数学必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像同步练习题

课后素养落实(二)　指数函数的性质与图像

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；⑥y＝3.其中，指数函数的个数是(　　)

A．0　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．4

C　[①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数；⑥中y＝3＝()x是指数函数．]

2．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)

A．a＞0　　　　　 B．a＜1

C．0＜a＜1 D．a≠0

C　[由ax－1≥0，得ax≥a0.

∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a＜1．]

3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)

A．a>b>c B．a>c>b

C．c>a>b D．b>c>a

A　[由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图像(图略)可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上a>b>c.]

4．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点(　　)

A．(－1，－1)　　　 B．(－1,0)

C．(0，－1) D．(－1，－3)

A　[令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝ax＋1－2的图像恒过点(－1，－1)．]

5．函数y＝的值域是(　　)

A．(－∞，4) B．(0，＋∞)

C．(0,4] D．[4，＋∞)

C　[设t＝x2＋2x－1，则y＝.

因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝为关于t的减函数，

所以0<y＝≤＝4，

故所求函数的值域为(0,4]．]

二、填空题

6．函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是________．

　[因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为.]

7．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．

(0,1)　[由函数的定义，得1＜2x＜2⇒0＜x＜1．所以y＝f(2x)的定义域为(0,1)．]

8．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.

　[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①

得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②

①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.

又g(2)＝a，∴a＝2，

∴f(x)＝2x－2－x，

∴f(2)＝22－2－2＝.]

三、解答题

9．设f(x)＝3x，g(x)＝.

(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图像；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

[解]　(1)函数f(x)，g(x)的图像如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3，

f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π，

f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，函数y＝ax与y＝的图像关于y轴对称．

10．设函数f(x)＝－.

(1)证明：函数f(x)是奇函数；

(2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；

(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．

[解]　(1)证明：由题意得x∈R，即函数的定义域关于原点对称，

f(－x)＝－＝－＝

＝＝－＋＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－－＋

＝.

∵x1<x2，∴2－2<0.

又∵2＋1>0,2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)＜f(x2)，

∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．

(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，

∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝.

∴函数f(x)在[1,2]上的值域为.

11．(多选题)对于函数f(x)＝abx(其中a，b为常数，a＞0且a≠1)，下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是指数函数

B．当a＞1，b＞0时，f(x)是增函数

C．当0＜a＜1，b＞0时，f(x)是减函数

D．当a＞1，b＜0时，f(x)是减函数

BCD　[当b＝0时，f(x)＝abx不是指数函数，A不正确；由于f(x)＝abx＝(ab)x，∴当a＞1，b＞0时，ab＞1，f(x)是增函数；当a＞1，b＜0时，0＜ab＜1，f(x)是减函数；故BCD均正确．]

12．设<<<1，则(　　)

A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab

C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa

C　[由已知条件得0<a<b<1，∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.]

13．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．

a≥1或a＝0　[作出y＝|2x－1|的图像，如图，要使直线y＝a与图像的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.

]

14．若函数y＝(k－2)ax＋2＋b(a＞0且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________.

3　－2　[根据指数函数的定义，得解得]

15．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．

(1)求3a的值及函数g(x)的解析式；

(2)试判断函数g(x)的单调性；

(3)若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．

[解]　(1)f(a＋2)＝3a＋2＝32·3a＝18，

所以3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x.

(2)g(x)＝2x－4x＝－(2x)2＋2x，

令2x＝t∈，

所以g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－＋在t∈上单调递减，又t＝2x为单调递增函数，所以g(x)在x∈[－1,1]上单调递减．

(3)由(2)知g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－＋

在t∈上单调递减，所以g(x)∈，

即m∈.