高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列精品课件ppt

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5.3.1 等比数列                  本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习等比数列.数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A. 理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列.B.掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念.C.掌握等比数列的性质,并能利用它解决有关等比数列的问题.D.了解等比数列与指数函数的关系.1.数学抽象：等比数列的定义2.逻辑推理：等比数列通项公式的推导3.数学运算：等比数列的运用4.数学建模： 等比数列的函数特征  重点：等比数列定义及其性质 难点：等比数列的函数特征及综合运用多媒体  教学过程教学设计意图核心素养目标一、    情景导学问题1. 观察下列情景中的数列，回答后面的问题.       如图所示，有些细胞在分裂时，会中1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列，1，2，4，8，16，32，…   ①
《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列，…②（1）数列①②③在数学中都称为等比数列，它们有什么共同点?你能给等比数列      下一个定义吗？
（2）你能总结出数列①②③的通项公式并得出一般等比数列的通项公式吗？      我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这5年中,每年年底的本息和构成数列
1000×1.03, 1000× ，…,1000×.③    不难看出，上述数列①②③的共同特点是 ：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数.具体地，数列① 从第2项起每一项与它前一项之比都等于2；数列 ②从第2项起每一项与它前一项之比都等于；数列 ②从第2项起每一项与它前一项之比都等于1.03.                                           1.等比数列的定义   一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )． 符号语言：                                    ． 探究1.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义，可得,即 所以 = ==,……由此可归纳出等比数列的通项公式为另外，注意到由等比数列定义可得,,………,,将这个式子两边分别相乘，则有因此同样可得等比数列的通项公式为2.等比数列的通项公式一般地,若等比数列{an}的首项为a1,公比为,则通项公式为：.点睛： 等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1, ,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.二、典例解析例1.判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由.（1）1,10,100,1000,10000；（2）0,1,2,4,8；（3）1， .解：（1）因为=10，所以是等比数列，且公比为10.（2）因为没有意义，因此不是等比数列.（3）因为=，所以是等比数列，且公比为.例2.已知等比数列{an} 的首项为a1 =27，公比（1）求a8 ；（2） 判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.解：（1）由等比数列的通项公式可知为=（2）设18是数列中的第 项，则=18，化简得=2因为这个方程无正整数解，所以所以18不是数列中的项.对等比数列的几点说明(1)等比数列的每一项均不为0.(2)从“第2项起”是因为首项没有“前一项”.(3)公比q是每一项与它前一项的比,求公比q时不要将相邻两项比的顺序颠倒.(4)在等比数列{an}中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得另一个量.(5)数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn,其中k,q是不为0的常数.跟踪训练1. 在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.解:(1)(方法一)因为所以由,得q3=4,从而q=,而a1q3=2,于是a1=,所以an=a1qn-1=.(方法二)因为a7=a4q3,所以q3=4.所以an=a4qn-4=2·()n-4=.(2)(方法一)因为由,得q=,从而a1=32.又an=1,所以32=1,即26-n=20,所以n=6.(方法二)因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.探究2.在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关?因为,所以如果记则可以看出，而且;（1）当公比q时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公比为1的等比数列是常数列）；
（2）公比q时，是，此时，的增减性即与也与依有关.例3.已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由.事实上,可以证明数列{an}是等比数列的充要条件是其中都是不为0的常数.解：因为所以数列{an}是等比数列,且公比为2.例4.已知等比数列{an}的公比为求证:对于任意的正整数有解:设等比数列的首项为,则两式相除，整理可得即例5.已知等比数列{an}中，, 求.
解:设等比数列的首项为,则解得 ,3，因此探究3.如果G为与的等比中项，那么G能用与表示出来吗根据等比中项与等比数列的定义可知，因此= 例6.已知数列{an}中，在时恒成立，求证： {an}是等比数列.证明：根据题意有，因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列.探究4.设数列{an}的通项公式为，求出 并比较它们的大小。你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？因为，一般地，如果{an}是等比数列， 而且正整数+t=p+q，则asat=apaq.特别地，如果2=p+q，则2as=apaq.例7.在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。解：（方法一）依题意，, 由等比数列的通项公式，得解得当时，插入的3个数分别为当时，插入的3个数分别为因此插入的3个数分别为或（方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，，又因为所以即，类似地，有而且与同号，因此；当 =2时， =；当 = 2时， = ；因此插入的3个数分别为或1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.解法1：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.        通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等比数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。                       通过等比数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。                            通过典型例题，加深学生对等比数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素                                      通过典型例题，加深学生对等比数列函数特征的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素  三、达标检测1.给出下列命题:①若,则-a,b,-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac,则a,b,c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数),则{an}是等比数列.其中正确的命题有(　　)A.0个     B.1个        C.2个      D.3个解析:①显然正确;②中当abc=0时不成立;③中当q=0时不成立.故选B.答案:B2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(　　)A.-24    B.0     C.12         D.24解析:由题意得,(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项分别为-3,-6,-12,故第四项为-24.答案:A3.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=(　　)A.56     B.72      C.88       D.40解析:由已知,得=a1a9,a1=2,故(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=2或d=0(舍),故an=2+(n-1)×2=2n,S8==4(2+2×8)=72.答案:B 4.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为　　　　　. 解析:∵an+1=3Sn,①∴an=3Sn-1(n≥2).②①-②,得an+1-an=3an,即=4(n≥2).又a2=3,a1=1,∴=3,∴an=3×4n-2(n≥2).当n=1时,3×41-2=≠1,∴an=答案:an=5.在等比数列{an}中,a3a9=1,a1a5+a8a10=8,则a3+a9等于　　　　　. 解析:因为a1a5+a8a10==8,所以(a3+a9)2=8+2=10,所以a3+a9=±.答案:±6.已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3.(1)求证:{an+3}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:由an+1=2an+3,得an+1+3=2an+6=2(an+3),∴ =2.∴{an+3}是以a1+3=5为首项,以2为公比的等比数列.(2)解:由(1)知an+3=5·2n-1,∴an=5·2n-1-3. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。    四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。    由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。