中考数学一轮专题复习——圆综合（相似）（含解析）

这是一份中考数学一轮专题复习——圆综合（相似）（含解析），共29页。
圆综合题（二）（相似）
1．（黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．
（1）求证：∠CBP=∠ADB．
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．

2．（孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．

3．（抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

4．（聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．

5．（咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=2，BC=，求DE的长．

6．（随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．

7．（湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．

8．（天水模拟）已知，如图AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若AB=8cm，BD=6cm，求CD的长．

9．（雨花区校级一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交圆O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．
（1）判断直线l与圆O的关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=5，DF=3，求AF的长．

10．（开封一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．
（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

11．（襄州区模拟）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）若点B是EF的中点，AB=2，CB=2，求AE的长．

12．（成华区模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA、DB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）试探究线段AB、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）延长ED交AB的延长线于F，若AD=DF，DE=，求⊙O的半径．

13．（本溪一模）如图，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，以斜边AB为直径做⊙O．
（1）判断PC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若AB=5，AC=4，AD=OA，求PC的长

14．（红桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC交于点E，交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠F．
（Ⅰ）求证：FD与⊙O的相切；
（Ⅱ）若AB=10，AC=8，求FD的长．

15．（旌阳区二模）如图，AD的圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC∥AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=9，BC=6，求圆O的半径和PC的长．

16．（河南二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点，连接AE交CD于点，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．

17．（资中县一模）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．

18．（马鞍山二模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=5，BC=3，求AE．

19．（深圳二模）已知等边△ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN，MN，解答下列问题：
（1）猜想△CMN的形状，并证明你的结论；
（2）请你证明CN是⊙O的切线；
（3）若等边△ABC的边长是2，求AD•AM的值．








20．（武城县二模）如图，在△ABC中，ABAC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC=6，AC=4CE时，求⊙O的半径．

21．（大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，且l∥BC，D为l上一点，BD=AB，AC，BD交于点E．
（1）求证：AC=BC；
（2）求∠ABD的度数；
（3）若CD=1，求BE的长．



22．（陕西模拟）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切线．
（1）求证：∠PBA=∠C；
（2）若OP∥BC，且OP=9，⊙O的半径为3，求BC的长．

23．（中山区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AD=4，AB=6，求FD的长．


24．（顺义区二模）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且=，过点O作OE⊥AC于点E，⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G．
（1）求证：∠F=∠B；
（2）若AB=12，BG=10，求AF的长．

25．（崇明县二模）已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．

（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；
（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．
26．（武汉模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB，AD，DC相切，切点分别为E，G，F，其中E为边AB的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）如图2，若AD=3，BC=6，求EF的长．

27．（溧水区二模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，∠D=2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：DE=DC；
（3）若OD=5，CD=3，求AC的长．

28．（石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．
（1）求证：∠CBE=∠F；
（2）若⊙O的半径是2，点D是OC中点，∠CBE=15°，求线段EF的长．

29．（南宁模拟）如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；
（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．

30．（西城区一模）如图，⊙O的半径为r，△ABC内接于⊙O，∠BAC=15°，∠ACB=30°，D为CB延长线上一点，AD与⊙O相切，切点为A．
（1）求点B到半径OC的距离（用含r的式子表示）．
（2）作DH⊥OC于点H，求∠ADH的度数及的值．

31．（普宁市模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长．






32．（姜堰区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，过C作CE⊥AD垂足为E，且∠EDC=∠BDC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE+CE=4，AB=6，求BD的值．

33．（绥阳县一模）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连结CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．





34．（泗阳县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD、CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，OE=3，求tan∠DBC的值．










35．（兰州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=3，CH=4，求EM的值．








36．（南开区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

　

圆综合题（二）（相似）参考答案与试题解析
　1．（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，∴=，即=，∴BP=7．

2．解：（1）连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，∴BD=CD，
又∵OA=OB，∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；

（2）连接BE．∵BD=2，∴，
∵CF=2，∴DF==4，
∵AB是直径，∴∠AEB=∠CEB=90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴DF∥BE，
∴EF=FC，∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，∴=，∴=，∴AB=10，∴AE==6，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG，∴=，∴=，∴BG=．

　
3．（1）证明：连接OC．

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，
∵tan∠E==，∴=，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC===6．
　
4．解：（1）如图，连接OE，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，
又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC，∴=，即=，∴BC=；
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴=，即=，解得：AD=．
　
5．（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，
过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，
∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴=，即=，
解得：GE=，∴DE=DG+GE=．

　
6．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，
∴，即，可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．　
7．解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，
∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，
∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．

　
8．（1）证明：连接OC，如图，
∵弦BC平分∠PBD，∴∠1=∠2，
∵OC=OB，∴∠2=∠3，∴∠3=∠1，∴OC∥BD，∴BD⊥PD，
∴OC⊥PD，∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，∠ACB=∠D=90°，∴△BCA∽△BDC，∴=，即=，∴BC2=48，
在Rt△BCD中，CD===2．

　
9．解：（1）直线l与⊙O相切．理由：如图1所示：连接OE．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴=，∴OE⊥BC．
∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直线l与⊙O相切．
（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．
（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=8．
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴=，即=，解得；AE=．
∴AF=AE﹣EF=﹣8=．　
10．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=，∴OA=AB=，
∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，即，
解得：OE=；
（2）∠CDE=2∠A，理由如下：连接OC，如图所示：
∵OA=OC，∴∠1=∠A，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，
∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE，
∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．

　
11．（1）证明：连接BC，
由圆周角定理得，∠D=∠C．∵∠EAB=∠D，∴∠EAB=∠C，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠EAB+∠CAB=90°，∴∠CAE=90°，∴AE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC=90°，AB=2，CB=2，∴AC==6，
由（1）知∠OAE=90°，在Rt△EAF中，∵B是F的中点，∴EF=2AB=4，∴∠BAF=∠BFA．
∵∠ABC=∠EAF，∴Rt△AFE∽Rt△BAC，∴=，即=，解得，AE=4．

　
12．（1）证明：连接OD，
∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO，
∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；





（2）解：BD2=CE×AB，理由是：过D作DM⊥AB于M，连接CD，
∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD，
∵DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE=DM，∠E=∠DMB，
∵CC、A、B、D四点共圆，∴∠ECD=∠DBM，
在△ECD和△BMD中
∴△ECD≌△BMD，∴CE=BM，
∵AB是⊙O的直径，DM⊥AB，∴∠ADB=∠DMB=90°，
∵∠DBM=∠ABD，∴△DBM∽△ABD，∴=，∴BD2=BM×AB，即BD2=CE×AB；

（3）解：
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，
∵AD=DF，∴∠DAO=∠F，∴∠DAO=∠F=∠ODA，∴∠DOF=∠DAO+∠ODA=2∠F，
∵EF切⊙O于D，∴∠ODF=90°，∴∠F+∠DOF=90°，∴∠F=30°，∠DOF=60°，
∵DE=DM=，
在Rt△DMO中，OD===2，即⊙O的半径是2．
　
13．解：（1）PC是⊙O的切线，
证明：如图，连接OC，
∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，
∵∠ECP=∠AED，又∵OA=OC∴∠EAD=∠ACO，
∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，AB=5，∴AO=，∴AD=OA=，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，
∴AE=，∴CE=4﹣=，过P作PG⊥CE于G，
∵∠ECP=∠PEC，∴PE=PC，∴EG=CG=CE=，同理得△CGP∽△BCA，∴，
∴，∴PC=．

　
14．（Ⅰ）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行），
∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°，∴FD是⊙O的一条切线；
（Ⅱ）由垂径定理可知，E是弦AC的中点，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC==6，
∵OA=OB，∴OE=BC=3，∵AE∥DF，∴=，∴=，∴DF=

　
15．解：（1）直线PC与圆O相切，理由是：
如图1，连接CO交延长，交⊙O于点N，连接BN，
∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠BNC，∴∠BNC=∠ACD，
∵∠BCP=∠ACD，∴∠BNC=∠BCP，
∵CN是⊙O的直径，∴∠CBN=90°，∴∠BNC+∠BCN=90°，∴∠BCP+∠BCN=90°，∴∠PCO=90°，即PC⊥OC，
∵点C在⊙O上，∴直线PC与圆O相切；（5分）
（2）∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，
∵BC∥AD，∴∠OMC=180°﹣∠OAD=90°，即OM⊥BC，
∴MC=MB，∴AB=AC，
在Rt△AMC中，∠AMC=90°，MC=BC=3，
由勾股定理得：AM==6，设⊙O的半径为r，
在Rt△OMC中，∠OMC=90°，OM=AM﹣AO=6﹣r，MC=3，OC=r，
由勾股定理得：OM2+MC2=OC2，
即，解得：r=，
∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，∴△OMC∽△OCP，∴，
∴=，∴PC=．（11分）

16．解：（1）AB是⊙O的切线，理由是：
∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CEF=90°，
∵∠FDP=∠CEP，∠CAE=∠ADF，∴∠ADF+∠FDP=∠CAE+∠CEF=90°，
∴AB⊥CD，∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠FDP=∠CEP，∠DPF=∠EPC，∴△DPF∽△EPC，∴=，
∵CD为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACB=180°，∴DE∥AC，
∴△DPE∽△CPA，∴，∴=，
设PF=x，则PC=2x，∴=，x=，∴CP=2x=．

　
17．
【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，． ∴∠BOD=2∠CDB．　
∵∠BDF=∠CDB，∴∠BOD=∠CDF，∵∠BOD+∠ODE=90°，∴∠ODE+∠CDF=90°，
即∠ODF=90°，∴DF是⊙O的切线；
（2）猜想：MN∥AB．
证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴，． 　∴∠CBA=∠DBA，CB=BD．
∵OB=OD，∴∠DBA=∠ODB．∴∠AOD=∠DBA+∠ODB=2∠DBA=∠CBD，
∵∠BCG=∠BAG，∴△CBN∽△AOM，∴．
∵AO=OD，CB=BD，∴，∴，
∵∠ODB=∠MDN，∴△MDN∽△ODB，∴∠DMN=∠DOB，∴MN∥AB．
　
18．解：（1）连接OC
∵直线MN与⊙O相切于点C∴OC⊥MN
∵BD∥MN∴OC⊥BD∴=∴∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
AB=AC
∠ABE=∠ACD
∠BAE=∠CAD ∴△ABE≌△ACD（ASA）
（2）由（1）知∠BAC=∠CAD=∠CBD
∴△BCE∽△ACB，∴
∵AB=AC=5，BC=3∴CE=∴AE=．
19．解：（1）△CMN是等边三角形，
理由：在△BCN与△ACM中，，∴△BCN≌△ACM，
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，即∠MCN=∠ACB=60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）连接OA．OB．OC，
在△BOC与△AOC中，，∴△BOC≌△AOC，∴∠ACO=∠BCO=ACB=30°，
∵∠ACB=∠MCN=60°，∴∠ACN=60°，∴∠OCN=90°，∴OC⊥CN，∴CN是⊙O的切线；
（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠MAB，∴△ABD∽△AMB，∴，∴AD•AM=AB2=22=4．

　
20．解：（1）AE与⊙O相切．理由如下：
连接OM，则OM=OB，∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠EBM．∴∠OMB=∠EBM．∴OM∥BC．∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC．∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．∴OM⊥AE．∴AE与⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=BC，∠ABC=∠C．∵BC=6，cosC=，∴BE=3，cos∠ABC=．
在△ABE中，∠AEB=90°，∴AB===12．
设⊙O的半径为r，则AO=12﹣r．
∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE．∴=．
∴=．解得：r=2.4∴⊙O的半径为2.4．
21．（1）证明：连接OC，如图，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∵l∥BC，∴OC⊥AB，∴=，∴AC=BC；
（2）解：作DH⊥AB于H，如图，易得四边形COHD为矩形，∴DH=OC，
∵BD=BA，∴BD=2DH，∴∠ABD=30°；
（3）作EF⊥AB于F，如图，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵△ACB为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，AB=AC，
∵∠BAD=（180°﹣30°）=75°，∴∠DAC=75°﹣45°=30°，
∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴△ADC∽△BEA，∴CD：AE=AC：AB，
∴AE=•CD=，在Rt△AEF中，AF=EF=×=1，在Rt△BEF中，BE=2EF=2．

　
22．
（1）证明：连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴PB⊥OB，∴∠PBA+∠OBA=90°，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，OC=OB，∴∠OBA=∠BAO，∠C=∠OBC，∴∠PBA+∠OBA=∠C+∠OBA，∴∠PBA=∠C；
（2）解：∵⊙O的半径是3，∴OB=3，AC=6，
∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠BOP=∠C，
∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴=，
∴=，∴BC=4．
23．（1）证明：连接OD，如图，
∵OA=OD，∴∠2=∠3，∵AC平分∠EAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE∥OD，
∵ED⊥CA，∴OD⊥ED，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；
（2）连接BD，如图，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∴BD===2，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF．∴∠4+∠5=90°，
∵∠3+∠5=90°，∴∠4=∠3=∠1，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDA，
∴==，∴BF=BF，在Rt△ODF中，∵（3+BF）2=32+DF2，∴（3+DF）2=32+DF2，
∴DF=．
　
24．（1）证明：∵=，∴=．∴∠GAB=∠B，
∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO．∴∠GAB+∠GAF=90°．
∵OE⊥AC，∴∠F+∠GAF=90°．∴∠F=∠GAB，∴∠F=∠B；
（2）解：连接OG．∵∠GAB=∠B，∴AG=BG．
∵OA=OB=6，∴OG⊥AB．∴，
∵∠FAO=∠BOG=90°，∠F=∠B，∴△FAO∽△BOG，∴．
∴．

　
25．解：如图1，联结OD ∵直径AB=12 ∴OB=OD=6
∵PD⊥OP ∴∠DPO=90°
∵PD∥AB ∴∠DPO+∠POB=180° ∴∠POB=90°
又∵∠ABC=30°，OB=6 ∴
∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2 ∴ ∴
（2）如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H
∵OH⊥BC ∴∠OHB=∠OHP=90°
∵∠ABC=30°，OB=6 ∴，
∵在⊙O 中，OH⊥BC ∴
∵BP 平分∠OPD ∴ ∴PH=OH•cot45°=3 ∴．


　
26．（1）证明：如图1，连接OG、OE，作OH⊥BC交BC于H，
∵AB⊥BC，AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，
∵⊙O分别与边AB，AD相切，∴∠OEA=∠OGA=90°，
设⊙O的半径为r，则OE=OG=r，∴四边形OEAG是正方形，∴AE=OG=r
∵E是AB的中点，∴AE=EB，∴EB=OG=r，
∵∠B=∠OEB=∠OHB=90°，OE=EB=r，∴四边形OEBH是正方形，∴OH=EB=r，
即BC与⊙O相切；
（2）如图2，过D作DJ⊥BC于J，
∵⊙O分别与边AB，AD，DC相切，∵AD=3，BC=6，∴DG=DF=3﹣r，CF=6﹣r，
∵DJ⊥BC，∴四边形ABJD是矩形，∴DJ=AB=2r，BJ=AD=3，∴JC=3，
Rt△DJC中，∵DJ2+JC2=DC2，∴（2r）2+32=（3﹣r+6﹣r）2，r=2，
连接EO并延长交⊙O于R，过F作FQ⊥BC于Q，交ER于N，
∵AD=3，BC=6，AE=EB=ER=2，∴DJ=AB=4，DC=5，JC=3，∴sin∠C==，
∵FC=6﹣r=4，∴FQ=FC=，CQ=cos∠C•FC=，
∵∠NEB=∠B=∠BQN=90°，∴四边形EBQN是矩形，∴EB=NQ=2，EN=BQ=BC﹣CQ=，
∴FN=FQ﹣NQ=﹣2=，
在Rt△ENF中，EF2=EN2+NF2=，∴EF=．

　
27．
（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠COB=∠A+∠ACO=2∠A，
又∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COB．
又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD=90°．∴∠D+∠COD=90°．即∠DCO=90°，
∴OC⊥DC，又点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO=90°，∴∠DCE+∠ACO=90°．
又∵OD⊥AB，∴∠AEO+∠A=90°，
又∵∠A=∠ACO，∠DEC=∠AEO，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC；
（3）解：∵∠DCO=90°，OD=5，DC=3，∴OC=4，∴AB=2OC=8，
又DE=DC=3，∴OE=OD﹣DE=2，
∵∠A=∠A，∠AOE=∠ACB=90°，∴△AOE∽△ACB，∴=，即===，
∴BC=AC，在△ABC中，∵AC2+BC=AB2，∴AC2+AC2=82，∴AC=．

　
28．（1）证明：连接OE交DF于点H，
∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，∴OE⊥EF．∴∠F+∠EHF=90°．
∵FD⊥OC，∴∠DOH+∠DHO=90°．
∵∠EHF=∠DHO，∴∠F=∠DOH．………………（1分）
∵∠CBE=∠DOH，∴．………………（2分）
（2）解：∵∠CBE=15°，∴∠F=∠3=2∠CBE=30°．
∵⊙O的半径是，点D是OC中点，∴．
在Rt△ODH中，，∴OH=2．………………（3分）∴．
在Rt△FEH中，．………………（4分）
∴．………………（5分）

　
29．解：∵点A（，0）与点B（0，﹣1），∴OA=，OB=1，∴AB==2，
∵AB是⊙M的直径，∴⊙M的直径为2，
∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；
（2）如图，过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线，
∵在Rt△ACB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，
∵∠ABO=90°，∴∠OBA=60°，∴∠ABC=∠OBC==30°，∴OC=OB•tan30°=1×=，
∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF==1，∴OF=OA﹣AF=，∴点E的坐标为（，1）．

　
30．解：（1）如图，作BE⊥OC于点E．
∵在⊙O的内接△ABC中，∠BAC=15°，∴∠BOC=2∠BAC=30°．
在Rt△BOE中，∠OEB=90°，∠BOE=30°，OB=r，∴，∴点B到半径OC的距离为．
（2）连接OA．
由BE⊥OC，DH⊥OC，可得BE∥DH．
∵AD于⊙O相切，切点为A，∴AD⊥OA，∴∠OAD=90°．
∵DH⊥OC于点H，∴∠OHD=90°．
∵在△OBC中，OB=OC，∠BOC=30°，∴．
∵∠ACB=30°，∴∠OCA=∠OCB﹣∠ACB=45°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠AOC=180°﹣2∠OCA=90°，∴四边形AOHD为矩形，∠ADH=90°，∴DH=AO=r．
∵，∴．
∵BE∥DH，∴△CBE∽△CDH，∴．

　
31．
证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；
（2）如图，连结DE．
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，
在Rt△HFE中，EF=，
∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，
∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴，即，∴BF=10，
∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA=，∴Rt△EOA中，cos∠EOA=，
∴，∴OA=，∴AF=

32．（1）证明：∵∠BAD=90°，∴BD为直径，∴∠BCD=90°，
∵CE⊥AD，∴∠E=90°，
∵∠EDC+∠DCE=90°，∠EDC=∠BDC，∴∠BDC+∠DCE=90°，
∵OD=OC，∴∠ODC+∠OCD，
∴∠OCD+∠DCE=90°，即∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AE，垂足为F，如图，则AF=DF，∴OF=AB=×6=3，
易证得四边形OFEC为矩形，∴CE=OF，
∵DE+CE=4，∴DE=1，在Rt△DCE中，CD==，∵∠EDC=∠BDC，
∴Rt△BDC∽Rt△CDE，∴=，即=，∴BD=10．

　
33．（1）证明：连接OD，∵ED∥OC，∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO，
∵OD=OE，∴∠DEO=∠EDO，∴∠COB=∠COD，
在△BCO和△DCO中，
，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CDO=∠CBO，
∵BC为圆O的切线，∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，
又∵OD为圆的半径，∴CD为圆O的切线；

（2）解：∵CD，BC分别切⊙O于D，B，∴CD=BC，
∵△ADE∽△BD，可得AD2=AE•AB，即22=1•AB，∴AB=4，
设CD=BC=x，则AC=2+x，∵A2C=AB2+BC2∴（2+x）2=42+x2，解得：x=3，∴CD=3．

　
34．
（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OE⊥AC，∴=，∴AD=CD；
（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=5，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
在Rt△OAE中，AE==4，∴tan∠DAE===，
∵∠DAC=∠DBC，∴tan∠DBC=．
　
35．解：（1）如图，连接OE，

∵FG=EG，∴∠GEF=∠GFE=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∵CD⊥AB，∴∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，
∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AH=3、CH=4，∴OH=r﹣3，OC=r，则（r﹣3）2+42=r2，解得：r=，
∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，
∴=，即=，解得：EM=．
36．解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，
∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，∴BC与⊙O相切．
∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC=BP，∴∠BCP=∠BPC=，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣=∠B．′即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB==10，
如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切，
连接OP、AO，∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB，设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，
∵AC=AP，∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，在△OPA中，∠OPA=90°，
根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，解得：x=，
在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，∴AO==．
∵AC=AP，OC=OP，∴AO垂直平分CP，
∴根据面积法得：CP=2×=，则符合条件的CP长大于．
由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，
综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．