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人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试课后复习题
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这是一份人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试课后复习题,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第一章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟 满分:100分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知f(x)=,则f′(e)=( )A. B.C.- D.-2.曲线f(x)=ex+x在(1,f(1))的切线方程为( )A.(1+e)x-y=0B.ex-y+1=0C.(1+e)x+y-2(1+e)=0D.x-(1+e)y=03.函数f(x)=aln x+x在x=1处取得极值,则a的值为( )A. B.-1C.0 D.-4.函数f(x)=( )A.在(0,2)上单调递减B.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增C.在(0,2)上单调递增D.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)=2x2,x∈(-1,1).如果f(x)<f(1-x),则实数x的取值范围为( )A. B.(-1,1)C. D.6.cos 2xdx=( )A. B.C. D.-7.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)( )A.在(-∞,0)上为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取极大值8.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是( )A.a>-1 B.-1<a<0C.0<a<1 D.a>19.如果圆柱的轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( )A.3π B.3πC.3π D.3π10.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是( )A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.由曲线y=ex+x与直线x=0,x=1,y=0所围成图形的面积等于__________.12.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为__________.13.函数f(x)=(x2-3)ex在[0,2]上的最大值为__________.14.若f(x)=则f(x)dx=__________.15.函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是__________.三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-与x=1处都取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[-2,2]的最大值与最小值.17.(本小题6分)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.18.(本小题6分)已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若y=xf(x)+的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围.19.(本小题7分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
参考答案一、1.解析:∵f′(x)==,∴f′(e)==-.答案:D2.解析:f′(x)=1+ex,k=f′(1)=1+e.∵f(1)=1+e,∴切线方程为y-(1+e)=(1+e)(x-1),即(1+e)x-y=0.答案:A3.解析:f′(x)=+1,令f′(x)=0,得x=-a,所以函数f(x)在x=-a处取得极值,所以a=-1.答案:B4.解析:f′(x)===.令f′(x)=0,得x1=0,x2=2.∴x∈(-∞,0)和x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,1)和x∈(1,2)时,f′(x)<0,故选B.答案:B5.解析:∵f′(x)=2x2≥0,∴f(x)在(-1,1)上单调递增,故x<1-x,又-1<x<1,-1<1-x<1,解得0<x<.答案:D6.解析:cos 2xdx=×sin 2x=.答案:A7.解析:由图可知f(x)在(0,2)和(4,+∞)上单调递减,在(-∞,0)和(2,4)上单调递增,∴f(x)在x=0时取极大值,x=2取极小值,故C正确.答案:C8.解析:∵f(x)在x=a处取得极大值,∴f(x)在x=a附近左增右减,分a>0,a=0,a<0讨论易知-1<a<0.答案:B9.解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,∴h=.V=πr2h=πr2-2πr3.则V′=lπr-6πr2,令V′=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的极值点.∴当r=时,V取得最大值,最大值为3π.答案:A10.解析:f′(x)=-x+.∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数,∴f′(x)=-x+≤0在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立.又∵x(x+2)=(x+1)2-1<-1,∴b≤-1.答案:C二、11.解析:由已知面积S=(ex+x)dx==e+-1=e-.答案:e-12.解析:∵y′=3x2-10=2,∴x=±2.又点P在第二象限,∴x=-2.∴点P的坐标为(-2,15).答案:(-2,15)13.解析:f′(x)=2xex+ex(x2-3)=ex(x2+2x-3),令f′(x)=0,得x=1或x=-3(舍),∴在x∈[0,1]上,f(x)递减,在[1,2]上,f(x)递增.又∵f(0)=-3,f(2)=e2,∴f(x)max=e2.答案:e214.解析:f(x)dx=(-x)dx+(x2+3)dx=+=.答案:15.解析:f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,得x=±.∴f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减.∴f(-)=6,f()=2.∴解得a=1,b=4.∴f′(x)=3x2-3.∴令f′(x)<0,得-1<x<1.答案:(-1,1)三、16.解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,由题意即解得经检验符合题意,∴f(x)=x3-x2-2x.(2)由(1)知f′(x)=3(x-1),令f′(x)=0,得x1=-,x2=1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-2-1(1,2)2f′(x) +0-0+ f(x)-6极大值极小值-2由上表知fmax(x)=f(2)=2,fmin(x)=f(-2)=-6.17.解:(1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),∴a+b=4.①f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=3a+2b.由已知得f′(1)·=-1,即3a+2b=9.②由①②,得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x,令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2,故由f(x)在[m,m+1]上单调递增,得[m,m+1]⊆[0,+∞)或[m,m+1]⊆(-∞,-2],∴m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.∴m的取值范围为(-∞,-3]∪[0,+∞).18.解:(1)f′(x)=.当0<x<e时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当x>e时,f′(x)<0,f(x)为减函数.(2)依题意得,不等式a<ln x+对于x>0恒成立.令g(x)=ln x+,则g′(x)=-=.当x∈(1,+∞)时,g′(x)=>0,则g(x)是(1,+∞)上的增函数;当x∈(0,1)时,g′(x)<0,则g(x)是(0,1)上的减函数.所以g(x)的最小值是g(1)=1,从而a的取值范围是(-∞,1).19.解:(1)由题意,该产品一年的销售量y=,将x=40,y=500代入,得k=500e40.该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y=500e40-x.L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41).(2)L′(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x(31+a-x).①当2≤a≤4时,L′(x)≤500e40-x(31+4-35)=0,当且仅当a=4,x=35时取等号.所以L(x)在[35,41]上单调递减.因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5.②当4<a≤5时,L′(x)>0⇔35≤x<31+a;L′(x)<0⇔31+a<x≤41.所以L(x)在[35,31+a)上单调递增,在(31+a,41]上单调递减.因此,L(x)max=L(31+a)=500e9-a.答:当2≤a≤4时,每件产品的售价为35元,该产品一年的利润L(x)最大,最大为500(5-a)e5万元;当4<a≤5时,每件产品的售价为(31+a)元,该产品一年的利润L(x)最大,最大为500e9-a万元.
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