数学人教B版 (2019)5.3.1 等比数列课后练习题

这是一份数学人教B版 (2019)5.3.1 等比数列课后练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在等比数列{an}中，a2 018＝8a2 017，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
3．等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，若q2＝4，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)的值为( )
A.eq \f(1,2) B．±eq \f(1,2)
C．2 D．±2
4．在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝24－n B．an＝2n－4
C．an＝2n－3 D．an＝23－n
二、填空题
5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4aeq \\al(2,7)，则a3＝________.
7．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为________．
三、解答题
8．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
9．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
1．解析：由等比数列的定义知q＝eq \f(a2 018,a2 017)＝8.
答案：D
2．解析：已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3或－3(舍去)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
答案：B
3．解析：由q2＝4得q＝±2，因为数列{an}各项均为正数，所以q＝2.
又因为a4＝a3q，a5＝a4q，所以a4＋a5＝a3q＋a4q＝(a3＋a4)q，
所以eq \f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq \f(1,q)＝eq \f(1,2).
答案：A
4．解析：设公比为q，则eq \f(a4＋a6,a1＋a3)＝q3＝eq \f(\f(5,4),10)＝eq \f(1,8)，所以q＝eq \f(1,2)，又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，所以a1＝8，所以an＝8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝24－n.
答案：A
5．解析：由已知得eq \f(a10,a3)＝eq \f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
6．解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得aeq \\al(2,5)＝4·aeq \\al(2,5)q4.
∴q4＝eq \f(1,4)，q2＝eq \f(1,2)，
∴a3＝a1q2＝2×eq \f(1,2)＝1.
答案：1
7．解析：∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝eq \f(a4,q3)＝eq \f(1,4)，
∴an＝eq \f(1,4)·2n－1＝2n－3，∴lg an＝(n－3)lg 2.
答案：lg an＝(n－3)lg 2
8．解析：法一：因为a1a3＝aeq \\al(2,2)，
a1a2a3＝aeq \\al(3,2)＝8，所以a2＝2.
从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝5，,a1a3＝4，))
解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝eq \f(1,2).
故an＝2n－1或an＝23－n.
法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.
代入已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＋a1q2＝7，,a1·a1q·a1q2＝8，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＋q2＝7，,a\\al(3,1)q3＝8，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＋q2＝7， ①,a1q＝2. ②))
将a1＝eq \f(2,q)代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝eq \f(1,2).
由②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))
故an＝2n－1或an＝23－n.
9．解析：(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2n＋1,n)an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，(构造法 )即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
10．解析：(1)法一：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N＋)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
法二：由a1＝1，
知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
因为eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(2an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,an＋1)＝2(n∈N＋)，
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.