全国版高考数学必刷题：第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理

这是一份全国版高考数学必刷题：第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理，共31页。试卷主要包含了　②，定积分01 dx的值为等内容，欢迎下载使用。
第五单元　导数的概念与计算、定积分
与微积分定理



考点一
导数的计算

1.(2016年四川卷)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,00) 
f(x)=ex
f'(x)=　　　 
f(x)=logax
f'(x)=1xlna
f(x)=ln x
f'(x)=1x


三
导数的运算法则

　　1.[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　; 
2.[f(x)·g(x)]'=　　　　　　　; 
3.f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).

四
复合函数的导数

　　复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=　　　　,即y对x的导数等于　　　　的导数与　　　　的导数的乘积. 


☞ 左学右考

1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同.(　　)
(2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为3(x2-a2).(　　)
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　)
(4)若f(x)=sin α+cos x,则f'(x)=cos α-sin x.(　　)
2 若f(x)=x·ex,则f'(1)等于(　　).
A.0　　　　　　　　B.e
C.2e　　 　　 D.e2
3 曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是(　　).
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
4 若y=ln(2x+5),则y'=　　　　. 
5 设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'π2sin x+cos x,则f'π4=　　　　. 
6 已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.


知识清单
一、1.(x0,f(x0))　切线斜率　y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
二、n·xn-1　cos x　-sin x　axln a　ex
三、1.f'(x)±g'(x)
2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
四、y'u·u'x　y对u　u对x
基础训练
1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.
(2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x2-a2).
(3)正确.
(4)错误,f'(x)=-sin x.
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　
2.【解析】f'(x)=ex+xex,则f'(1)=2e.
【答案】C
3.【解析】y'=cos x+ex,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.
【答案】C
4.【解析】y'=22x+5.
【答案】22x+5
5.【解析】因为f'(x)=f'π2cos x-sin x,所以f'π2=-1,所以f'π4=22f'π2-22=-2.
【答案】-2
6.【解析】设切点P(m,ln(m+a)),又y'=1x+a,
所以1m+a=2,ln(m+a)=2m-1,解得a=12ln 2.



题型一
导数的计算

　　【例1】(1)f(x)=x2+xex;
(2)f(x)=x3+2x-x2lnx-1x2;
(3)y=xsin2x+π2cos2x+π2.
【解析】(1)f'(x)=(2x+1)ex-(x2+x)ex(ex)2=1+x-x2ex.
(2)由已知得f(x)=x-ln x+2x-1x2,∴f'(x)=1-1x-2x2+2x3=x3-x2-2x+2x3.
(3)∵y=xsin2x+π2cos2x+π2=12xsin(4x+π)=-12xsin 4x,
∴y'=-12sin 4x-12x·4cos 4x=-12sin 4x-2xcos 4x.

　　熟记导数运算法则,求导之前能化简的要化简;求复合函数的导数,关键在于分析函数的复合关系,适当确定中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
　　【变式训练1】(1)函数y=(1-x)1+1x,则y'=　　　　. 
(2)已知f(x)=sin3x-π4,则f'π3=　　　　. 
【解析】∵y=(1-x)1+1x=1x-x=x-12-x12,
∴y'=-12x-32-12x-12=-12x-32+x-12.
(2)∵y'=cos3x-π4·3x-π4'=3cos3x-π4,
∴f'π3=3cos3×π3-π4=-322.
【答案】(1)-12x-32-x12　(2)-322

题型二
导数的几何意义

　　【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),
∵f'(x0)=3x02-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).
又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),
∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.


　　导数f'(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,曲线在点P处的切线是以点P为切点,曲线过点P的切线则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标.

　　【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　).
A.1　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.-2
(2)设a∈R,函数f(x)=ex+aex的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为　　　　. 
【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=1x+a,所以y' x=x0=1x0+a=1,即x0+a=1.
又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.
(2)函数f(x)=ex+aex的导函数是f'(x)=ex-aex.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即ex-aex=-(e-x-a·ex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=ex-1ex.令ex-1ex=32,解得ex=2或ex=-12(舍去),所以x=ln 2.
【答案】(1)B　(2)ln 2

题型三
导数运算的应用

　　【例3】设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(　　).
A.222-1e B.22-1e
C.22 D.2
【解析】y'=e-x-xe-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得ex=1-x,ex+x-1=0,令h(x)=ex+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程ex+x-1=0只有一解x=0,曲线y=xe-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d=12=22,即P,Q两点间距离的最小值为22,故选C.
【答案】C

　　导数是研究函数问题的工具,解题时,要有运用导数的意识.

　　【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于(　　).
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1x=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.
【答案】B


方法一
化归转化思想在导数运算中的应用

　　对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.
【突破训练1】求下列函数的导数.
(1)y=1+x1-x+1-x1+x;
(2)y=xln 2x.
【解析】(1)∵y=(1+x)2+(1-x)21-x=2(1+x)1-x=41-x-2,∴y'=4(1-x)2.
(2)y=xln(2x)12=12xln 2x,
y'=12xln2x'=12[x'ln 2x+x(ln 2+ln x)']=12(ln 2x+1).

方法二
求切线斜率的方法

　　导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0)),求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.
(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由y1=f(x1),y0-y1=f'(x1)(x0-x1)求解即可.
　　【突破训练2】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.
【解析】∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,∴设切点为(x0,y0).又∵f'(x)=1+ln x,∴y0=x0lnx0,y0+1=(1+lnx0)x0,解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.



1.(2017海南八校一模)已知函数f(x)=axx2+3,若f'(1)=12,则实数a的值为(　　).
A.2　　　 　B.4　　 　　C.6　　 　　D.8
【解析】函数f(x)=axx2+3,则f'(x)=a(x2+3)-ax(2x)(x2+3)2,
∵f'(1)=12,即f'(1)=4a-2a16=12,∴a=4.
【答案】B
2.(2017吉林白山二模)设f(x)存在导函数且满足limΔx→0f(1)-f(1-2Δx)Δx=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为(　　).
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【解析】y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=limΔx→0=f(1)-f(1-2Δx)2Δx=-1.
【答案】A
3.(2017惠州模拟)已知函数f(x)=1xcos x,则f(π)+f'π2=(　　).
A.-3π2 B.-1π2 C.-3π D.-1π
【解析】因为f'(x)=-1x2cos x+1x(-sin x),所以f(π)+f'π2=-1π+2π×(-1)=-3π.
【答案】C
4.(2017江西南昌模拟)已知函数f(x)=lnx2+1,则f'(2)=(　　).
A.15 B.25 C.35 D.45
【解析】因为f(x)=lnx2+1=12ln(x2+1),所以f'(x)=12×2x1+x2=x1+x2,所以f'(2)=21+22=25,故选B.
【答案】B
5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(　　).
A.-2 B.2 C.-12 D.12
【解析】由y'=-2(x-1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-12.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2,故选A.
【答案】A
6.(2017河南郑州二模)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f'[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)的值为(　　).
A.6+24 B.6-24 C.0 D.1
【解析】f0(x)=sin x,则f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,…,则f(1)(x)=f(5)(x)=f(9)(x)=…,
即f(n)(x)=f(n+4)(x),则f(n)(x)是周期为4的周期函数.
又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,
∴f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)=f(1)(15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.
【答案】A
7.(2017江西七校一模)已知函数f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(4)=　　　　. 
【解析】f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(x)=2x+f'(2)1x-1,则f'(2)=4+f'(2)12-1,
∴f'(2)=83,∴f'(x)=2x+831x-1,∴f'(4)=6.
【答案】6

8.(2017郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=　　　　. 
【解析】由题图可得曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-13=0.
【答案】0
9.(2017保定一模)若函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 
【解析】函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在x∈(0,+∞)上有解,而f'(x)=1x+a,即1x+a=2在x∈(0,+∞)上有解,a=2-1x,因为x>0,所以2-1x0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+b2=1.则8a+bab=8b+1a=a+b28b+1a=8ab+b2a+5≥28ab·b2a+5=9,当且仅当2a+b=2,8ab=b2a,即a=13,b=43时等号成立.所以8a+bab的最小值是9.
【答案】A
12.(2017北京东城区模考)已知M,N分别是曲线y=ex与直线y=ex-1上的点,则线段MN的最小值为(　　).
A.1e2+1 B.e2+1e2+1 C.e2+1　　 D.e
【解析】设曲线y=ex在某点处的切线为l,当切线l与直线y=ex-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l与直线y=ex-1平行,所以切线l的斜率为e.设切点坐标为M(a,b),又曲线y=ex在点M(a,b)处的切线的斜率为y' x=a=ea,
由ea=e,得a=1,所以切点M的坐标为(1,e),
故切线l的方程为y-e=e(x-1),即ex-y=0.
又直线y=ex-1,即ex-y-1=0,
所以d=1e2+1=e2+1e2+1,即线段MN的最小值为e2+1e2+1.
【答案】B
13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的　　　　的面积. 

二
定积分的性质

　　1.ab kf(x)dx=kab f(x)dx (k为常数).
2.ab [f1(x)±f2(x)]dx=ab f1(x)dx±ab f2(x)dx.
3.ab f(x)dx=ac f(x)dx+cb f(x)dx(其中a