人教B版 (2019)必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像图文ppt课件

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第二课时　指数函数图像及其性质的应用
课标要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质.2.会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.3.能够利用指数函数的图像和性质比较指数的大小、解不等式.
素养要求
学习借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、指数型函数的定义域和值域1.思考　指数函数y＝ax的定义域为R，值域为(0，＋∞)，指数型函数y＝2x2－1的值域还是(0，＋∞)吗？如何求值域？
2.填空　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为____,值域为_____________. 温馨提醒　 求指数型函数的值域时，注意用换元法令t＝ax，要注意新变量t的范围为(0，＋∞).
R
(0，＋∞)
3.做一做　函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是(　　) A.[0，8) B.(0，8) C.[0，8] D.(0，8]
A
解析　∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0，8).
提示　两函数的单调性相反.
2.填空　函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上单调性的关系：由复合函数单调性的一般规律：“同增异减”.当a＞1时，y＝af(x)的单调性与函数f(x)在相应区间上的单调性______，当a＜1时，y＝af(x)的单调性与函数f(x)在相应区间上的单调性______.
相同
相反
温馨提醒　(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(－∞，－1)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
指数函数图像的辨识
B
题型一
例1 如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A.a解析　在y轴的右侧，指数函数的图像由下到上底数依次增大.由指数函数图像的升降，知c>d>1，b解决指数函数图像问题的注意点(1)熟记当底数a>1和0训练1 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为(　　)
C
解析　由于0解　(1)由x－4≠0，得x≠4，
题型二　与指数函数有关的定义域、值域问题
解　由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
故函数的值域为(1，＋∞).
指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.(2)值域：①换元，t＝f(x).②求t＝f(x)的定义域D.③求t＝f(x)的值域M.④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域，即为所求值域.
∴定义域为(－3，0].
(－3，0]
(2)∵1≤x≤2，∴－1≤x2－2≤2，
(3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________.
解析　函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).
(1，＋∞)
题型三　指数型函数的性质及应用
角度1　指数型函数的单调性
解　令u＝x2－2x，
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴原函数的值域为(0，3].
角度2　指数型函数的综合应用
证明　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
证明　设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两个实数，且x1＜x2，
因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数.
(3)求函数f(x)在[1，2]上的值域.
解　因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
一般规律　“同增异减”，即函数u＝f(x)与y＝au单调性相同时，复合函数y＝af(x)为增函数，函数u＝f(x)与y＝au单调性相反时，复合函数y＝af(x)为减函数.
所以要求函数f(x)的单调减区间，只需求g(x)的单调增区间.令y＝h(x)＝－x2＋4x－3，画出其图像，如图.
B
由复合函数的单调性及函数的定义域可知f(x)的单调减区间为[1，2].
∵函数y＝3x在R上为增函数，∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.故原不等式的解集为[0，2].
[0，2]
课堂小结
1.指数型函数性质的常用处理方法： (1)形如y＝af(x)的函数的定义域和值域问题：定义域与f(x)的定义域相同，而求值域需先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定y＝af(x)的值域. (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的复合函数可以具有奇偶性，一般用定义进行判断.2.易错点：(1)解指数型函数问题时忽略指数函数本身的值域或换元时忽视新元的取值范围致错； (2)底数含有字母时，忽略对底数的分类讨论致错.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
C
A
D
AC
B
[1，＋∞)
[1，＋∞)
解析　由x－1≥0得x≥1，
∴定义域为[1，＋∞)，值域为[1，＋∞).
2
[－1，＋∞)
(0，3]
解　令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.
解　当a＝－1时，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)的单调减区间为(－2，＋∞)，
∴f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解　令h(x)＝ax2－4x＋3，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
CD
A
解　∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，满足f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数.∴a＝1.
(2)用定义证明函数f(x)在R上的单调性；
证明　由(1)知，f(x)＝2x－2－x.任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1即f(x1)(3)若对任意的x∈R，不等式f(x2－x)＋f(2x2－k)>0恒成立，求实数k的取值范围.
解　∵f(x2－x)＋f(2x2－k)>0，∴f(x2－x)>－f(2x2－k).∵f(x)是奇函数，∴f(x2－x)>f(k－2x2).又由f(x)在R上是增函数，得x2－x>k－2x2，即k<3x2－x对任意的x∈R恒成立.
解析　当x≥0时，3x≥3－x，∴f(3x*3－x)＝3－x∈(0，1]；当x<0时，3x<3－x，∴f(3x*3－x)＝3x∈(0，1)，∴f(3x*3－x)的值域为(0，1].
A