：mm-1+11-m
=mm-1-1m-1
=m-1m-1
＝1，
故选：B．
7．（3分）甲、乙两人分别从距离目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地．设甲的速度为2xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．62x=103x+2060 B．103x=62x+2060
C．63x=102x+2060 D．62x=103x+20
【解答】解：设甲的速度为2xkm/h，则乙的速度为3xkm/h．
根据题意，得103x=62x+2060．
故选：B．
8．（3分）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【解答】解：图中阴影部分面积可以表示为：a2﹣b2，
还可以表示为：2×(a+b)(a-b)2=（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
9．（3分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：如图所示：
分三种情况：
①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置；
②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置；
③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，
故选：B．
10．（3分）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．23 B．4 C．6 D．8
【解答】解：连接BE并延长交AC延长线于F，
∵∠ACB＝120°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∵∠DCE＝120°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∵CB为定直线，∠CBE＝30°为定值，
∴当D在直线AB上运动时，E也在定直线上运动，
当AE⊥BE时，AE最小，
∵∠CAB＝30°＝∠ABC＝∠CBE，
∴∠AFB＝90°，
∴当E与F重合时，AE最小，在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF=12CB=2，
∴AF＝AC+CF＝6，
∴AE的最小值为AF＝6，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，将0.000000102用科学记数法表示为 1.02×10﹣7 ．
【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7．
故答案为：1.02×10﹣7．
12．（3分）若分式2x-1有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
13．（3分）解分式方程5x=7x-2，其根为 x＝﹣5 ．
【解答】解：方程两边去分母得：5（x﹣2）＝7x，
整理解得x＝﹣5．
检验得x＝﹣5是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣5．
14．（3分）若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 36°或108° ．
【解答】解：分两种情况：
当36°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣36°×2＝108°；
当30°的角是顶角时，则顶角为36°．
故答案为：36°或108°．
15．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝ 8 ．
【解答】解：如图，连接OA．
设AB＝x，则AC＝AB＝x．
∵S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴12AB•OE+12AC•OF＝12，即12x×3＝12，
解得x＝8，
所以AB＝8．
故答案为：8．
16．（3分）若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝ 4041 ．
【解答】解：设x＝2022﹣a，y＝2021﹣a，
∴xy＝2020，x﹣y＝2022﹣a﹣2021+a＝1，
∴（2022﹣a）2+（2021﹣a）2
＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×2020
＝4041．
故答案为：4041．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（a3）2÷a﹣a2•a3；
（2）（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣y）．
【解答】解：（1）原式＝a6÷a﹣a5
＝a5﹣a5
＝0；
（2）原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣y2
＝2x2﹣4xy+3y2．
18．（8分）分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）3m（m﹣n）﹣6n（m﹣n）．
【解答】解：（1）原式＝（a2+4）（a2﹣4）
＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝3（m﹣n）（m﹣2n）．
19．（8分）如图，AB⊥BE，CD⊥DF，垂足分别为B、D，∠1＝∠2，A、F、E、C四点共线且AF＝CE．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF+FE＝CE+FE，
即AE＝CF，
∵AB⊥BE，CD⊥DF，
∴∠B＝∠D＝90°，
在△ABE与△DCF中，
∠B=∠D∠1=∠2AE=CF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD．
20．（8分）先化简，再求值：x-2x2-1÷x-2x2+2x+1-（1x-1+1），其中，x=75．
【解答】解：x-2x2-1÷x-2x2+2x+1-（1x-1+1）
=x-2(x+1)(x-1)•(x+1)2x-2-1x-1-1
=x+1x-1-1x-1-x-1x-1
=x+1-1-x+1x-1
=1x-1，
当x=75时，原式=175-1=52．
21．（8分）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点．点A、C、G、H在格点上，将点A先向右移动5格，再向上移动2格后得到点B，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，保留画图过程的痕迹，并回答问题：
（1）在网格中标注点B，并连接AB；
（2）在网格中找格点D，使得GD∥AB且GD＝AB；
（3）在网格中找格点E，使得CE⊥AB，垂足为F；
（4）在线段GH上找一点M，使得∠AMG＝∠BMH．
【解答】解：（1）如图，线段AB即为所求；
（2）如图，线段DG即为所求；
（3）如图，线段CE，点F即为所求；
（4）如图，点M即为所求．
22．（10分）某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成．
（1）求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料；
（2）现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数）
【解答】解：（1）设B种型号的机器人每天搬运x吨化工原料，则A种型号的机器人每天搬运2x吨化工原料，
根据题意得：3002x+3=300x，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的根，
此时2x＝100，
答：A种型号的机器人每天搬运100吨化工原料，B种型号的机器人每天搬运50吨化工原料；
（2）设B型机器人工作b天，则A型机器人需要工作（536-50b100）天，
由题意得：150×536-50b100+65b≤740，
整理得：3（536﹣50b）+130b≤1480，
解得：b≥6.4，
∵b为整数，
∴b最小为7，
如果B机器人工作7天的，A机器人需工作（536﹣50×7）÷100约2天，
总费用为65×7+150×2＝755＞740，
B机器人工 作8天的话，A机器人工作天数为整数，还是需要2天，
B机器人工作9天的话，A机器人只需要工作1天，
总费用为65×9+150＝735，符合要求
答：至少安排B型机器人工作9天．
23．（10分）等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点M与点N分别在直线BC和AB上，且始终满足∠MDN＝120°．
（1）如图1，当DN⊥AB时，求证：DM⊥BC；
（2）如图2，当点M与点N分别在线段BC和AB上时，求BM+BN的值；
（3）如图3，当点M与点N分别在线段BC和AB的延长线上时，求BM﹣BN的值．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵△ABC时等边三角形，AD＝DC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵DN⊥AB，
∴∠DNB＝90°，
∴∠BDN＝90°﹣30°＝60°，
∵∠MDN＝120°，
∴∠BDM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴DM⊥BC；
（2）解：如图2中，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接BD．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵∠ABC＝60°，∠DEB＝∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∵∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠NDE＝∠MDF，
∵∠DEN＝∠DFM＝90°，
∴△DEN≌△DFM（ASA），
∴EN＝FM，
∵∠DBE＝∠DBF，BD＝BD，∠DEB＝∠DFB，
∴△DEB≌△DFB（AAS），
∴BE＝BF，
∴BM+BN＝BF+FM+BE﹣EN＝2BE，
∵AD＝DC＝3，∠BDA＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD=3AD＝33，
∴BE＝BD•cos30°＝33×32=92，
∴BM+BN＝2BE＝9．
（3）解：如图3中，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
同法可证，BE＝BF，EN＝FM，
∴BM﹣BN＝BF+FM﹣（EN﹣EB）＝2BE＝9．
24．（12分）△ABC、△DPC都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AP＝BD；
（2）如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝60°，
∴∠BCD＝∠ACP，
在△BCD和△ACP中，
CB=CA∠BCD=∠ACPCD=CP，
∴△BCD≌△ACP（SAS），
∴BD＝AP；
（2）①证明：如图2中，延长PM到K，使得MK＝PM，连接CK．
∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
在△AMP和△CMK中，
MA=MC∠AMP=∠CMKMP=MK，
∴△AMP≌△CMK（SAS），
∴MP＝MK，AP＝CK，∠APM＝∠K＝90°，
同法可证△BCD≌△ACP，
∴BD＝PA＝CK，
∵PB＝2PM，
∴PB＝PK，
∵PD＝PC，
∴△PDB≌△PCK（SSS），
∴∠PBD＝∠K＝90°，
∴PB⊥BD．
②解：结论：PC＝2PA．
∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB＝∠CPK，
设∠DPB＝∠CPK＝x，则∠BDP＝90°﹣x，
∵∠APC＝∠CDB，
∴90°+x＝60°+90°﹣x，
∴x＝30°，
∴∠DPB＝30°，
∵∠PBD＝90°，
∴PD＝2BD，
∵PC＝PD，BD＝PA，
∴PC＝2PA．
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