2022版高考人教版数学一轮练习：练案【18理】 定积分与微积分基本定理（理）

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【18理】 定积分与微积分基本定理（理），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. eq \i\in(1,0,)exdx＝( C )
A．e B．1－e
C．e－1 D．eq \f(1,2)(e－1)
[解析] eq \i\in(1,0,)exdx＝ex|eq \\al(1,0)＝e－1，选C.
2．(2020·西北工大附中期中)若函数f(x)＝x2＋2x＋m(m，x∈R)的最小值为－1，则eq \i\in(1,2,)f(x) dx＝( B )
A．2 B．eq \f(16,3)
C．6 D．7
[解析] f(x)＝(x＋1)2＋m－1，∵f(x)的最小值为－1，∴m－1＝－1，即m＝0，∴f(x)＝x2＋2x.∴eq \i\in(1,2,)f(x)dx＝eq \i\in(1,2,)(x2＋2x)dx＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋x2))))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \f(1,3)×23＋22－eq \f(1,3)－1＝eq \f(16,3).故选B.
3．eq \a\vs4\al(\i\in(-eq \f(π,2), eq \f(π,2),)) (1＋cs x)dx等于( D )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
[解析] eq \a\vs4\al(\i\in(-eq \f(π,2), eq \f(π,2),)) (1＋cs x)dx＝2eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,2),)) (1＋cs x)dx＝2(x＋sin x) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2),0))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋1))＝π＋2.
4．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内运行的路程为( A )
A.eq \f(17,6) B．eq \f(14,3)
C.eq \f(13,6) D．eq \f(11,6)
[解析] 质点在时间[1,2]内的位移为eq \i\in(1,2,)(t2－t＋2)dt＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)t3－\f(1,2)t2＋2t))))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \f(17,6).
5．(2020·辽宁丹东适应性测试)如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的图象相交，形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( B )
A．1 B．eq \f(4,3)
C.eq \r(3) D．2
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x2＋2x＋1，,y＝1，))得x1＝0，x2＝2，所以闭合图形的面积S＝eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x3,3)＋x2))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,0))＝－eq \f(8,3)＋4＝eq \f(4,3).
6．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝eq \f(1,x)(x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为( D )
A．ln 2 B．1－ln 2
C．2－ln 2 D．1＋ln 2
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,y＝\f(1,x)，))得x＝eq \f(1,2).
∴S阴影＝eq \f(1,2)×2＋eq \a\vs4\al(\i\in(eq \f(1,2), 1,))eq \f(1,x)dx＝1＋lneq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,\f(1,2))))eq \f(1,2)))＝1－lneq \f(1,2)＝1＋ln 2.故选D.
7．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则eq \i\in(0,3,)f(x)dx等于( D )
A．16 B．54
C．－24 D．－18
[解析] 由已知得到f′(x)＝2x＋2f′(2)，令x＝2，则f′(2)＝4＋2f′(2)，解得f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x＋3.所以eq \i\in(0,3,)f(x)dx＝eq \i\in(0,3,)(x2－8x＋3)dx＝(eq \f(1,3)x3－4x2＋3x) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(3,0))＝－18.故选D.
8．(2021·湖北武汉调研)已知f(x)为偶函数且eq \i\in(0,6,)f(x)dx＝8，则eq \i\in(-6,6,)f(x)dx＝( D )
A．0 B．4
C．8 D．16
[解析] 因为函数f(x)为偶函数，所以eq \i\in(-6,6,)f(x)dx＝2eq \i\in(0,6,)f(x)dx＝2×8＝16.故选D.
9．(2021·江西九江十校联考)M＝eq \i\in(0,1,)eq \r(1－x2)dx，T＝eq \i\in(0,M,)sin 2xdx，则T＝( A )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．－1 D．1
[解析] 由题意得M＝eq \i\in(0,1,)eq \r(1－x2)dx表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，∴M＝eq \f(π,4)，∴T＝eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,4),))sin 2xdx＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs 2x))))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4),0))＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)－1))＝eq \f(1,2)，故选A.
10．(2020·福建宁德六校期中联考)a＝eq \i\in(0,1,)xdx，b＝eq \i\in(0,1,)sin xdx，c＝eq \i\in(0,1,)(ex－1)dx，则a，b，c的大小关系( B )
A．aC．c[解析] a＝eq \i\in(0,1,)xdx＝eq \f(1,2)x2eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(1,2)，b＝eq \i\in(0,1,)sin xdx＝－cs xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝1－cs 1<1－cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，c＝eq \i\in(0,1,)(ex－1)dx＝(ex－x) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝e－2>eq \f(1,2)，∴a，b，c的大小关系是b二、填空题
11．(2021·丽水模拟)曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是 eq \f(1,3) .
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y2＝x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))则所求面积为
eq \i\in(0,1,)(eq \r(x)－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x\f(3,2)－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(1,3).故填eq \f(1,3).
12．(2021·安徽蚌埠摸底)eq \i\in(,1,)－1(|x|＋sin x)dx＝__1__.
[解析] eq \i\in(-1,1,)(|x|＋sin x)dx＝eq \i\in(-1,1,)|x|dx＋eq \i\in(-1,1,)sin xdx.根据定积分的几何意义可知，函数y＝|x|在[－1,1]上的图象与x轴，直线x＝－1，x＝1围成的曲线图形的面积为1.y＝sin x为奇函数，根据定积分的几何意义，eq \i\in(-1,1,)sin xdx＝0，所以eq \i\in(-1,1,)(|x|＋sin x)dx＝1.
13．(2021·广东七校联考) eq \i\in(0,2,) (eq \r(4－x2)＋x)dx的值等于__π＋2__.
[解析] eq \i\in(0,2,) (eq \r(4－x2)＋x)dx＝eq \i\in(0,2,)eq \r(4－x2)dx＋eq \i\in(0,2,)xdx，其中eq \i\in(0,2,)eq \r(4－x2)dx表示半径为2的圆的面积的eq \f(1,4)，eq \i\in(0,2,)eq \r(4－x2)dx＝eq \f(1,4)π×22＝π，eq \i\in(0,2,)xdx＝eq \f(1,2)x2eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,0))＝2，因此原式等于π＋2.
14．(2020·安徽师大附中期中，13)若f(x)＋eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝x，则eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝ eq \f(1,4) .
[解析] eq \i\in(0,1,)f(x)dx是一个常数，设为c，则有f(x)＝x－c，所以x－c＋eq \i\in(0,1,)(x－c)dx＝x，解得c＝eq \f(1,4).故eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \f(1,4).
B组能力提升
1．求曲线y＝x2＋2与直线y＝x＋2所围成的封闭图形的面积，其中正确的是( B )
A．S＝eq \i\in(0,1,)(x2－x)dx B．S＝eq \i\in(0,1,)(x－x2)dx
C．S＝eq \i\in(0,1,)(y2－y)dy D．S＝eq \i\in(0,1,)(y－eq \r(y))dy
[解析] 依题意，在同一坐标系下画出曲线y＝x2＋2与直线y＝x＋2的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3)，结合图形及定积分的几何意义可知，所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为eq \i\in(0,1,) (x－x2)dx，故选B.
2．下列积分值为1的是( B )
A.eq \i\in(0,5,)(2x2－4)dx B．eq \i\in(0,π,)eq \f(1,2)sin xdx
C. eq \i\in(1,3,)eq \f(1,x)dx D．eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,2),))2cs xdx
[解析] eq \i\in(0,5,) (2x2－4)dx＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x3－4x))))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(5,0))＝eq \f(2,3)×125－20≠1，eq \i\in(0,π,)eq \f(1,2)sin xdx＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π,0))＝－eq \f(1,2)×(－1－1)＝1，eq \i\in(1,3,)eq \f(1,x)dx＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(ln x\(\s\up7( ),\s\d5( ))))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(3,1))＝ln 3≠1，eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,2),))2cs xdx＝2sin xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2),0))＝2.故选B.
3．(2020·皖中名校第二次联考，5)二次函数f(x)＝x2－nx＋m(n，m∈R)的图象如图所示，则定积分eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝( B )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(5,6)
C．2 D．3
[解析] 由图象可知，n＝3，m＝2.所以eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \i\in(0,1,)(x2－3x＋2)dx＝eq \b\lc\ \rc(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－\f(3,2)x2＋2x))))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(5,6).
4．(2020·福建省福清市华侨中学期中，8)如图所示，正弦曲线y＝sin x，余弦曲线y＝cs x与两直线x＝0，x＝π所围成的阴影部分的面积为( D )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
[解析] ∵y＝sin x与y＝cs x的图象在(0，π)内的交点为(eq \f(π,4)，eq \f(\r(2),2))，∴阴影部分面积为eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,4),)) (cs x－sin x)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(π, eq \f(π,4),)) (sin x－cs x)dx＝(sin x＋cs x) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4),0))＋(－cs x－sin x) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π,eq \f(π,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))＝2eq \r(2)，故选D.
5．(2019·四川成都一中期中)若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－5，x>0，,2x＋eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,6),))cs 3tdt，x≤0，))则f(2019)＝( C )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C.eq \f(5,6) D．eq \f(1,2)
[解析] f(2019)＝f(2019－5×403)＝f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝2－1＋eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,6),))cs 3tdt.因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)sin 3t))′＝cs 3t，所以eq \a\vs4\al(\i\in(0, eq \f(π,6),))cs 3tdt＝eq \f(1,3)sin 3teq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6),0))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,2)－sin 0))＝eq \f(1,3)，所以f(2019)＝2－1＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).故选C.