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数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.2 对数运算法则一课一练
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这是一份数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.2 对数运算法则一课一练，共19页。试卷主要包含了下列式子中，计算下列各式的值等内容，欢迎下载使用。
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．lgaM·lgaN＝lga(M＋N)
B.eq \f(lgaM,lgaN)＝lga(M－N)
C．
D．lgaM＝eq \f(lg－2M,lg－2a)
2．下列式子中：
①lg (3＋2eq \r(2))－lg (3－2eq \r(2))＝0；
②lg (10＋eq \r(99))×lg (10－eq \r(99))＝0；
③＝－1(n∈N*)；
④eq \f(lg a,lg b)＝lg (a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．lg eq \f(25,16)－2lg eq \f(5,9)＋lg eq \f(32,81)等于( )
A．lg 2 B．lg 3
C．lg 4 D．lg 5
5．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
6．若lg x－lg y＝a，则 lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3＝( )
A．3a B．eq \f(3,2)a
C．a D．eq \f(a,2)
7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg eq \r(x)－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10)))2的值等于( )
A.eq \f(1,2)m－2n－2 B．eq \f(1,2)m－2n－1
C.eq \f(1,2)m－2n＋1 D．eq \f(1,2)m－2n＋2
8．化简lg2eq \f(1,2)＋lg2eq \f(2,3)＋lg2eq \f(3,4)＋…＋lg2eq \f(31,32)，得( )
A．5 B．4
C．－5 D．－4
9．已知3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，则2a－b＝________.
10．计算下列各式的值：
(1)lg2 eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242；
(2)lg 500＋lg eq \f(8,5)－eq \f(1,2)lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；
(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(4)eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1000),lg 0.3×lg 1.2).
知识点三 换底公式及应用
11．已知lg23＝a，lg37＝b，则lg27＝( )
A．a＋b B．a－b
C．ab D．eq \f(a,b)
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)等于( )
A.eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3) D．－3
13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg512等于( )
A.eq \f(2a＋b,1＋a) B．eq \f(a＋2b,1＋a)
C．eq \f(2a＋b,1－a) D．eq \f(a＋2b,1－a)
14．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lgabcx＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
15．方程lg3(x－1)＝lg9(x＋5)的解是________．
16．若lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m＝________.
17．计算：
(1)lg89×lg2732；
(2)lg927；
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3).
18．已知lg189＝a,18b＝5，用a，b表示lg3645的值．
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则lg4eq \f(x,y)的值为________．
易错点二 运用换底公式不熟练致误
lg29×lg34＝( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
一、单项选择题
1．lg225×lg52eq \r(2)＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．若lg5eq \f(1,3)×lg36×lg6x＝2，则x等于( )
A．9 B．eq \f(1,9)
C．25 D．eq \f(1,25)
3. 等于( )
A．lg 3 B．－lg 3
C．eq \f(1,lg 3) D．－eq \f(1,lg 3)
4．化简 eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)，得( )
A．2 B．2－2lg23
C．－2 D．2lg23－2
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．100 D．eq \r(10)
6．设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B．eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
8．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8
C．4 D．lg48
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．lg23×lg25＝lg2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．lg2eq \f(x,y)＝lg2x－lg2y
D．lg eq \r(n,m)＝eq \f(1,n) lg m(m>0，n>1，n∈N*)
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b
C.eq \f(1,2)lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b) D．lg (ab)＝eq \f(1,lgab10)
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )
A．(lgax)n＝nlgax B．lgax＝－lgaeq \f(1,x)
C.eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax D．eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
14．方程lg2x＋eq \f(1,lgx＋12)＝1的解是x＝________.
15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
16．设f(n)＝lgn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
四、解答题
17．求值：(1)lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)；
(2)lg89×lg2732－(eq \r(3－1))lg 1＋lg535－lg57；
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．
18．已知lga(x2＋4)＋lga(y2＋1)＝lga5＋lga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求lg8eq \f(y,x)的值．
19．设020．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
4.2.2 对数运算法则
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．lgaM·lgaN＝lga(M＋N)
B.eq \f(lgaM,lgaN)＝lga(M－N)
C．
D．lgaM＝eq \f(lg－2M,lg－2a)
答案 C
解析 由对数的运算性质知A，B错误；对于C，lgaeq \r(m,Mn)＝＝eq \f(n,m)lgaM，＝eq \f(n,m)lgaM，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.
2．下列式子中：
①lg (3＋2eq \r(2))－lg (3－2eq \r(2))＝0；
②lg (10＋eq \r(99))×lg (10－eq \r(99))＝0；
③＝－1(n∈N*)；
④eq \f(lg a,lg b)＝lg (a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
答案 ③
解析 lg (3＋2eq \r(2))－lg (3－2eq \r(2))＝lg eq \f(3＋2\r(2),3－2\r(2))＝lg (3＋2eq \r(2))2>0，故①错误．
∵lg (10＋eq \r(99))≠0，lg (10－eq \r(99))≠0.
∴lg (10＋eq \r(99))×lg (10－eq \r(99))≠0，故②错误．
∵＝＝－1，
∴③正确．
∵eq \f(lg a,lg b)≠lg (a－b)，故④错误．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 (lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.
4．lg eq \f(25,16)－2lg eq \f(5,9)＋lg eq \f(32,81)等于( )
A．lg 2 B．lg 3
C．lg 4 D．lg 5
答案 A
解析 lg eq \f(25,16)－2lg eq \f(5,9)＋lg eq \f(32,81)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,16)÷\f(25,81)×\f(32,81)))＝lg 2.故选A.
5．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
6．若lg x－lg y＝a，则 lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3＝( )
A．3a B．eq \f(3,2)a
C．a D．eq \f(a,2)
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg eq \r(x)－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10)))2的值等于( )
A.eq \f(1,2)m－2n－2 B．eq \f(1,2)m－2n－1
C.eq \f(1,2)m－2n＋1 D．eq \f(1,2)m－2n＋2
答案 D
解析 原式＝eq \f(1,2)lg x－2(lg y－lg 10)＝eq \f(1,2)m－2n＋2.
8．化简lg2eq \f(1,2)＋lg2eq \f(2,3)＋lg2eq \f(3,4)＋…＋lg2eq \f(31,32)，得( )
A．5 B．4
C．－5 D．－4
答案 C
解析 原式＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝lg2eq \f(1,32)＝－5.
9．已知3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，则2a－b＝________.
答案 lg320
解析 ∵3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，两边取对数得a＝lg32，b＝lg3eq \f(1,5)＝－lg35，∴2a－b＝2lg32＋lg35＝lg320.
10．计算下列各式的值：
(1)lg2 eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242；
(2)lg 500＋lg eq \f(8,5)－eq \f(1,2)lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；
(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(4)eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1000),lg 0.3×lg 1.2).
解 (1)原式＝lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝lg2eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(1,2).
(2)原式＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(500×\f(8,5)))－lg 64eq \f(1,2)＋50(lg 10)2＝lg eq \f(800,8)＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.
(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
(4)原式＝eq \f(\r(lg 32－2lg 3＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2))),lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1)
＝eq \f(1－lg 3×\f(3,2)lg 3＋2lg 2－1,lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1)＝－eq \f(3,2).
知识点三 换底公式及应用
11．已知lg23＝a，lg37＝b，则lg27＝( )
A．a＋b B．a－b
C．ab D．eq \f(a,b)
答案 C
解析 lg27＝lg23×lg37＝ab.
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)等于( )
A.eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3) D．－3
答案 A
解析 由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝lg2.51000＝eq \f(3,lg 2.5)，y＝lg0.251000＝eq \f(3,lg 0.25)，∴eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝eq \f(lg 2.5,3)－eq \f(lg 0.25,3)＝eq \f(1,3).
13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg512等于( )
A.eq \f(2a＋b,1＋a) B．eq \f(a＋2b,1＋a)
C．eq \f(2a＋b,1－a) D．eq \f(a＋2b,1－a)
答案 C
解析 lg512＝eq \f(lg 12,lg 5)＝eq \f(2lg 2＋lg 3,1－lg 2)＝eq \f(2a＋b,1－a)，故选C.
14．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lgabcx＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
答案 A
解析 ∵lgax＝eq \f(1,lgxa)＝2，∴lgxa＝eq \f(1,2).
同理lgxb＝eq \f(1,3)，lgxc＝eq \f(1,6).
∴lgabcx＝eq \f(1,lgxabc)＝eq \f(1,lgxa＋lgxb＋lgxc)＝1.
15．方程lg3(x－1)＝lg9(x＋5)的解是________．
答案 4
解析 由换底公式，得lg9(x＋5)＝eq \f(1,2)lg3(x＋5)．
∴原方程可化为2lg3(x－1)＝lg3(x＋5)，
即lg3(x－1)2＝lg3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x＋5>0，))∴x>1，故x＝4.
16．若lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m＝________.
答案 9
解析 由换底公式，得eq \f(lg 4,lg 3)×eq \f(lg 8,lg 4)×eq \f(lg m,lg 8)＝eq \f(lg m,lg 3)＝lg416＝2，∴lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9.
17．计算：
(1)lg89×lg2732；
(2)lg927；
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3).
解 (1)lg89×lg2732＝eq \f(lg 9,lg 8)×eq \f(lg 32,lg 27)＝eq \f(lg 32,lg 23)×eq \f(lg 25,lg 33)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)×eq \f(5lg 2,3lg 3)＝eq \f(10,9).
(2)lg927＝eq \f(lg327,lg39)＝eq \f(lg333,lg332)＝eq \f(3lg33,2lg33)＝eq \f(3,2).
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3)＝lg25－3×lg32－5×lg53－1＝－3lg25×(－5lg32)×(－lg53)＝－15×eq \f(lg 5,lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 5)＝－15.
18．已知lg189＝a,18b＝5，用a，b表示lg3645的值．
解 解法一：∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.
于是lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg1818×2)＝eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)
＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a).
解法二：∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.
于是lg3645＝eq \f(lg189×5,lg18\f(182,9))＝eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法三：∵lg189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
∴lg3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg 9×5,lg \f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)
＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a).
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则lg4eq \f(x,y)的值为________．
易错分析 错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,x－2y>0.))从而误认为eq \f(x,y)＝4或eq \f(x,y)＝1，得出lg4eq \f(x,y)＝1或0的错误答案．
答案 1
正解 由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得
lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得eq \f(x,y)＝4或eq \f(x,y)＝1，
又x>0，y>0，x－2y>0，∴eq \f(x,y)≠1，∴lg4eq \f(x,y)＝1.
易错点二 运用换底公式不熟练致误
lg29×lg34＝( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．
答案 D
正解 lg29×lg34＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝2×2＝4.
一、单项选择题
1．lg225×lg52eq \r(2)＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 A
解析 lg225×lg52eq \r(2)＝eq \f(lg 25,lg 2)×＝eq \f(2lg 5,lg 2)×eq \f(\f(3,2)lg 2,lg 5)＝3.
2．若lg5eq \f(1,3)×lg36×lg6x＝2，则x等于( )
A．9 B．eq \f(1,9)
C．25 D．eq \f(1,25)
答案 D
解析 由换底公式，得原式＝eq \f(－lg 3,lg 5)×eq \f(lg 6,lg 3)×eq \f(lg x,lg 6)＝2，
∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝eq \f(1,25).
3. 等于( )
A．lg 3 B．－lg 3
C．eq \f(1,lg 3) D．－eq \f(1,lg 3)
答案 C
解析 原式＝＝lg310＝eq \f(1,lg 3).选C.
4．化简 eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)，得( )
A．2 B．2－2lg23
C．－2 D．2lg23－2
答案 B
解析 ∵eq \r(lg232－4lg23＋4)＝eq \r(lg23－22)＝2－lg23，∴原式＝2－lg23＋lg23－1＝2－2lg23.
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．100 D．eq \r(10)
答案 C
解析 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－eq \f(－4,2)＝2＝lg ab，
∴ab＝100.故选C.
6．设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B．eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
答案 C
解析 ∵lg83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，∴lg 3＝3plg 2.∵lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq)，故选C.
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
答案 D
解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝lg2k，b＝lg3k，∴eq \f(1,a)＝lgk2，eq \f(1,b)＝lgk3，∵2a＋b＝ab，∴eq \f(2,b)＋eq \f(1,a)＝2lgk3＋lgk2＝lgk9＋lgk2＝lgk18＝1，∴k＝18.
8．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8
C．4 D．lg48
答案 A
解析 ∵2x＝3，∴x＝lg23.又lg4eq \f(8,3)＝y，∴x＋2y＝lg23＋2lg4eq \f(8,3)＝lg23＋2(lg48－lg43)＝lg23＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)lg22－\f(1,2)lg23))＝lg23＋3－lg23＝3.故选A.
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．lg23×lg25＝lg2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．lg2eq \f(x,y)＝lg2x－lg2y
D．lg eq \r(n,m)＝eq \f(1,n) lg m(m>0，n>1，n∈N*)
答案 BD
解析 对于A，lg23＋lg25＝lg2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg eq \r(n,m)＝eq \f(1,n)lg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b
C.eq \f(1,2)lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b) D．lg (ab)＝eq \f(1,lgab10)
答案 CD
解析 当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
答案 CD
解析 因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )
A．(lgax)n＝nlgax B．lgax＝－lgaeq \f(1,x)
C.eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax D．eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)
答案 BD
解析 根据对数的运算性质lgaMn＝nlgaM(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D正确．
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
答案 4 2
解析 ∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋lg927y＝2－1·＋eq \f(3y,2)＝eq \f(x＋3y,2)＝2.
14．方程lg2x＋eq \f(1,lgx＋12)＝1的解是x＝________.
答案 1
解析 原方程可变为lg2x＋lg2(x＋1)＝1，
即lg2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，
解得x＝1或x＝－2.又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))即x>0，∴x＝1.
15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案 eq \f(1,35)
解析 方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得
lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg eq \f(1,35)，
∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg eq \f(1,35)，
即αβ＝eq \f(1,35).
16．设f(n)＝lgn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
答案 9
解析 f(n)＝lgn＋1(n＋2)＝eq \f(lg n＋2,lg n＋1)，
∴f(1)f(2)…f(n)＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)·…·eq \f(lg n＋2,lg n＋1)＝eq \f(lg n＋2,lg 2)＝lg2(n＋2)．
∵n∈(1,2020)，∴n＋2∈(3,2022)，
∵210＝1024,211＝2048，
∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.
四、解答题
17．求值：(1)lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)；
(2)lg89×lg2732－(eq \r(3－1))lg 1＋lg535－lg57；
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．
解 (1)lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)＝lg eq \r(100)＝lg 10＝1.
(2)lg89×lg2732－(eq \r(3－1))lg 1＋lg535－lg57＝eq \f(lg 9,lg 8)×eq \f(lg 32,lg 27)－1＋lg5eq \f(35,7)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)×eq \f(5lg 2,3lg 3)－1＋1＝eq \f(10,9).
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,4).
18．已知lga(x2＋4)＋lga(y2＋1)＝lga5＋lga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求lg8eq \f(y,x)的值．
解 原等式可化为
lga[(x2＋4)(y2＋1)]＝lga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝3，,x＝2y.))∴eq \f(y,x)＝eq \f(1,2).
∴lg8eq \f(y,x)＝lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3).
19．设0解 由已知条件，得
lgax＋3lgxa－lgxy＝lgax＋eq \f(3,lgax)－eq \f(lgay,lgax)＝3，
所以lgay＝(lgax)2－3lgax＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgax－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4).
当lgax＝eq \f(3,2)时，lgay有最小值eq \f(3,4).
此时y＝eq \f(\r(2),4)，所以有lgaeq \f(\r(2),4)＝eq \f(3,4)，
故
所以a＝eq \f(1,4).
20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
解 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k，
由2x＝py，得2lg3k＝plg4k＝p·eq \f(lg3k,lg34)，
∵lg3k≠0，∴p＝2lg34.
(2)证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)＝lgk6－lgk3＝lgk2＝eq \f(1,2)lgk4＝eq \f(1,2y)，
∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．lgaM·lgaN＝lga(M＋N)
B.eq \f(lgaM,lgaN)＝lga(M－N)
C．
D．lgaM＝eq \f(lg－2M,lg－2a)
2．下列式子中：
①lg (3＋2eq \r(2))－lg (3－2eq \r(2))＝0；
②lg (10＋eq \r(99))×lg (10－eq \r(99))＝0；
③＝－1(n∈N*)；
④eq \f(lg a,lg b)＝lg (a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．lg eq \f(25,16)－2lg eq \f(5,9)＋lg eq \f(32,81)等于( )
A．lg 2 B．lg 3
C．lg 4 D．lg 5
5．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
6．若lg x－lg y＝a，则 lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3＝( )
A．3a B．eq \f(3,2)a
C．a D．eq \f(a,2)
7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg eq \r(x)－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10)))2的值等于( )
A.eq \f(1,2)m－2n－2 B．eq \f(1,2)m－2n－1
C.eq \f(1,2)m－2n＋1 D．eq \f(1,2)m－2n＋2
8．化简lg2eq \f(1,2)＋lg2eq \f(2,3)＋lg2eq \f(3,4)＋…＋lg2eq \f(31,32)，得( )
A．5 B．4
C．－5 D．－4
9．已知3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，则2a－b＝________.
10．计算下列各式的值：
(1)lg2 eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242；
(2)lg 500＋lg eq \f(8,5)－eq \f(1,2)lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；
(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(4)eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1000),lg 0.3×lg 1.2).
知识点三 换底公式及应用
11．已知lg23＝a，lg37＝b，则lg27＝( )
A．a＋b B．a－b
C．ab D．eq \f(a,b)
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)等于( )
A.eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3) D．－3
13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg512等于( )
A.eq \f(2a＋b,1＋a) B．eq \f(a＋2b,1＋a)
C．eq \f(2a＋b,1－a) D．eq \f(a＋2b,1－a)
14．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lgabcx＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
15．方程lg3(x－1)＝lg9(x＋5)的解是________．
16．若lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m＝________.
17．计算：
(1)lg89×lg2732；
(2)lg927；
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3).
18．已知lg189＝a,18b＝5，用a，b表示lg3645的值．
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则lg4eq \f(x,y)的值为________．
易错点二 运用换底公式不熟练致误
lg29×lg34＝( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
一、单项选择题
1．lg225×lg52eq \r(2)＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．若lg5eq \f(1,3)×lg36×lg6x＝2，则x等于( )
A．9 B．eq \f(1,9)
C．25 D．eq \f(1,25)
3. 等于( )
A．lg 3 B．－lg 3
C．eq \f(1,lg 3) D．－eq \f(1,lg 3)
4．化简 eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)，得( )
A．2 B．2－2lg23
C．－2 D．2lg23－2
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．100 D．eq \r(10)
6．设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B．eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
8．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8
C．4 D．lg48
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．lg23×lg25＝lg2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．lg2eq \f(x,y)＝lg2x－lg2y
D．lg eq \r(n,m)＝eq \f(1,n) lg m(m>0，n>1，n∈N*)
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b
C.eq \f(1,2)lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b) D．lg (ab)＝eq \f(1,lgab10)
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )
A．(lgax)n＝nlgax B．lgax＝－lgaeq \f(1,x)
C.eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax D．eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
14．方程lg2x＋eq \f(1,lgx＋12)＝1的解是x＝________.
15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
16．设f(n)＝lgn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
四、解答题
17．求值：(1)lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)；
(2)lg89×lg2732－(eq \r(3－1))lg 1＋lg535－lg57；
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．
18．已知lga(x2＋4)＋lga(y2＋1)＝lga5＋lga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求lg8eq \f(y,x)的值．
19．设0
(1)求p；
(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
4.2.2 对数运算法则
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．lgaM·lgaN＝lga(M＋N)
B.eq \f(lgaM,lgaN)＝lga(M－N)
C．
D．lgaM＝eq \f(lg－2M,lg－2a)
答案 C
解析 由对数的运算性质知A，B错误；对于C，lgaeq \r(m,Mn)＝＝eq \f(n,m)lgaM，＝eq \f(n,m)lgaM，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.
2．下列式子中：
①lg (3＋2eq \r(2))－lg (3－2eq \r(2))＝0；
②lg (10＋eq \r(99))×lg (10－eq \r(99))＝0；
③＝－1(n∈N*)；
④eq \f(lg a,lg b)＝lg (a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
答案 ③
解析 lg (3＋2eq \r(2))－lg (3－2eq \r(2))＝lg eq \f(3＋2\r(2),3－2\r(2))＝lg (3＋2eq \r(2))2>0，故①错误．
∵lg (10＋eq \r(99))≠0，lg (10－eq \r(99))≠0.
∴lg (10＋eq \r(99))×lg (10－eq \r(99))≠0，故②错误．
∵＝＝－1，
∴③正确．
∵eq \f(lg a,lg b)≠lg (a－b)，故④错误．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 (lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.
4．lg eq \f(25,16)－2lg eq \f(5,9)＋lg eq \f(32,81)等于( )
A．lg 2 B．lg 3
C．lg 4 D．lg 5
答案 A
解析 lg eq \f(25,16)－2lg eq \f(5,9)＋lg eq \f(32,81)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,16)÷\f(25,81)×\f(32,81)))＝lg 2.故选A.
5．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
6．若lg x－lg y＝a，则 lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3＝( )
A．3a B．eq \f(3,2)a
C．a D．eq \f(a,2)
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg eq \r(x)－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10)))2的值等于( )
A.eq \f(1,2)m－2n－2 B．eq \f(1,2)m－2n－1
C.eq \f(1,2)m－2n＋1 D．eq \f(1,2)m－2n＋2
答案 D
解析 原式＝eq \f(1,2)lg x－2(lg y－lg 10)＝eq \f(1,2)m－2n＋2.
8．化简lg2eq \f(1,2)＋lg2eq \f(2,3)＋lg2eq \f(3,4)＋…＋lg2eq \f(31,32)，得( )
A．5 B．4
C．－5 D．－4
答案 C
解析 原式＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝lg2eq \f(1,32)＝－5.
9．已知3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，则2a－b＝________.
答案 lg320
解析 ∵3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，两边取对数得a＝lg32，b＝lg3eq \f(1,5)＝－lg35，∴2a－b＝2lg32＋lg35＝lg320.
10．计算下列各式的值：
(1)lg2 eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242；
(2)lg 500＋lg eq \f(8,5)－eq \f(1,2)lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；
(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(4)eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1000),lg 0.3×lg 1.2).
解 (1)原式＝lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝lg2eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(1,2).
(2)原式＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(500×\f(8,5)))－lg 64eq \f(1,2)＋50(lg 10)2＝lg eq \f(800,8)＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.
(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
(4)原式＝eq \f(\r(lg 32－2lg 3＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2))),lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1)
＝eq \f(1－lg 3×\f(3,2)lg 3＋2lg 2－1,lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1)＝－eq \f(3,2).
知识点三 换底公式及应用
11．已知lg23＝a，lg37＝b，则lg27＝( )
A．a＋b B．a－b
C．ab D．eq \f(a,b)
答案 C
解析 lg27＝lg23×lg37＝ab.
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)等于( )
A.eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3) D．－3
答案 A
解析 由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝lg2.51000＝eq \f(3,lg 2.5)，y＝lg0.251000＝eq \f(3,lg 0.25)，∴eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝eq \f(lg 2.5,3)－eq \f(lg 0.25,3)＝eq \f(1,3).
13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg512等于( )
A.eq \f(2a＋b,1＋a) B．eq \f(a＋2b,1＋a)
C．eq \f(2a＋b,1－a) D．eq \f(a＋2b,1－a)
答案 C
解析 lg512＝eq \f(lg 12,lg 5)＝eq \f(2lg 2＋lg 3,1－lg 2)＝eq \f(2a＋b,1－a)，故选C.
14．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lgabcx＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
答案 A
解析 ∵lgax＝eq \f(1,lgxa)＝2，∴lgxa＝eq \f(1,2).
同理lgxb＝eq \f(1,3)，lgxc＝eq \f(1,6).
∴lgabcx＝eq \f(1,lgxabc)＝eq \f(1,lgxa＋lgxb＋lgxc)＝1.
15．方程lg3(x－1)＝lg9(x＋5)的解是________．
答案 4
解析 由换底公式，得lg9(x＋5)＝eq \f(1,2)lg3(x＋5)．
∴原方程可化为2lg3(x－1)＝lg3(x＋5)，
即lg3(x－1)2＝lg3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x＋5>0，))∴x>1，故x＝4.
16．若lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m＝________.
答案 9
解析 由换底公式，得eq \f(lg 4,lg 3)×eq \f(lg 8,lg 4)×eq \f(lg m,lg 8)＝eq \f(lg m,lg 3)＝lg416＝2，∴lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9.
17．计算：
(1)lg89×lg2732；
(2)lg927；
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3).
解 (1)lg89×lg2732＝eq \f(lg 9,lg 8)×eq \f(lg 32,lg 27)＝eq \f(lg 32,lg 23)×eq \f(lg 25,lg 33)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)×eq \f(5lg 2,3lg 3)＝eq \f(10,9).
(2)lg927＝eq \f(lg327,lg39)＝eq \f(lg333,lg332)＝eq \f(3lg33,2lg33)＝eq \f(3,2).
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3)＝lg25－3×lg32－5×lg53－1＝－3lg25×(－5lg32)×(－lg53)＝－15×eq \f(lg 5,lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 5)＝－15.
18．已知lg189＝a,18b＝5，用a，b表示lg3645的值．
解 解法一：∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.
于是lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg1818×2)＝eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)
＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a).
解法二：∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.
于是lg3645＝eq \f(lg189×5,lg18\f(182,9))＝eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法三：∵lg189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
∴lg3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg 9×5,lg \f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)
＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a).
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则lg4eq \f(x,y)的值为________．
易错分析 错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,x－2y>0.))从而误认为eq \f(x,y)＝4或eq \f(x,y)＝1，得出lg4eq \f(x,y)＝1或0的错误答案．
答案 1
正解 由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得
lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得eq \f(x,y)＝4或eq \f(x,y)＝1，
又x>0，y>0，x－2y>0，∴eq \f(x,y)≠1，∴lg4eq \f(x,y)＝1.
易错点二 运用换底公式不熟练致误
lg29×lg34＝( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．
答案 D
正解 lg29×lg34＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝2×2＝4.
一、单项选择题
1．lg225×lg52eq \r(2)＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 A
解析 lg225×lg52eq \r(2)＝eq \f(lg 25,lg 2)×＝eq \f(2lg 5,lg 2)×eq \f(\f(3,2)lg 2,lg 5)＝3.
2．若lg5eq \f(1,3)×lg36×lg6x＝2，则x等于( )
A．9 B．eq \f(1,9)
C．25 D．eq \f(1,25)
答案 D
解析 由换底公式，得原式＝eq \f(－lg 3,lg 5)×eq \f(lg 6,lg 3)×eq \f(lg x,lg 6)＝2，
∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝eq \f(1,25).
3. 等于( )
A．lg 3 B．－lg 3
C．eq \f(1,lg 3) D．－eq \f(1,lg 3)
答案 C
解析 原式＝＝lg310＝eq \f(1,lg 3).选C.
4．化简 eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)，得( )
A．2 B．2－2lg23
C．－2 D．2lg23－2
答案 B
解析 ∵eq \r(lg232－4lg23＋4)＝eq \r(lg23－22)＝2－lg23，∴原式＝2－lg23＋lg23－1＝2－2lg23.
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．100 D．eq \r(10)
答案 C
解析 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－eq \f(－4,2)＝2＝lg ab，
∴ab＝100.故选C.
6．设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B．eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
答案 C
解析 ∵lg83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，∴lg 3＝3plg 2.∵lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq)，故选C.
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
答案 D
解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝lg2k，b＝lg3k，∴eq \f(1,a)＝lgk2，eq \f(1,b)＝lgk3，∵2a＋b＝ab，∴eq \f(2,b)＋eq \f(1,a)＝2lgk3＋lgk2＝lgk9＋lgk2＝lgk18＝1，∴k＝18.
8．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8
C．4 D．lg48
答案 A
解析 ∵2x＝3，∴x＝lg23.又lg4eq \f(8,3)＝y，∴x＋2y＝lg23＋2lg4eq \f(8,3)＝lg23＋2(lg48－lg43)＝lg23＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)lg22－\f(1,2)lg23))＝lg23＋3－lg23＝3.故选A.
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．lg23×lg25＝lg2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．lg2eq \f(x,y)＝lg2x－lg2y
D．lg eq \r(n,m)＝eq \f(1,n) lg m(m>0，n>1，n∈N*)
答案 BD
解析 对于A，lg23＋lg25＝lg2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg eq \r(n,m)＝eq \f(1,n)lg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b
C.eq \f(1,2)lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b) D．lg (ab)＝eq \f(1,lgab10)
答案 CD
解析 当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
答案 CD
解析 因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )
A．(lgax)n＝nlgax B．lgax＝－lgaeq \f(1,x)
C.eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax D．eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)
答案 BD
解析 根据对数的运算性质lgaMn＝nlgaM(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D正确．
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
答案 4 2
解析 ∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋lg927y＝2－1·＋eq \f(3y,2)＝eq \f(x＋3y,2)＝2.
14．方程lg2x＋eq \f(1,lgx＋12)＝1的解是x＝________.
答案 1
解析 原方程可变为lg2x＋lg2(x＋1)＝1，
即lg2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，
解得x＝1或x＝－2.又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))即x>0，∴x＝1.
15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案 eq \f(1,35)
解析 方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得
lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg eq \f(1,35)，
∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg eq \f(1,35)，
即αβ＝eq \f(1,35).
16．设f(n)＝lgn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
答案 9
解析 f(n)＝lgn＋1(n＋2)＝eq \f(lg n＋2,lg n＋1)，
∴f(1)f(2)…f(n)＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)·…·eq \f(lg n＋2,lg n＋1)＝eq \f(lg n＋2,lg 2)＝lg2(n＋2)．
∵n∈(1,2020)，∴n＋2∈(3,2022)，
∵210＝1024,211＝2048，
∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.
四、解答题
17．求值：(1)lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)；
(2)lg89×lg2732－(eq \r(3－1))lg 1＋lg535－lg57；
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．
解 (1)lg eq \r(5)＋lg eq \r(20)＝lg eq \r(100)＝lg 10＝1.
(2)lg89×lg2732－(eq \r(3－1))lg 1＋lg535－lg57＝eq \f(lg 9,lg 8)×eq \f(lg 32,lg 27)－1＋lg5eq \f(35,7)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)×eq \f(5lg 2,3lg 3)－1＋1＝eq \f(10,9).
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,4).
18．已知lga(x2＋4)＋lga(y2＋1)＝lga5＋lga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求lg8eq \f(y,x)的值．
解 原等式可化为
lga[(x2＋4)(y2＋1)]＝lga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝3，,x＝2y.))∴eq \f(y,x)＝eq \f(1,2).
∴lg8eq \f(y,x)＝lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3).
19．设0
lgax＋3lgxa－lgxy＝lgax＋eq \f(3,lgax)－eq \f(lgay,lgax)＝3，
所以lgay＝(lgax)2－3lgax＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgax－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4).
当lgax＝eq \f(3,2)时，lgay有最小值eq \f(3,4).
此时y＝eq \f(\r(2),4)，所以有lgaeq \f(\r(2),4)＝eq \f(3,4)，
故
所以a＝eq \f(1,4).
20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
解 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k，
由2x＝py，得2lg3k＝plg4k＝p·eq \f(lg3k,lg34)，
∵lg3k≠0，∴p＝2lg34.
(2)证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)＝lgk6－lgk3＝lgk2＝eq \f(1,2)lgk4＝eq \f(1,2y)，
∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
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