中考数学专题复习 教材改编题拓展--矩形、菱形、正方形练习题(含解析)

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教材改编题拓展--矩形、菱形、正方形教材改编题拓展1．(北师九上P25第4题)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．第1题图      【1－变式拓展1】(2019荆州)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中点，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中 ，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)在图②中，猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．1－变式拓展1题图 【1－变式拓展2】(2019株洲)如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG.(1)求证：△DOG≌△COE；(2)若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．1－变式拓展2题图       2．(人教八下P67第5题)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且ED∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形．第2题图      【2－变式拓展1】(2019龙东地区)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝(　　)2－变式拓展1题图 A. 　　　　　　　B.                 C.             D. 【2－变式拓展2】(2019新疆)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形OCFD是矩形．2－变式拓展2题图       3．(北师九上P21例1题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．第3题图【3－变式拓展1】(2019枣庄)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为(　　)A. 4　　         　B. 2　       　C. 6　　       　D. 2 3－变式拓展1题图【3－变式拓展2】(2019内江)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF.(1)求证：△ABE≌△ADF; (2)若AE＝5，请求出EF的长．3－变式拓展2题图     4．(北师八下P160第15题)已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且AE∥FC.求证：EF过BD的中点O.第4题图 【4－变式拓展1】(2018娄底)如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．4－变式拓展1题图     【4－变式拓展2】(2019鄂州)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当DE＝DF时，求EF的长．4－变式拓展2题图            教材改编题拓展1．解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的.理由如下：如解图∵四边形ABCD和四边形OA′B′C′都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A′OC′＝90°.第1题解图∵∠A′OB＋∠BOC′＝90°，∠COC′＋∠BOC′＝90°，∴∠A′OB＝∠COC′.在△OBM与△OCN中，∴△OBM≌△OCN(ASA)．∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积．即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的.【1－变式拓展1】解：(1)90°－α；【解法提示】∵∠FOD＝α，∠AOD＝90°，∴∠AOF＝∠AOD－∠FOD＝90°－α.(2)AF＝DE，证明：∵∠DOE＝∠FOE－∠FOD＝90°－α，∴∠DOE＝∠AOF.在△DOE与△AOF中，∴△DOE≌△AOF(SAS)．∴AF＝DE.【1－变式拓展2】(1)证明：∵四边形OEFG与四边形ABCD为正方形，∴∠EOG＝∠COD＝90°，GO＝EO，DO＝CO.又∵∠GOD＋∠DOE＝∠EOC＋∠DOE＝90°，∴∠GOD＝∠EOC.在△DOG与△COE中，，∴△DOG≌△COE(SAS)；(2)解：∵DG⊥BD，AO⊥BD，∴DG∥AO.∴∠GDA＝∠OAM.∴△GMD∽△OMA.∴＝.又∵AB＝2，AM＝，∴DM＝，OA＝.∴GD＝＝＝3.∴OG＝＝2.∴正方形OEFG的边长为2.2．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．【2－变式拓展1】A　【2－变式拓展2】证明：(1)∵CF∥BD，∴∠DOE＝∠CFE.∵E是CD中点，∴DE＝CE.又∵∠DEO＝∠CEF，∴△ODE≌△FCE(AAS)．(2)∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC.∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD即∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．3．解：BE＝DF，BE⊥DF.理由如下：如解图，延长BE交DF于点P，第3题解图∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．∴BE＝DF，∠PBF＝∠CDF.又∵∠CDF＋∠F＝90°.∴∠PBF＋∠F＝90°.∴∠BPF＝90°.∴BE⊥DF，∴BE与DF的数量关系是BE＝DF，位置关系是BE⊥DF.【3－变式拓展1】D【3－变式拓展2】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°.∴∠B＝∠ADF＝90°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)；(2)解： ∵△ABE≌△ADF，∴AF＝AE＝5，∠FAD＝∠BAE.∴∠FAE＝∠BAD＝90°.∴EF＝＝＝5.4．证明：如解图，连接BF、DE，第4题解图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝EC.∴DF＝BE.∴四边形BEDF为平行四边形．∴BD与EF互相平分，O是BD的中点O.∴EF过BD的中点O.【4－变式拓展1】(1)证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)；(2)解：四边形BEDF是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EF⊥BD,  ∴四边形BEDF是菱形．【4－变式拓展2】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2.解得x＝，∴DE＝8－＝.在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝＝10.∴OD＝BD＝5.在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，∴OE＝＝.∴EF＝2OE＝.