数学4.1.2 指数函数的性质与图像学案及答案

这是一份数学4.1.2 指数函数的性质与图像学案及答案，共12页。学案主要包含了指数型函数的单调性，指数函数的实际应用，指数函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。


一、指数型函数的单调性
例1 (1)求函数y＝的单调区间；
(2)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋17的单调区间．
解 (1)y＝的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，
所以y＝在(－∞，3]上是增函数．
在(3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，
所以y＝在(3，＋∞)上是减函数．
所以y＝的增区间是(－∞，3]，减区间是(3，＋∞)．
(2)设t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，t>0，
又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．
令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤4，得x≥－2.
所以当－2≤x1即4≥t1>t2，所以teq \\al(2,1)－8t1＋17所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋17的增区间是[－2，＋∞)．
同理可得减区间是(－∞，－2)．
反思感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练1 求下列函数的单调区间．
(1)y＝ ；
(2)y＝eq \f(1,0.2x－1).
解 (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0所以当a>1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数y＝eq \f(1,0.2x－1)的定义域为{x|x≠0}．
设y＝eq \f(1,u－1)，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝eq \f(1,u－1)的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，所以原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
二、指数函数的实际应用
例2 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与经过x(年)后的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
解 (1)1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人)
反思感悟 解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
跟踪训练2 已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
答案 1.75
解析 ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝1.5，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2.))∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
三、指数函数的综合运用
例3 设函数f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2x＋1).
(1)证明：函数f(x)是奇函数；
(2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
(1)证明 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,\f(1,2x)＋1)＝eq \f(1,2)－eq \f(2x,2x＋1)＝eq \f(1－2x,22x＋1)
＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明 设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两个实数，
且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,2)－
＝ .
因为x1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)解 因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝eq \f(1,6)，
f(x)max＝f(2)＝eq \f(3,10).
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(3,10))).
反思感悟 解决指数函数的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
跟踪训练3 已知定义在R上的奇函数f(x)＝eq \f(2x－a,2x＋b).
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(3)求该函数的值域．
解 (1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f－1＝－f1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－a,1＋b)＝0，,\f(\f(1,2)－a,\f(1,2)＋b)＝－\f(2－a,2＋b)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
(2)f(x)在R上是增函数，证明如下：
由(1)知f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1).
设x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝
＝
＝ .
因为y＝2x是R上的增函数，且x1所以<0.又因为>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上是增函数．
(3)f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝eq \f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1).
由2x>0，得2x＋1>1，所以0所以－1<1－eq \f(2,2x＋1)<1，即－1所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
1．函数f(x)＝ 的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 A
解析 因为f(x)＝，0所以f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．
2．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
答案 A
解析 f(2)＝a－2＝4，a＝eq \f(1,2)，
f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－|x|＝2|x|，则f(－2)>f(－1)．
3．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
答案 A
解析 令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，
因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.
所以04．若函数f(x)＝eq \f(1,2x＋1)，则该函数在(－∞，＋∞)上( )
A．单调递减且无最小值
B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值
D．单调递增且有最大值
答案 A
解析 函数f(x)＝eq \f(1,2x＋1)为减函数，2x＋1>1，
故f(x)＝eq \f(1,2x＋1)∈(0,1)，无最值．
5．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A．640 B．1 280
C．2 560 D．5 120
答案 B
解析 设原来的细菌数为a.
由题意可得，在函数y＝10ekt中，当t＝1时，y＝2a.
∴2a＝10ek，即ek＝eq \f(a,5).
当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280.
1．知识清单：
(1)指数型函数的单调性．
(2)指数函数在现实生活中的应用．
(3)指数函数的综合应用．
2．方法归纳：转化与化归、换元法．
3．常见误区：用换元法求解指数型复合函数的值域，易忽视中间变量的范围致误．

1．函数y＝的单调递减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
答案 D
解析 设u＝eq \f(1,x)，则y＝3u，对任意的0u2.
又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，
所以y＝在(0，＋∞)上是减函数．
对任意的x1u2，
又因为y＝3u在R上是增函数，
所以y1>y2，所以y＝在(－∞，0)上是减函数．
所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
2．(多选)关于函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,2)，下列说法正确的是( )
A．偶函数 B．奇函数
C．在(0，＋∞)上是增函数 D．在(0，＋∞)上是减函数
答案 BC
解析 f(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝eq \f(2x－2－x,2)为增函数．
3．已知f(x)＝3x－t(2≤x≤4，t为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因为f(x)的图像经过点(2,1)，
所以32－t＝1，得t＝2.
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，
f(x)max＝f(4)＝34－2＝9.
所以f(x)的值域为[1,9]．
4．函数y＝eq \f(3x,3x＋1)的值域是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B．(－∞，0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝eq \f(3x,3x＋1)＝1－eq \f(1,3x＋1)，
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∴0即原函数的值域为(0,1)．
5．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[1,2] D．[1,3]
答案 A
解析 令u＝－3＋4x－x2，y＝3u为增函数，所以y＝的单调递增区间就是u＝－3＋4x－x2＝－(x－2)2＋1的单调递增区间(－∞，2]．
6．函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的最小值为________，最大值为________．
答案 2 3
解析 原函数可化为y＝22x－2·2x＋3.
令t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．
∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.
∴当t＝1时，ymin＝2；当t＝2时，ymax＝3.
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶后，荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
答案 19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x(天)的函数关系为y＝2x－1(x∈N*)，因为荷叶20天可以完全长满池塘水面，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，eq \f(1,2)×220－1＝2x－1，解得x＝19，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
8．已知a为正实数，且f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,ax＋1)在R上是奇函数，则f(x)的值域为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
解析 由f(x)在R上为奇函数可知f(0)＝0，
即eq \f(1,a)－eq \f(1,a0＋1)＝0，解得a＝2，则f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2x＋1)，
∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0∴－1<－eq \f(1,2x＋1)<0，
∴－eq \f(1,2)故f(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
9．判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴y＝在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，
∴0∴原函数的值域为(0,3]．
10．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．
(1)求3a的值及函数g(x)的解析式；
(2)试判断函数g(x)的单调性；
(3)若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
解 (1)f(a＋2)＝3a＋2＝32·3a＝18，
所以3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x.
(2)g(x)＝2x－4x＝－(2x)2＋2x，
令2x＝t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
所以g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递减，
又t＝2x为增函数，
所以g(x)在[－1,1]上单调递减．
(3)由(2)知g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递减，
所以g(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))，即m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4))).
11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0且a≠1)满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝eq \f(1,9)，得a2＝eq \f(1,9)，于是a＝eq \f(1,3)，
因此f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|2x－4|.
令t＝|2x－4|，∴h(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t为减函数．
因为t＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
12．设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))答案 B
解析 ∵y＝f(x＋1)是偶函数，
故函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))，
又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，
且eq \f(4,3)故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))13．若函数y＝ 在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥6
解析 y＝在(－∞，3)上单调递增，
即二次函数f(x)＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上单调递增，
因此需要对称轴x＝eq \f(a,2)≥3，解得a≥6.
14．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.
答案 eq \f(15,4)
解析 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，
∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝eq \f(15,4).
15．已知函数f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，若f(a2－2a)>f(3)，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1)，在R上单调递增，
∵f(a2－2a)>f(3)，∴a2－2a>3，
即a2－2a－3>0，解不等式可得，a>3或a<－1.
16．对于函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1)(x∈R)．
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论．
解 (1)函数f(x)是在R上的增函数．
证明如下：函数f(x)的定义域为R.
任取x1，x2∈R，且x1有f(x1)－f(x2)＝
因为y＝2x是R上的增函数，x1所以，
又＋1>0,＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)为R上的增函数．
(2)因为x∈R，f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即a＝1.
所以存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数．
证明如下：当a＝1时，f(x)＝1－eq \f(2,2x＋1)＝eq \f(2x－1,2x＋1).
对任意x∈R，f(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)
＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝－eq \f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，
又f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数．