中考数学二轮复习压轴题专题13 圆的有关位置关系（含解析）

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专题13 圆的有关位置关系


【考点1】点与圆的位置关系
【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
【答案】D
【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.
【变式1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）

A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【答案】A
【解析】
试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点E、F、G在圆内，点H在圆外.
考点：点与圆的位置关系
【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：给各点标上字母，如图所示．
AB==，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，∴时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B．

考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题．
【考点2】直线与圆的位置关系
【例2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
【答案】0 【解析】
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，
∴OD•=×m×m，
∵m＞0，解得OD=m，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，
故答案为0
【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.
【变式2-1】（2019·广东中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作⊙O的切线条数即可解答.
【详解】
解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故选C.
【点睛】
本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.
【变式2-2】（2019·浙江中考真题）如图，中，，，点在边上，，.点是线段上一动点，当半径为6的圆与的一边相切时，的长为________.

【答案】或
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到，，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，
∴，
在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，
∴，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，
过P作PH⊥BC于H，则PH=6，

∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴，
∴PD=6.5，
∴AP=6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG=6，
∵AD=BD=13，
∴∠PAG=∠B，
∵∠AGP=∠C=90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴AP=3，
∵CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为6.5或3．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
【考点3】切线的判定与性质的应用
【例3】（2019·湖北中考真题）如图，中，，以为直径的⊙交于点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径．

【答案】（1）见解析；（2）7
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的倍角关系，证明为直角即可；
（2）通过证得，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】
（1）如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
．
，
，
，
，


又是⊙的半径
是⊙的切线；
（2），
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
，
，
⊙的半径为．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．

（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S阴影＝．
【解析】
【分析】
（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；
②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出CE＝3，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：①如图1，连接OE，

∵⊙O与BC相切于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵＝，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；
②由①知，AO＝AG，
∵AO＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接GE，

∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设⊙O的半径为r，
∵OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE＝，
∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O的半径是解本题的关键．
【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点.
试判断与的位置关系，并说明理由．
若求的长．

【答案】（1）切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）相切，
理由：如图，连接，

为的中点，










与相切；
连接，



为的直径，





即，

【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，切线交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接，

是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙的直径，，
是⊙的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，在中，，
，
解得，

【点睛】
本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点4】三角形的内切圆与切线长定理
【例4】（2019·江苏中考真题）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．

【答案】219
【解析】
【分析】
连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．
【详解】
解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219°．

【点睛】
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式4-1】（2019·山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴，∴②，
任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).
【解析】
【分析】
(1)直接观察可得；
(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID；
(3)应用(1)(2)结论即可；
(4)直接代入结论进行计算即可．
【详解】
(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为：R﹣d；
(2)BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
(3)由(2)知：BD=ID，
又，，
∴DE·IF=IM·IN，
∴，
∴
∴；
(4)由(3)知：，
把R=5，r=2代入得：，
∵d>0，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【变式4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．
【解析】
【分析】
（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6；
（2）过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，证明△ACD≌△FBD，从而得到AC=BF，∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到BA=BF，等量代换后即可证得结论；
（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可．
【详解】
（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，
则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，
又∵BD=CD，
∴△ACD≌△FBD，
∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，
又∵∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠BFD，
∴BA=BF,
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形．

（3）如图，连接BP、BQ、CQ，

在Rt△ABD中，AB==5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R-3）2+42=R2，解得R=，
∴PD=PA-AD=-3=，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴×r×5+×r×8+×r×5=×3×8，解得r=，
即QD=，
∴PQ=PD+QD=+=．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．
点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

一、单选题
1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（　　）

A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接，，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：A．

【点睛】
此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
2．（2019·黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.

A．； B．； C．； D．.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.
【详解】
解：连接.，
∵.分别与相切于.两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】
本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.
3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．
【详解】
解：如图：连接OB，

∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，
∵∠A=25°，
∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBC=90°，
∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C的度数．正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2019·江苏中考真题）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出
【详解】
切线性质得到





故选D
【点睛】
本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【详解】
连接AC，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵，
∴∠CAB=∠DAB=35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.
【详解】
连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC =,
∴PA= tan60°×1=.
故选B.

【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.
7．（2019·湖南中考真题）如图，边长为的等边的内切圆的半径为( )

A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
【详解】
设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵为等边三角形，
∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，∵，
∴，
即内切圆的半径为1．
故选A．

【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
8．（2019·山东中考真题）如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先连接BC，OC，由于AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D，再由切线的性质可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得OD，由勾股定理可得CD．
【详解】
如图所示，连接BC，OC，

∵AB是直径,
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°−30°=60°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=，
故选D.
【点睛】
考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键.
9．（2019·重庆中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求∠ABC＝50°．
【详解】
解：∵AC是⊙O的切线，
∴，且，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．
10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】
∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
11．（2019·湖北中考真题）如图，是圆的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．平分
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝0B，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系，可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝20P，原式可対B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断.
【详解】
解：∵为直径，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，所以A选项的结论错误；
∵，，
∴，所以C选项的结论正确；
∴，
∴为的中位线，
∴，所以B选项的结论正确；
∴，
∴平分，所以D选项的结论正确．
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.
12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、．若，则的度数为(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利用三角形外角的性质即可求出的度数.
【详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积.
13．（2019·四川中考真题）如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，连接、、，交于，先证明点、、共线，即，从而可得，在中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设⊙的半径为，则， ，
在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案.
【详解】
连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，
平分， ， ，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中， ，
，
，
设⊙的半径为，则， ，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选D．

【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
14．（2019·广西中考真题）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（　　）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由切线的性质得出 求出 ，证出 ，得出，得出，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵ 与AC相切于点D，

故选A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键．
15．（2019·湖北中考真题）如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.
【详解】
连结BE，
∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，

∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为：，
DA＝R，
点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，
C、E两点的运动路径长比为：，
故选A.

【点睛】
本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
16．（2019·广西中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.
【详解】
如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选B．

【点睛】
此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.
17．（2019·四川中考真题）如图，的顶点O是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于E，F，，则与的边所围成阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接、，过点O作，垂足为N，由点O是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积．
【详解】
解：连接、，过点O作，垂足为N，
∵为等边三角形，
∴，
∵点O为的内心
∴，．
∴．
∴．，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
∴
故选C．

【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
二、填空题
18．（2019·海南中考真题）如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为_____度．

【答案】144
【解析】
【分析】
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【详解】
解：五边形ABCDE是正五边形，
．
AB、DE与相切，
，
，
故答案为：144．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
19．（2019·浙江中考真题）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上．若∠BAC＝66°，则∠EPF等于___________度．

【答案】57
【解析】
【分析】
连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．
【详解】
解：连接OE，OF，
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为57.

【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．
20．（2019·江苏中考真题）如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】
连接，作于，根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求，然后解直角三角形即可求得的值．
【详解】
连接，作于，
⊙与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．

【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
21．（2019·湖北中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．

【答案】4或2.56．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的长，当是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP长有2种情况.
【详解】
解：连接BC

过点的切线交的延长线于点，
，
，
当时，，
经过圆心，
；
当时，则，
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD ＝∠ABD，∠D是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴
，
，
，
，
，
．
综上的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点睛】
本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
22．（2019·四川中考真题）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】
连接．
∵是的切线，
∴；
∴，
∴当时，线段OP最短，
∴PQ的长最短，
∵在中，，
∴，
∴，
∴.

故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到时，线段最短是关键．
23．（2019·江苏中考真题）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【详解】
直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
24．（2019·山东中考真题）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出AB的长，再证明，进而由可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出的度数，则圆心角的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：在中，∵，．
∴，
∵，
∴是圆的切线，
∵与斜边相切于点，
∴，
∴；
在中，∵，
∴，
∵与斜边相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
25．（2019·广西中考真题）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．

【答案】76．
【解析】
【分析】
由切线的性质得出PA=PB，PA⊥OA，得出∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，由已知得出∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：76．
【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
26．（2019·江苏中考真题）如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为______.

【答案】25
【解析】
【分析】
如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，继而根据已知可分别求出DE、EF、DF的长，再设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC =x+，BC=5+y，AB= x+y+，再根据AC：BC：AB=5：12：13列方程组可求出x、y的值，继而根据三角形的周长公式进行求解即可.
【详解】
如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF=DE•EF=，
∴DE=，EF=4，
∴DF=，
∴PH=DE=，MQ=EF=4，NK=DF=，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴，
解得：，
∴AC=+，BC=10，AB=++5，
∴AC+BC+AB=++10+++5=7+3+10+5=25，
故答案为25.

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形的面积等知识，难度很大，正确画出图形确定出点O的运动区域是解题的关键.
27．（2019·湖南中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝.

【答案】①②④
【解析】
【分析】
连接OM，由切线的性质可得OM⊥PC，继而得OM∥AC，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判断①；通过证明△ACM∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出∠MOP＝60°，利用弧长公式求得的长可判断③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，继而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，进而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的长，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判断④.
【详解】
连接OM，

∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，
∴AM2＝AC•AB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴的长为，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，
∴BD∥AC//OM，
∴△PBD∽△PAC，
∴，
∴PB＝PA，
又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，
∴PB=OB=AO，
又∵BD∥AC//OM，
∴PD=DM=CM，
∴OM=2BD＝2，
在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2
∴PD==，
∴CM＝DM＝DP＝，故④正确，
故答案为①②④.
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
三、解答题
28．（2019·江苏中考真题）如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）与⊙相切，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接，由为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到于是得到结论．
【详解】
(1)连接，
为的中点，
∴，
，
，
；
(2)与⊙相切，理由如下：
，
，
∴∠ODE+∠E=180°，
，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
，
又∵OD是半径，
与⊙相切．

【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
29．（2019·湖北中考真题）如图，中，，以为直径的⊙交于点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径．

【答案】（1）见解析；（2）7
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的倍角关系，证明为直角即可；
（2）通过证得，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】
（1）如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
．
，
，
，
，


又是⊙的半径
是⊙的切线；
（2），
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
，
，
⊙的半径为．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
30．（2019·辽宁中考真题）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．

（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
【答案】（1）见解析；（2）CM＝.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．
【详解】
（1）连接OM，

∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接，

，

是直径，，
，



，
，





【点睛】
此题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和通过证明△ACN∽△MCB来求解.
31．（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，切线交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接，

是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙的直径，，
是⊙的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，在中，，
，
解得，

【点睛】
本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
32．（2019·浙江中考真题）如图，在等腰中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为.

（1）求证：是的切线.
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连结，根据等腰三角形性质和等量代换得，由垂直定义和三角形内角和定理得，等量代换得，由平角定义得，从而可得证.（2）连结，由圆周角定理得，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得，在中，由直角三角形性质得，在中，由直角三角形性质得，再由弧长公式计算即可求得答案.
【详解】
（1）证明：如图，连结．

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）解：连结，∵为的直径．
∴．
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
33．（2019·湖南中考真题）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
(2)求证：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：证明：(1)连接OD，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.
【解析】
【分析】
（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可；
（2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论．
【详解】
（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作于G，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AODF是菱形，
∵，，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
35．（2019·湖北中考真题）如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点.
试判断与的位置关系，并说明理由．
若求的长．

【答案】（1）切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）相切，
理由：如图，连接，

为的中点，










与相切；
连接，



为的直径，





即，

【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
36．（2019·山东中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝AD，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．
（2）由CD=AD，可以假设AD=a，CD=a，设KC=b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）-4=0，解得＝．
【详解】
（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴DK＝KB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，
∴△ODC≌△OBC（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵CD＝AD，
∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．
∵DK＝KB，AO＝OB，
∴OK＝AD＝a，
∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，
∴△CDK∽△COD，
∴＝，
∴＝
整理得：2（）2+（）﹣4＝0，
解得＝或（舍弃），
∵CK∥AD，
∴＝＝＝．
【点睛】
本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．
37．（2019·贵州中考真题）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.

【答案】（1）见解析；（2）推理过程见解析.
【解析】
【分析】
(1)由直径所对的圆周角是直角，以及∠A=30°可得∠ABC=60°，从而可判断△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，再结合切线的性质可求得∠P＝30°，继而可推得PB=OB，再根据AB=2OB，即可确定AP与BP的数量关系；
(2)连接OC，由圆周角定理以及切线的性质结合等角对等边可以推导得出∠BCP＝∠A，再由三角形内角和定理即可确定出两角的关系.
【详解】
(1)连接OC，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠COB=60°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，
∴∠P＝90°-∠BOC＝30°，
∴PO=2OC，
∴PB=OB，
∵AB=2OB，
∴AP=AB+PB=3PB；
(2)如图，连接OC，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，
∴∠BCP=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，
∴2∠BCP＝180°﹣∠P，
∴∠BCP＝(90°﹣∠P).
【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
38．（2019·辽宁中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．

（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S阴影＝．
【解析】
【分析】
（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；
②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出CE＝3，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：①如图1，连接OE，

∵⊙O与BC相切于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵＝，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；
②由①知，AO＝AG，
∵AO＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接GE，

∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设⊙O的半径为r，
∵OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE＝，
∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O的半径是解本题的关键．
39．（2019·山东中考真题）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为4，，求阴影部分的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接，再根据可得，而可得，再结合，便可证明，即直线是的切线.
（2）连接，再证明，利用相似比则可证明
（3）根据阴影部分的面积由扇形AOE的面积减去三角形AOE的面积计算可得.
【详解】
解：（1）如图所示，连接，

∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）连接，则，则，
则，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，即；
（3）连接，
∵，
∴，
∴，
，

【点睛】
本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.
40．（2019·湖南中考真题）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧上取一点D，使，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CEC D，劣弧的弧长为π，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为3．
【解析】
【分析】
（1）在△ACE中，根据三角形内角和为180°，则2α+2β+2γ＝180°，即可求解；
（2）证明四边形AMCN为矩形，，而AB=x，则
sin∠ABM=，即∠ABM=60°，即可求解．
【详解】
（1）∵，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，
设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，

则△ACE中，根据三角形内角和为180°，
∴2α+2β+2γ＝180°，
∴α+β+γ＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点A作AM⊥BC，延长AD交CE于点N，
则DN⊥CE，∴四边形AMCN为矩形，
设：AB＝CD＝x，则CEx，
则CNCEx＝AM，而AB＝x，
则sin∠ABM，∴∠ABM＝60°，
∴△OAB为等边三角形，即∠AOB＝60°，
2πr＝π，
解得：r＝3，
故圆的半径为3．
【点睛】
本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强，难度较大．