全国版高考数学必刷题：第十单元　数列

这是一份全国版高考数学必刷题：第十单元　数列，共60页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

第十单元　数列



考点一
等差数列

1.(2017年全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　).
A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.8
【解析】a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+6×52×d=48,联立2a1+7d=24,　①6a1+15d=48,　②
由①×3-②,得(21-15)×d=24,即6d=24,所以d=4.
【答案】C
2.(2016年全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　).
A.100 B.99 C.98 D.97
【解析】(法一)∵{an}是等差数列,设其公差为d,
∴S9=92(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
又∵a10=8,∴a1+4d=3,a1+9d=8,∴a1=-1,d=1.
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
(法二)∵{an}是等差数列,
∴S9=92(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
在等差数列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d'=a10-a5=8-3=5.
故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.
【答案】C
3.(2016年浙江卷)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　).

A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列
C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列
【解析】作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,…,Cn,则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn+1|=|An+1An+2|,∴|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|.
设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,
则|A3C3|=2b-a,…,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n≥3),
∴Sn=12c[(n-1)b-(n-2)a]=12c[(b-a)n+(2a-b)],
∴Sn+1-Sn=12c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)]=12c(b-a),∴数列{Sn}是等差数列.
【答案】A
4.(2017年全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则∑k=1n1Sk=　　　　. 
【解析】设数列{an}的首项为a1,公差为d.
由a3=a1+2d=3,S4=4a1+6d=10,
得a1=1,d=1,所以an=n,Sn=n(n+1)2,
所以∑k=1n1Sk21×2+22×3+…+2n(n-1)+2n(n+1)
=21-12+12-13+…+1n-1-1n+1n-1n+1
=21-1n+1=2nn+1.
【答案】2nn+1
5.(2016年全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1000项和.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.
所以数列{an}的通项公式为an=n.
所以b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(2)因为bn=0,1≤nb,由题意得a+b=p>0,ab=q>0,∴a>0,b>0,
则a,-2,b成等比数列,a,b,-2成等差数列,
∴ab=(-2)2,a-2=2b,∴a=4,b=1,∴p=5,q=4,∴p+q=9.
【答案】D
13.(2017年北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=　　　　. 
【解析】由a1=-1,a4=8,得d=3,则a2=a1+d=-1+3=2;由b1=-1,b4=8,得q=-2,则b2=b1q=2.故a2b2=22=1.
【答案】1
14.(2015年全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)由an2+2an=4Sn+3,　①
可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.　②
②-①,得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).
由an>0,得an+1-an=2.
又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知,
bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3
=n3(2n+3).
15.(2015年天津卷)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=log2a2na2n-1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)由已知,得(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).
又因为q≠1,所以a3=a2=2.由a3=a1·q,得q=2.
当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2n-12;
当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2n2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-12,n为奇数,2n2,n为偶数.
(2)由(1)得bn=log2a2na2n-1=n2n-1,n∈N*.
设数列{bn}的前n项和为Sn,则
Sn=1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n-2+n×12n-1,
12Sn=1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n-1+n×12n,
上述两式相减,得
12Sn=1+12+122+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n,
整理得Sn=4-n+22n-1,n∈N*.
所以数列{bn}的前n项和为4-n+22n-1,n∈N*.

　　高频考点:数列的通项,等差数列与等比数列的判断或证明,等差数列与等比数列的基本量、通项及求和,数列的综合应用.
命题特点:1.等差数列、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以选择题或填空题形式出现.
2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和,体现转化与化归的思想.
3.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点,考查考生分析问题、解决问题的综合能力.

§10.1　数列的概念



一
数列的定义

　　按照　　　　排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的　　　　,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫作首项). 

二
数列的通项公式

　　如果数列{an}的第n项与　　　　之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 

三
数列的递推公式

　　如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任意一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an=f(an-1)(或an=f(an-1,an-2)等),那么这个式子叫作数列{an}的递推公式.



☞左学右考

1 下列说法正确的是(　　).
A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列
B.数列-2,3,6,8可以表示为{-2,3,6,8}
C.{an}和an是相同的概念
D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的
2 数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是an等于(　　).
A.(-1)n+12
B.cos nπ2
C.cos n+12π
D.cos n+22π


四
Sn与an的关系

　　已知数列{an}的前n项和为Sn,
则an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,这个关系式对任意数列均成立.

五
数列的分类

　　

1.单调性
递增数列:∀n∈N*,　　　　; 
递减数列:∀n∈N*,　　　　; 
常数列:∀n∈N*,an+1=an;
摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
2.周期性
周期数列:∀n∈N*,存在正整数k,an+k=an.
3 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,求数列{an}的通项公式.

知识清单
一、一定顺序　项
二、序号n
五、1.an+1>an　an+1a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2.
∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+12x-2-a2的单调性,知5a32>a42,又a420,a6a70的最大自然数n的值为(　　).
A.6 B.7 C.12 D.13
【解析】∵a1>0,a6a70,a70,a1+a13=2a70,S130的最大自然数n的值为12.
【答案】C
12.(2016浙江名校联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的17是最小的两份之和,则最小的一份为(　　).
A.53 B.103 C.56 D.116
【解析】依题意,设这100个面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,则有5a=100,a+(a+m)+(a+2m)=7(a-2m+a-m),
解得a=20,m=11a24,a-2m=a12=53,即其中最小的一份为53.
【答案】A
13.(2017东北三省四市联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则正整数m的值为　　　　. 
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列{an}的公差d=1,am+am+1=Sm+1-Sm-1=5,即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m.由Sm=(3-m)m+m(m-1)2×1=0,解得正整数m的值为5.
【答案】5
14.(2017郑州二模)已知在数列{an}中,a3=2,a5=1,若11+an是等差数列,则a11等于　　　　. 
【解析】记bn=11+an,则b3=13,b5=12,数列{bn}的公差为12×(12-13)=112,∴b1=16,∴bn=n+112,即11+an=n+112.∴an=11-nn+1,∴a11=0.
【答案】0
15.(2017石家庄模拟)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:b1=a1且bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
【解析】(1)由题意得a3a6=55,a3+a6=a2+a7=16,
∵公差d>0,∴a3=5,a6=11,∴a1=1,d=2,∴an=2n-1(n∈N*).
(2)∵bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*),
∴bn-bn-1=2n-1(n≥2,n∈N*).
∵bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1(n≥2,n∈N*),且b1=a1=1,
∴bn=2n-1+2n-3+…+3+1=n2(n≥2,n∈N*).
∵当n=1时,b1=1满足上式.
∴bn=n2(n∈N*).
16.(2017山西忻州四校联考)数列{an}满足a1=12,an+1=12-an(n∈N*).
(1)求证:1an-1为等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设bn=1an-1,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有B3n-Bn>m20(n∈N*)成立,求正整数m的最大值.
【解析】(1)因为an+1=12-an,所以1an+1-1=112-an-1=2-anan-1=-1+1an-1,即1an+1-1-1an-1=-1,
所以1an-1是首项为-2,公差为-1的等差数列,
所以1an-1=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以an=nn+1.
(2)bn=n+1n-1=1n,
令Cn=B3n-Bn=1n+1+1n+2+…+13n,
所以Cn+1-Cn=1n+2+1n+3+…+13(n+1)-1n+1-…-13n=-1n+1+13n+1+13n+2+13n+3=13n+1+13n+2-23n+3>23n+3-23n+3=0,
所以Cn+1-Cn>0,所以{Cn}为单调递增数列,
所以(B3n-Bn)min=B6-B2=13+14+15+16=1920,
所以m200时,S3=1+q+1q≥1+2q·1q=3(当且仅当q=1时取等号);当q0,所以a6=2a5,q=a6a5=2,a1=a2q=2.
(2)由S10S5=3132,a1=-1知,公比q≠-1,S10-S5S5=-132.
由等比数列前n项和的性质知,S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,
故q5=-132,q=-12.
【答案】(1)C　(2)-12


方法
方程思想在等比数列中的应用

　　等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.这也体现了方程思想在解答等比数列中的应用.
【突破训练】(1)(2017杭州质检)在等比数列{an}中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于(　　).
A.2 B.-2 C.3　 D.-3
(2)设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)由题意可得q≠1,由数列{Sn+2}是等比数列,可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,∴(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),∴(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,∴q=3(q=0舍去).
(2)∵{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.
当q=1时,Sn=na1>0;
当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q>0,即1-qn1-q>0(n=1,2,3,…),则有1-q>0,1-qn>0或1-q