高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列课后练习题

【优选】5.3.1 等比数列-3优选练习

一．填空题

1．设等比数列的前项和为，若，则________.

2．已知数列的前项和，则该数列的通项公式______

3．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，有下列三个命题：

①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；

②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；

③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列.

其中真命题的序号是________.

4．在等比数列中，>，且，则_____________.

5．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设个月后共有老鼠，只，则__________.

6．等比数列的各项均为正数，且，则     .

7．如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.

8．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为__________．

9．已知是公比为正数的等比数列，若，，则________.

10．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是______.

11．等比数列中，，且，则________.

12．已知各项均为正数的等比数列中，，则的值为______________.

13．已知等比数列中，，，则________．

14．等比数列中，若，，则______.

15．已知等比数列，若，，则________.

参考答案与试题解析

1．【答案】3

【解析】首先根据，求出，再计算即可.

详解：当时，，舍去.

当时，，即，

整理得到，.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查等比数列的前项和的计算，熟练掌握公式为解题的关键，属于简单题.

2．【答案】

【解析】根据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.

详解：由得：

，即

又，则

由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列

则

本题正确结果：

【点睛】

本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.

3．【答案】①③

【解析】易知①是真命题，

由等比数列前n项和知②不正确，③正确．

据此可得真命题的序号是①③.

4．【答案】5

【解析】利用等比数列的性质可得，再利用对数的运算性质即可求解.

详解：由数列为等比数列，>，且，

则，即，

，

故答案为：5

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质．对数的运算性质，属于基础题.

5．【答案】

【解析】依题意得出第个月老鼠与第个月老鼠总数的关系，再根据等比数列的定义求出数列的通项公式，最后把代入即可求得答案．

详解：设个月后共有 只老鼠，且雌雄各半，所以 个月后的老鼠只数 满足：

所以，即，

又因为，

所以，

所以数列 是以14为首项7为公比的等比数列，

所以，

即，

当时，，

故答案为：．

【点睛】

本题查了等比数列的通项公式，关键在于理解题意得出数列的递推关系，属于基础题．

6．【答案】.

【解析】由题意知，且数列的各项均为正数，所以，

，

．

考点：1.考查等比数列的基本性质；2.对数的基本运算．

7．【答案】

【解析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.

详解：记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，

由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，

，

由题可知，，

令，解得，

最小正方形的边长为，

故答案为：.

【点睛】

本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.

8．【答案】110

【解析】根据题意，求出首项，再代入求和即可得．

详解：，，，

是与的等比中项，

，

解得，

．

故答案为：110.

【点睛】

本题主要考查等差数列．等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．

9．【答案】

【解析】由，以及等比数列的通项公式求出公比，再直接写出等比数列的通项公式.

详解：设等比数列的公比为，则，

因为，，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了求等比数列的通项公式，属于基础题.

10．【答案】

【解析】∵，∴，∴两式相减得：，即，

又∵，即，，即，符合上式，∴数列是以3为首项．-1为公比的等比数列，∴．

考点：等比数列的证明和通项公式．

11．【答案】4

【解析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得，再将其带入通项公式中，求得答案.

详解：因为，所以在等比数列中

所以或-3（舍），故

故答案为：4

【点睛】

本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.

12．【答案】100

【解析】根据等比数列的下标和性质，求得，即可得.

详解：因为是等比数列，故可得

因为，故可得，解得.

故.

故答案为：100.

【点睛】

本题考查等比数列的下标和性质，属基础题.

13．【答案】16

【解析】由等比中项，即得.

详解：等比数列，，.

故答案为：16

【点睛】

本题考查等比中项，是基础题.

14．【答案】

【解析】利用等比数列的通项公式求出公比q，代入中即可得解.

详解：即，，则.

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题.

15．【答案】或

【解析】先利用等比数列性质得，再利用等比数列的通项公式列方程求出公比，进而可得.

详解：解：由得，

，

设等比数列的公比为，

则由得，

解得或，

所以或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查学生计算能力，是基础题.