中考数学专题复习 教材改编题拓展--三角形练习题(含解析)

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教材改编题拓展--三角形1．(北师八下P21第1题)已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求证：△ABC是等腰三角形．第1题图       【1－变式拓展1】(2018舟山)已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．　1－变式拓展1题图       【1－变式拓展2】(2018内江18(1))如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：△AED≌△CFD.1－变式拓展2题图      2．(人教八上P56第9题)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm.求BE的长．第2题图    【2－变式拓展】(2018临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是(　　)2－变式拓展题图A. B. 2C. 2D. 3．(人教八上P93第13题)如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD.求证：DB＝DE.第3题图       【3－变式拓展1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD.连接ED并延长与AB交于点F，若EF＝12，求BD的长．3－变式拓展1题图      【3－变式拓展2】如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的高，延长BC至点E，使CE＝CD.(1)判断△DBE的形状，并说明理由；(2)过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF.3－变式拓展2题图       4．(北师七下P89第3题) 如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的角平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠EDC的度数．第4题图         【4－变式拓展1】如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E.(1)求证：DE＝CE；(2)若∠EDC＝35°，求∠A的度数．4－变式拓展1题图      【4－变式拓展2】已知，如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交AB于点F，过点A作AD⊥CD，垂足为点D，在AC上取一点E，使DE＝AE，求证：DE∥BC.　4－变式拓展2题图         【4－变式拓展3】(2018杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．　4－变式拓展3题图                                 教材改编题拓展1．证明：∵点D是△ABC的BC边上的中点，∴BD＝DC.∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴△BFD和△DEC为直角三角形．在Rt△BFD和Rt△CED中，∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．【1－变式拓展1】证明：∵AB＝AC, ∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C，∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．【1－变式拓展2】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD(ASA)．2．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠DCA＋∠DAC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ECB＝90°，∴∠ECB＝∠DAC，又∵BC＝AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD，∴BE＝CD＝CE－DE＝AD－DE＝2.5－1.7＝0.8 cm.【2－变式拓展】B3．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝120°，∵BD是等边三角形ABC的中线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，又∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠CED＝∠DBC＝30°，∴DB＝DE.【3－变式拓展1】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是中线，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝∠BCD＝30°，∴∠BFE＝90°，∴BE＝2BF，∵EF＝12，∴BE2＝BF2＋EF2，即4BF2＝BF2＋144，解得BF＝4，在Rt△BDF中，cos∠FBD＝，∴BD＝＝＝8.【3－变式拓展2】(1)解：三角形BDE是等腰三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∠DBC＝30°.又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°.∴∠DBC＝∠DEC.∴DB＝DE.∴三角形BDE是等腰三角形；(2)证明：∵AF∥BE，∴∠AFD＝∠CED，∵BD是等边三角形ABC的高，∴AD＝DC，∵∠ADF＝∠CDE，在△AFD和△CED中，∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝CE＝CD＝AD，DF＝DE＝BD，∵∠FDB＝∠DBE＋∠E＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝BD，又∵AF＝AD，∴AB垂直平分DF.4．解：∵在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，∴∠ACB＝44°，又∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝22°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝22°.【4－变式拓展1】(1)证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ECD.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD.∴∠EDC＝∠ECD.∴DE＝CE；(2)解：∵∠EDC＝∠ECD＝35°，∴∠ACB＝2∠ECD＝70°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°.∴∠A＝180°－70°－70°＝40°.【4－变式拓展2】证明：∵AD⊥CD，∴∠DCA＋∠CAD＝∠ADE＋∠EDC＝90°.∵DE＝AE，∴∠ADE＝∠EAD.∴∠DCA＝∠EDC.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠BCD＝∠EDC.∴DE∥BC.【4－变式拓展3】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，△ABC为等腰三角形．∵AD是BC边上中线，∴BD＝CD，AD⊥BC.又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.又∵∠ABC＝∠ACB，∴△BDE∽△CAD；(2)解：∵AB＝13，BC＝10，∴BD＝CD＝BC＝5.由勾股定理得AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝＝12.∵△BDE∽△CAD，∴＝，即＝.∴DE＝.