中考数学专题复习 教材改编题拓展--圆练习题(含解析)

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教材改编题拓展--圆练习题1．(人教九上P102第12题)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB.第1题图      【1－变式拓展1】(2019淮安)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.连接DF.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．1－变式拓展1题图      【1－变式拓展2】(2019锦州)如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F.(1)求证：MF是⊙O的切线；(2)若CN＝3，BN＝4，求CM的长．1－变式拓展2题图       【1－变式拓展3】(2018苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．1－变式拓展3题图     2．(北师九下P121第14题)如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．求证：AC∥OP.第2题图        【2－变式拓展1】(2018乐山)如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F.延长BO交⊙O于点C，交PA的延长线于点Q，连接AC.(1)求证：AC∥PO；(2)设D为PB的中点，QD交AB于点E.若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．2－变式拓展1题图      【2－变式拓展2】(2019郴州)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)延长CO交⊙O于点E，若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．(结果保留π)2－变式拓展2题图       【2－变式拓展3】(2019永州)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在上取一点D，使＝，将△ADC沿AD对折，得到 △ADE，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若CE＝CD，劣弧的弧长为π，求⊙O的半径．2－变式拓展3题图     【2－变式拓展4】(2019天水)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．2－变式拓展4题图                            教材改编题拓展1．证明：如解图，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴OC∥AD.∴∠1＝∠2.∵OC＝OA，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3.∴AC平分∠DAB.第1题解图【1－变式拓展1】解：(1)DE与⊙O相切．理由如下：如解图①，连接OD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∴∠CAD＝∠ADO.∴AC∥OD.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；图①      图②1－变式拓展1题解图(2)如解图②，连接OF，∴OA＝OF.∵∠OAF＝60°，∴△OAF是等边三角形．∴∠AOF＝60°，AF＝OA.∵OD∥AF，∴∠BOD＝∠BAC＝60°.∴∠DOF＝180°－∠AOF－∠BOD＝60°.∵OD＝OF，∴△ODF是等边三角形．∴DF＝OD.∴OA＝AF＝FD＝OD.∴四边形AODF是菱形．∴DF∥AO.∴∠EFD＝∠EAO＝60°.∵DE⊥AE，∴EF＝DF·cos∠EFD＝2cos60°＝1.【1－变式拓展2】(1)证明：如解图，连接OM.∵OM＝OB，∴∠ABM＝∠OMB.∵BM平分∠ABD，∴∠ABM＝∠MBD.∴∠MBD＝∠OMB.∴OM∥BD.∵MF⊥BD.∴MF⊥OM.又∵OM是⊙O的半径，∴MF是⊙O的切线；(2)解：∵＝，∴∠ABN＝∠BMN.又∵∠BNM＝∠CNB.∴△BNM∽△CNB.∴＝.∵CN＝3，BN＝4，∴＝.∴MN＝.∴CM＝MN－CN＝－3＝.1－变式拓展2题解图【1－变式拓展3】证明：(1)如解图，连接AC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°.在△CDA和△CEA中，∴△CDA≌△CEA(AAS)．∴CD＝CE；(2)如解图，连接BC.∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠ECA＝∠ECG.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.又∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°.∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°.∴∠AOC＝2∠F＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．1－变式拓展3题解图 2．证明：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP(SSS)．∴∠AOP＝∠BOP.∵∠BOA＝2∠BCA，∴∠BCA＝∠BOP.∴AC∥OP.【2－变式拓展1】(1)证明：∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∴PA＝PB，且PO平分∠BPA.∴PO⊥AB.∵BC是直径，∴∠CAB＝90°.∴AC⊥AB.∴AC∥PO；(2)解：如解图，连接OA、DF，∵AP、PB分别切⊙O于A、B两点，∴∠OAQ＝∠PBQ＝90°.在Rt△OAQ中，OA＝OC＝3，∴OQ＝5.由QA2＋OA2＝OQ2，得QA＝4，在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ＋OB＝8，由PB2＋QB2＝PQ2，得PB2＋82＝(PB＋4)2，2－变式拓展1题解图解得PB＝6.∴PA＝6.∵OP⊥AB，∴BF＝AF＝AB.又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF＝AP＝3.∴＝＝.设AE＝4x，则EF＝3x，BF＝AF＝AE＋EF＝4x＋3x＝7x，∴＝＝＝.【2－变式拓展2】(1)证明：如解图，连接OD.∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠COD，∠DAO＝∠COB.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，2－变式拓展2题解图∴△COD≌△COB(SAS)．∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD.∴∠CDO＝90°.∴∠CBO＝90°.∴CB⊥OB.∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵∠COB＝2∠CEB，∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°.由(1)知∠COD＝∠COB，∴∠COD＝60°.∴∠DOB＝∠COD＋∠COB＝60°＋60°＝120°.又∵⊙O的半径为2，∴l＝＝.【2－变式拓展3】(1)证明：∵＝，∴∠BCA＝∠CAD，由对称得AD平分∠CAE，∠ACD＝∠AED，DC＝DE.∴∠DCE＝∠DEC.又∠CAE＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∴∠CAD＋∠ACD＋∠DCE＝90°.∴∠BCA＋∠ACD＋∠DCE＝90°，即∠BCE＝90°.∴OC⊥CE.∵OC为⊙O半径．∴CE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接OD，BD，并延长AD交EC于点M，由对称知AM⊥EC，设CD＝x，则CE＝x，∴CM＝x.2－变式拓展3题解图由勾股定理得DM＝x，∴DM＝CD.∴∠DCM＝30°.∴∠BCD＝60°.∴∠CBD＝30°.∴∠COD＝60°.∴＝π.∴OD＝3，即半径为3.【2－变式拓展4】(1)证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，OD⊥AC，∴OD是AC的垂直平分线．∴PA＝PC.2－变式拓展4题解图在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO(SSS)．∴∠PAO＝∠PCO＝90°.又∵OC为⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵BO＝CO，∠ABC＝60°，∴△OCB是等边三角形．∵AB＝10，∴BO＝CO＝5.∴tan60°＝＝.∴CF＝5.