人教B版 (2019)必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像同步测试题

4.1.2　指数函数的性质与图像(一)

必备知识基础练

1.下列函数中是指数函数的是________．(填序号)

①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝3；⑤y＝x.

2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.

3．若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是________.

4.若函数y＝3x＋(b－1)的图像不经过第二象限，则有(　　)

A．b<1  B．b≤0

C．b>1  D．b≥0

5．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图像，而a∈，则图像C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.

6．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点P，则定点P的坐标是________.

7.下列函数中，定义域与值域相同的是(　　)

A．y＝2x      B．y＝

C．y＝3   D．y＝2

8．求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝2.

关键能力综合练

一、选择题

1．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图像关于(　　)

A．原点对称  B．x轴对称

C．y轴对称  D．直线y＝－x对称

2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.  B．(－∞，0)

C.  D.

3．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－∞，0)  B．(－∞，0]

C．[0，＋∞)  D．(0，＋∞)

4．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图像一定过点(　　)

A．(0,1)    B．(0，－1)

C．(－1,0)  D．(1,0)

5．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图像大致是(　　)

6．(探究题)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有(　　)

A．0<a<1，且b>0  B．a>1，且b>0

C．0<a<1，且b<0  D．a>1，且b<0

二、填空题

7．已知函数f(x)为指数函数且f＝，则f(－2)＝________，f(f(－1))＝________.

8．已知函数f(x)＝则f(x)的值域为________．

9．(易错题)函数y＝4x＋2x＋1＋1的定义域是________．值域是________．

三、解答题

10．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．

学科素养升级练

1．(多选题)下列函数为指数函数的是(　　)

A．y＝2x

B．y＝x2

C．y＝xx

D．y＝(6a－3)x

2．函数f(x)＝的图像大致为(　　)

3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．

(1)若f(x)的图像如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图像如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．

4．1.2　指数函数的性质与图像(一)

必备知识基础练

1．解析：①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.

答案：③

2．解析：由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得解得a＝2.

答案：2

3．解析：由题意知解得a>且a≠2.

答案：∪(2，＋∞)

4．解析：指数函数y＝3x过定点(0,1)，函数y＝3x＋(b－1)过定点(0，b)，如图所示，若函数图像不过第二象限，则b≤0.

答案：B

5．解析：作直线x＝1，与各曲线交点的纵坐标即为底数a的值，而<<<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.

答案：　　π　

6．解析：令x＝1，y＝4＋a0＝4＋1＝5，故f(x)图像过定点(1,5)．

答案：(1,5)

7．解析：A项中，y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)；B项中，y＝的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠0}；C项中，由x－1>0得x>1，所以y＝3的定义域为(1，＋∞)，由>0得3>30＝1，所以其值域也为(1，＋∞)；D项中，y＝2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而2>0且2≠1，所以其值域为(0,1)∪(1，＋∞)．所以选C.

答案：C

8．解析：(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，

因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，

故函数y＝的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，

所以0≤1－3x<1，

所以∈[0,1)，

即函数y＝的值域为[0,1)．

(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝2的定义域为{x∈R|x≠4}．

因为≠0，所以2≠1，

即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(3)定义域为R.

∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，

∴22x－x2≤2.即y≤2.

故函数的值域为(0,2]．

关键能力综合练

1．解析：设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图像上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图像的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图像关于y轴对称，选C.

答案：C

2．解析：∵y＝(1－2a)x是R上的增函数，则1－2a>1，∴a<0.

答案：B

3．解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.

答案：C

4．解析：当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图像必过点(－1,0)．

答案：C

5．解析：当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图像大致为选项A.

答案：A

6．解析：函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像是由函数y＝ax的图像经过向上或向下平移而得到的，因其图像不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0<a<1)的图像向下平移至少大于1个单位长度，即b－1<－1⇒b<0.故选C.

答案：C

7．解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

∴a＝＝3，∴a＝3，

∵f(x)＝3x，∴f(－2)＝，

f(f(－1))＝f ＝3＝.

答案：　

8．解析：当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．

答案：[8，＋∞)

9．解析：显然定义域为R，

令2x＝t(t>0)，

则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，

该函数在t∈(0，＋∞)上递增，所以y>1，

即原函数的值域为(1，＋∞)．

答案：R　(1，＋∞)

10．解析：当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为减函数，所以无解．当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为增函数，所以解得a＝.

综上，a的值为.

学科素养升级练

1．解析：AD是指数函数；B是二次函数；C中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义．故选AD.

答案：AD

2．解析：f(x)＝＝由指数函数的图像知B正确．

答案：B

3．解析：(1)f(x)的图像过点(2,0)，(0，－2)，

所以

又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.

(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.

即a0＋b＜0，所以b＜－1.

故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．

(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图像如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．