全国版高考数学必刷题：第九单元　平面向量

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第九单元　平面向量



考点一
平面向量的线性运算

1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　. 
【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,
∴λ=t,1=2t,解得λ=12,t=12.
【答案】12
2.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　).
A.AD=-13AB+43AC
B.AD=13AB-43AC
C.AD=43AB+13AC
D.AD=43AB-13AC
【解析】AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(AC-AB)=43AC-13AB=-13AB+43AC.故选A.
【答案】A
3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　).
A.3　　　　B.22　　　　C.5　　　　D.2
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).

设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.
∵CD=1,BC=2,
∴BD=12+22=5,
EC=BC·CDBD=25=255,
即圆C的半径为255,
∴点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.
设P(x0,y0),则x0=2+255cosθ,y0=1+255sinθ(θ为参数),
而AP=(x0,y0),AB=(0,1),AD=(2,0).
∵AP=λAB+μAD=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=12x0=1+55cos θ,λ=y0=1+255sin θ.
两式相加,得
λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+sin(θ+φ)≤3
其中sinφ=55,cosφ=255,
当且仅当θ=π2+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
故选A.
【答案】A

考点二
向量的数量积运算

4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(　　).
A.-8 B.-6 C.6 D.8
【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).
因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
【答案】D
5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=(　　).
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】因为BA=12,32,BC=32,12,所以BA·BC=34+34=32.又因为BA·BC=|BA||BC|cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=32.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.
【答案】A
6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　. 
【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,
AB·AC=3×2×cos 60°=3,
AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,
∴ AD·AE=13AB+23AC·(λAC-AB)
=λ-23AB·AC-13AB2+2λ3AC2
=λ-23×3-13×32+2λ3×22
=113λ-5=-4,解得λ=311.
【答案】311
7.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n0,c>0,∴b+c=4,
∴△ABC的周长为a+b+c=4+22.
14.(2017江西吉安模拟)已知函数f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx-ln x,b∈R.
(1)若bb对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
【解析】(1)f'(x)=ex(2x+b+2),
由f'(x)b对任意x∈(0,+∞)恒成立,则g(x)0,
∴g(x)=ln(1+x)-bx在(0,+∞)上为增函数,
∴g(x)=ln(1+x)-bx>g(0)=0,不能使g(x)