数学选择性必修 第三册5.3.1 等比数列同步测试题

这是一份数学选择性必修 第三册5.3.1 等比数列同步测试题，共10页。

第五章培优课❷　等比数列习题课
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=24-n B.an=2n-4
C.an=2n-3 D.an=23-n
2.[探究点一]在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则数列{an}的前8项和为(　　)
A.90 B.30(+1)
C.45(+1) D.72
3.[探究点四]已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1+1,则数列{an}的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为(　　)
A. B.2 C. D.
4.[探究点一]已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a3与S2分别为方程x2+3x-4=0的两个根,则S5=(　　)
A.-11 B.8 C.15 D.-15
5.[探究点四](多选题)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,则下列说法正确的是(　　)
A.a5=-16
B.S5=-63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn+1}是等比数列
6.[探究点四](多选题)[2023黑龙江一模]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1+a,则下列说法正确的是(　　)
A.a=-2
B.a=-1
C.a1a2+a2a3+…+a10a11=
D.a1a2+a2a3+…+a10a11=
7.[探究点三·2023江苏南京高二期中]已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an-2,则an=　　　　　. 
8.[探究点四]已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N+,有2Sn=3an-2,则a1=　　　　　;Sn=　　　　　. 
9.[探究点二·2023甘肃临夏高二阶段练习]在等差数列{an}中,已知a3=4,a5+a8=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=an·,求数列{cn}的前n项和Tn.













B级 关键能力提升练
10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(　　)
A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1
11.数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(多选题)[2023江西鹰潭贵溪第一中学高二阶段练习]已知数列{an},下列结论正确的有(　　)
A.若a1=2,an+1=an+n+1,则a20=211
B.若a1=1,an+1=3an+2,则a4=53
C.若Sn=3n+,则数列{an}是等比数列
D.若a1=1,an+1=,则a5=
13.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn 14.[2023山西太原高三期中]设等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+2,则an=　　　　　. 
15.[2023广西南宁高二期末]已知数列{an}的前n项和Sn,且满足Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=2n+1,求数列{an·bn}的前n项和Tn.












16.已知数列{an},用a1,a2,a3,…,an,…构造一个新数列a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列.求:
(1)数列{an}的通项;
(2)数列{an}的前n项和Sn.














17.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an.设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b1≠0,2bn-b1=S1Sn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn·log3an,求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)证明对任意n∈N+且n≥2,有+…+.











C级 学科素养创新练
18.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.

培优课❷　等比数列习题课
1.A　设{an}的公比为q,由a1+a3=10,a4+a6=,可得
两式相除可得q3=,即q=,
代入可求得a1=8=23,
所以an=23·n-1=24-n.
2.A　∵数列{an}是等比数列,
∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列.
∵a1+a2=6,a3+a4=12,
∴a5+a6=24,a7+a8=48,
∴前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故选A.
3.C　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2,又a1=S1=2,即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,所以数列{an}的前10项中S偶==341,S奇=2+=172,所以.故选C.
4.A　设{an}的公比为q.
由x2+3x-4=0解得x=1或-4.
∵a3与S2分别为方程x2+3x-4=0的两个根,
∴
①当时,无解,不符合题意;
②当时,解得
∴S5==-11.
故选A.
5.AC　因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,
所以S1=2a1+1,因此a1=-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;
因此,a5=-1×24=-16,故A正确;
又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;
因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.
故选AC.
6.AD　当n=1时,a1=S1=4+a.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n.
因为{an}是等比数列,所以a1=21=4+a,
所以a=-2,an=2n(n∈N+),故A正确,B错误;
因为=4,a1a2=21×22=8,
所以数列{anan+1}是以8为首项,4为公比的等比数列,
所以a1a2+a2a3+…+a10a11=,故C错误,D正确.
故选AD.
7.2·3n-1+1　因为an+1=3an-2,
所以an+1-1=3(an-1).
又a1-1=2,所以{an-1}是一个以2为首项,以3为公比的等比数列,
所以an-1=2·3n-1,an=2·3n-1+1.
8.2　3n-1　令n=1,则2S1=3a1-2,得a1=2;
当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,
2an=2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,即当n≥2时,an=3an-1.
又a1=2,
故数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,
∴Sn==3n-1.
9.解(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知
即
解得所以an=2+(n-1)×1=n+1.
(2)由(1)知cn=an·=(n+1)·2n+1,
所以Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1, ①
则2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1+(n+1)×2n+2, ②
①-②得-Tn=2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2=4+-(n+1)×2n+2=-n×2n+2,
所以Tn=n·2n+2.
10.D　设数列{an}的公比为q,∵
∴
=2,解得q=.
代入①得a1=2,∴an=2×,
∴Sn==4,
∴=2n-1.故选D.
11.C　∵am+n=aman,
令m=1,∴an+1=a1an=2an,
∴=2,∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an=2n.
∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10=2k+1·=2k+11-2k+1=215-25.
∴=1,即2k-4=1,解得k=4.
12.AB　选项A,由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,
则a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+…+2+2=211,故A正确;
选项B,由an+1=3an+2得an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,
则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1,所以a4=2×33-1=53,故B正确;
选项C,当n=1时,a1=S1=3+;
当n=2时,a2=S2-S1=9+-3+=6;
当n=3时,a3=S3-S2=27+-9+=18.
显然≠a1a3,所以数列{an}不是等比数列,故C错误;
选项D,由an+1=,a1≠0,可得,
所以数列是以=1为首项,为公差的等差数列,
所以=1+(n-1)=,则=3,即a5=,故D错误.
故选AB.
13.　令m=1,则=a1,
由a1=,知an+1=an,
∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.
∴Sn=.
由Sn 14.2n　因为an+1=Sn+2,
所以当n≥2时,an=Sn-1+2,
所以an+1-an=(Sn+2)-(Sn-1+2)=an,即an+1=2an,
所以等比数列{an}的公比为2,
所以当n=1时,a2=S1+2=a1+2,
即2a1=a1+2,解得a1=2,
所以an=2·2n-1=2n.
15.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,解得a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,则an=2an-1,
所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以an=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)得an·bn=(2n+1)·2n-1,
所以Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1, ①
2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n, ②
①-②得-Tn=3×20+2×21+2×22+…+2×2n-2+2×2n-1-(2n+1)×2n=3×20+2×(21+22+…+2n-2+2n-1)-(2n+1)×2n=3+2×-(2n+1)×2n=3-4+2n+1-(2n+1)×2n=-1+(1-2n)×2n,
所以Tn=1+(2n-1)·2n.
16.解(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1++…+1-.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=+…+1-=n-n-(2n-1)+.
17.(1)解∵an+1=3an,
∴数列{an}是公比为3,首项为1的等比数列,
∴an=3n-1.
∵2bn-b1=S1Sn,
∴当n=1时,2b1-b1=S1S1.
∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1,∴Sn=2bn-1.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2bn-2bn-1,
∴bn=2bn-1,
∴数列{bn}是公比为2,首项为1的等比数列,
∴bn=2n-1.
(2)解cn=bn·log3an=2n-1log33n-1=(n-1)2n-1,
Tn=0×20+1×21+2×22+…+(n-2)2n-2+(n-1)2n-1, ①
2Tn=0×21+1×22+2×23+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n, ②
①-②得-Tn=21+22+23+…+2n-1-(n-1)2n=2n-2-(n-1)2n=-2-(n-2)2n,
∴Tn=(n-2)2n+2.
(3)证明当n≥2时,,
+…++…+.
18.(1)解当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
即4×+5×=8×1++1,解得a4=.
(2)证明∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),
∴4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),
即4an+2+an=4an+1(n≥2).
∵当n=1时,4a3+a1=4×+1=6=4a2,
∴当n=1时,4an+2+an=4an+1成立.
∵,∴数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.
(3)解由(2),知an+1-an=,即=4,
∴数列是以=2为首项,4为公差的等差数列,
∴=2+(n-1)×4=4n-2,
即an=(4n-2)×=(2n-1)×,
∴数列{an}的通项公式是an=(2n-1)×.