全国版高考数学必刷题：第八单元 三角恒等变换与解三角形

这是一份全国版高考数学必刷题：第八单元 三角恒等变换与解三角形，共29页。
第八单元　三角恒等变换与解三角形



考点一
三角恒等变换

1.(2017年江苏卷)若tanα-π4=16,则tanα=　　　　. 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】tanα=tanα-π4+π4
=tanα-π4+tanπ41-tanα-π4tanπ4=16+11-16×1=75.
【答案】75
2.(2016年全国Ⅱ卷)若cosπ4-α=35,则sin2α=(　　).
A.725 B.15 C.-15 D.-725
【解析】因为cosπ4-α=35,所以sin2α=cosπ2-2α=cos2π4-α=2cos2π4-α-1=2×925-1=-725.
【答案】D
3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(　　).
A.-32 B.32 C.-12 D.12
【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.
【答案】D
4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)=　　　　. 
【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),
∴β=π+2kπ-α(k∈Z),
sinβ=sinα,cosβ=-cosα.
又sinα=13,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=-cos2α+sin2α=2sin2α-1
=2×19-1=-79.
【答案】-79

考点二
解三角形

5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=(　　).
A.31010 B.1010 C.-1010 D.-31010
【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则由题意得S△ABC=12×a×13a=12acsinB,∴c=23a.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+29a2-2×a×23a×22=59a2,∴b=53a.
∴cosA=b2+c2-a22bc=59a2+29a2-a22×53a×23a=-1010.
【答案】C
6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=　　　　. 
【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cosA=45,cosC=513,
所以sinA=35,sinC=1213,
所以sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35×513+45×1213=6365.
又a=1,所以由正弦定理得b=asinBsinA=sinBsinA=6365×53=2113.
【答案】2113
7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是(　　).
A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A
【解析】∵等式右边=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB,
等式左边=sinB+2sinBcosC,
∴sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB.
由cosC>0,得sinA=2sinB.
由正弦定理得a=2b.故选A.
【答案】A
8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　,cos∠BDC=　　　　. 
【解析】

依题意作出图形,如图所示,
sin∠DBC=sin∠ABC.
由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,
则sin∠ABC=154,cos∠ABC=14.
所以S△BDC=12BC·BD·sin∠DBC
=12×2×2×154=152.
因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-14=BD2+BC2-CD22BD·BC=8-CD28,
所以CD=10.
由余弦定理,得cos∠BDC=4+10-42×2×10=104.
【答案】152　104
9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是　　　　. 
【解析】在锐角三角形ABC中,∵sinA=2sinBsinC,
∴sin(B+C)=2sinBsinC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.
∴tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanBtanCtanBtanC-1.　①
∵A,B,C均为锐角,
∴tanBtanC-1>0,∴tanBtanC>1.
由①得tanBtanC=tanAtanA-2.
又由tanBtanC>1,得tanAtanA-2>1,∴tanA>2.
∴tanAtanBtanC=tan2AtanA-2=(tanA-2)2+4(tanA-2)+4tanA-2=(tanA-2)+4tanA-2+4≥24+4=8,当且仅当tanA-2=4tanA-2,即tanA=4时取等号.
故tanAtanBtanC的最小值为8.
【答案】8
10.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2B2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去)或cosB=1517.
故cosB=1517.

　　(2)由cosB=1517得sinB=817,
故S△ABC=12acsinB=417ac,
又S△ABC=2,则ac=172.
由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.
所以b=2.
11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
【解析】(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,
即c2+2c-24=0,
解得c=-6(舍去)或c=4.
(2)由题设可得∠CAD=π2,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.
又△ABC的面积为S=12×4×2sin∠BAC=23,
所以△ABD的面积为3.
12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【解析】(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.
由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA,
故sinBsinC=23.
(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,
即cos(B+C)=-12,所以B+C=2π3,故A=π3.
由题意得12bcsinA=a23sinA,a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.
由bc=8,得b+c=33.
故△ABC的周长为3+33.


　　高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.
命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.
2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.
3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.

§8.1　三角恒等变换



一
两角和与差的余弦、正弦、正切公式

　　Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
Cα+β: cos(α+β)=　　　　　　　　　; 
Sα-β: sin(α-β)=　　　　　　　　　; 
Sα+β: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
Tα-β: tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
Tα+β: tan(α+β)=　　　　　　　. 

二
二倍角公式

　　sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos2α-sin2α=　　　　=　　　　　; 
tan2α=2tanα1-tan2α.

三
辅助角公式

　　函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)=a2+b2cos(α-φ)其中tanφ=ab.




1cos75°cos15°-cos105°sin75°的值为　　　　. 
2 函数f(x)=2sinx(sinx+3cosx)的最小值为　　　　. 
3 若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tanα-π4=(　　　).
A.-2　　　　　　　　　　B.2
C.-43 D.43
4 若α+β=3π4,求(1-tanα)(1-tanβ)的值.



知识清单
一、cosαcosβ-sinαsinβ　sinαcosβ-cosαsinβ　tanα+tanβ1-tanαtanβ
二、2cos2α-1　1-2sin2α
基础训练
1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=12.
【答案】12
2.【解析】f(x)=2sin2x+23sinxcosx
=2×1-cos2x2+3sin2x=3sin2x-cos2x+1
=2sin2x-π6+1≥-1.
【答案】-1
3.【解析】由sinα+cosαsinα-cosα=12,等式左边分子、分母同时除以cosα得tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,则tanα-π4=tanα-11+tanα=2.
【答案】B
4.【解析】∵-1=tan3π4=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,
∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.
∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,
即(1-tanα)(1-tanβ)=2.



题型一
三角函数式的化简、求值问题

　　【例1】若tanπ12cos5π12=sin5π12-msinπ12,则实数m的值为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.23 B.3 C.2 D.3
【解析】由tanπ12cos5π12=sin5π12-msinπ12,
得sinπ12cos5π12=cosπ12sin5π12-msinπ12cosπ12,
则12msinπ6=sin5π12-π12,解得m=23.
【答案】A

　　三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.

【变式训练1】3tan12°-3(4cos212°-2)sin12°=　　　　. 
【解析】原式=3sin12°cos12°-32(2cos212°-1)sin12°
=2312sin12°-32cos12°cos12°2cos24°sin12°
=23sin(-48°)2cos24°sin12°cos12°=-23sin48°sin24°cos24°
=-23sin48°12sin48°=-43.
【答案】-43

题型二
角的变换

　　【例2】已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,则tan2α=　　　. 
【解析】∵tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=13,
∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-132=34.
【答案】34

　　在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是0,π2,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦函数较好.

【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=17,sin(α-β)=3314,则β的大小为　　　. 
【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=3314,∴0