数学4.3 指数函数与对数函数的关系当堂达标检测题

这是一份数学4.3 指数函数与对数函数的关系当堂达标检测题，共6页。

1.已知函数y＝ax与y＝lgax，其中a>0且a≠1，下列说法不正确的是( )
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内增减性相同
D．y＝ax的图像经过平行移动可得到y＝lgax的图像
2．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )
A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln(2x)(x>0)
C．y＝eq \f(1,2)ln x(x>0) D．y＝eq \f(1,2)ln(2x)(x>0)
3．已知函数y＝lg3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( )
A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)
4.如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是( )
5．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.
6．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．
7．已知函数f(x)＝lg2(1－2x)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
8．已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2018)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－eq \f(1,2)，则x0等于( )
A．－2 B．－1
C．2 D.eq \f(1,2)
2．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )
A．y＝1＋lg2x(x>0)
B．y＝lg2(x－1)(x>1)
C．y＝－1＋lg2x(x>0)
D．y＝lg2(x＋1)(x>－1)
3.当0A．有且只有一个 B．可能无解
C．可能有3个 D．一定有3个
4．设函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
5．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图像只能是( )
6．(易错题)已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤eq \f(1,2)的解集是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
C．[－2,0)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D．[－1,0]∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
二、填空题
7．设函数f(x)＝lg2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
8．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a＝________，b＝________.
9．(探究题)已知函数f(x)与函数g(x)＝lgx的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调递增区间是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝lga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
学科素养升级练
1．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是( )
A．[－1,1] B．(－∞，0]
C．[－2,4] D．[2,4]
2．函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x＜0，,ex，x≥0))的反函数是________．
3．(学科素养—数学抽象)已知f(x)＝eq \f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞lg2eq \f(1＋x,k).
4．3 指数函数与对数函数的关系
必备知识基础练
1．解析：由反函数的定义可知ABC均正确，D错误．
答案：D
2．解析：y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝eq \f(1,2)ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝eq \f(1,2)ln x，x>0.
答案：C
3．解析：∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝lg3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
答案：D
4．解析：由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝lg3x＋1，∴图像为C.
答案：C
5．解析：由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.
答案：2
6．解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，
∴y＝f(x)的图像过点(0,2)，
∴2＝a0－k，
∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)，
∴3＝a1＋1，
∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
答案：f(x)＝2x＋1
7．解析：(1)要使函数f(x)＝lg2(1－2x)有意义，则1－2x>0，
即2x<1.
故x<0，此时0<1－2x<1，
∴f(x)＝lg2(1－2x)<0，
故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．
(2)证明：由y＝f(x)＝lg2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝lg2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝lg2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
8．解析：∵g(x)的图像过定点(1,2 018)，
∴f(x＋1)的图像过定点(2 018,1)．
又∵f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2 019,1)．
又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，
∴f－1(x)的图像过定点(1,2 019)．
再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，
f－1(x＋1)的图像过定点(0,2 019)．
答案：(0,2 019)
易错分析：本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．
关键能力综合练
1．解析：∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x的反函数是f(x)＝lgx，
∴f(x0)＝lgx0＝－eq \f(1,2).
∴x0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2))＝2.
答案：C
2．解析：由y＝2x＋1⇒x＋1＝lg2y⇒x＝－1＋lg2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋lg2x(x>0)．
答案：C
3．解析：考虑函数y＝lgax与函数y＝ax的图像公共点，易知B，D两项不对．又y＝lgx和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))x的图像除了在直线y＝x上存在一个公共点外，还存在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))两个公共点．
答案：C
4．解析：f(x)＝lga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)图像过点(2,1)，∴f－1(x)图像过点(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝2，,a2－b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－4，))
又a>0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，))∴a＋b＝4.
答案：B
5．解析：解法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝lga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性来看，y＝ax与y＝lga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B.
解法二：若0若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝lga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
答案：B
6．解析：由题意，可得－1≤f－1(x)≤eq \f(1,2)的解集即为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上的值域．
当－1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
当0≤x≤eq \f(1,2)时，由题图可知f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
故不等式－1≤f－1(x)≤eq \f(1,2)的解集为[－2,0)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
答案：C
7．解析：∵x≥1，∴lg2x≥0，
∴lg2x＋3≥3，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．解析：由y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，说明它们互为反函数．又由y＝ax＋2，解得x＝eq \f(y－2,a)(a≠0)，所以其反函数为y＝eq \f(1,a)x－eq \f(2,a)，与函数y＝3x＋b表示同一函数，则有eq \f(1,a)＝3且－eq \f(2,a)＝b，解得a＝eq \f(1,3)，b＝－6.
答案：eq \f(1,3) －6
9．解析：由题意得f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
∴f(x2＋2x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
∵f(x)在R上是减函数，
∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
10．解析：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝lga(2－x) ，得2－x＝ay，
即x＝2－ay.
∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－a－2＋a
＝a－a，
∵a>1，x1∴a∴f－1(x2)∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
学科素养升级练
1．解析：函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y＝2|x|在[－1,1], [－2,4]上不单调．故选AC.
答案：AC
2．解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x＜1，,ln x，x≥1.))
答案：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x＜1，,ln x，x≥1))
3．解析：(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1).
因为f(x)＋f(－x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＋eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＋eq \f(1－2x,1＋2x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1)，
所以2x＝eq \f(1＋y,1－y)(－1＜y＜1)，
所以f－1(x)＝lg2eq \f(1＋x,1－x)(－1＜x＜1)．
(3)因为f－1(x)＞lg2eq \f(1＋x,k)，
即lg2eq \f(1＋x,1－x)＞lg2eq \f(1＋x,k)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)＞\f(1＋x,k)，,－1＜x＜1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞1－k，,－1＜x＜1，))
当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}；
当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．