2022年中考数学复习训练题（含解析）----圆

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2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•岳池县模拟）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（　　）

A．72° B．60° C．48° D．36°
2．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（　　）

A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
3．（2022•无锡一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（　　）

A．56° B．68° C．72° D．78°
4．（2022•顺城区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝15°，AE是⊙O的直径，点D在上，连接CE、DE、BD，则∠BDE的度数是（　　）

A．105° B．115° C．120° D．130°
5．（2022春•思明区校级月考）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PMN：S△PBM的值为（　　）

A． B．1 C． D．
6．（2022•张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C，D，E依次是半圆上的三点，若∠C＝n°，则∠E的度数为（　　）

A．（270﹣n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．
7．（2022•南沙区一模）一根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN＝60°，则OP的长度是（　　）

A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm
8．（2022•新泰市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若OE＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．
9．（2022•新都区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为BC边上任意一点（点E不与点B，C重合）连接DE，若∠A＝60°，则∠DEB的度数可能是（　　）

A．120° B．115° C．100° D．125°
10．（2022•东莞市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•长沙期中）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 　 　cm2．

12．（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝　 　cm．

13．（2022•温江区模拟）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠CAB＝40°，则∠ADC＝　 　．

14．（2022•兖州区一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的 　 　倍．（精确到个位）

15．（2022春•江汉区期中）如图，已知平面直角坐标系中两点A（2，1），B（4，2），以原点O为圆心，分别以OA，OB长为半径画弧，交x轴于C，D两点，则CD的长是 　 　．

16．（2022春•长沙期中）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为 　 　米．

17．（2022•江北区一模）如图，AE是⊙O的直径，半径OC⊥弦AB于点D，连结EB．若，则BE的长为 　 　．

18．（2022•丰台区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝　 　°．

19．（2022•新都区模拟）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1＝　 　；＝　 　．

20．（2022•渝中区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90*，则△AEF的外接圆半径为 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2022•西青区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝70°，点D是上一点，
（Ⅰ）如图①，连接AD，BD，CD，求∠ADC，∠BDC的度数：
（Ⅱ）如图②，若OD⊥AC，垂足为点E．连接DC，过点D作⊙O的切线与BC的延长线交于点F，求∠CDF的度数．

22．（2022•济阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过B点的圆的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠FBC＝∠BAC；
（2）若tan∠BFA＝，AD＝6，求⊙O的半径的长．

23．（2022•河东区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°．
（Ⅰ）如图①，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是弧CD的中点，求∠ABE的度数；
（Ⅱ）如图②，以点B为圆心的圆与边AC相切于点F，与BC交于点G，求∠GFC的度数．


24．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 　 　cm．

25．（2022•南京一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
（1）求证：直线AP是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，tanP＝，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．

26．（2022•虞城县二模）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CE切⊙O于点C，点D为BC上一个动点，DF⊥AB于点F，FD的延长线交弧BC于点G，交CE于点E．
（1）求证：EC＝ED．
（2）若⊙O的半径为6，∠ABC＝30°．
①当点F为OB的中点时，CE的长为 　 　；
②当弧CG的长为 　 　时，四边形OCGB为菱形．

27．（2022•河北区一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．
（Ⅰ）如图①，连接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．

28．（2022•临安区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；
（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式．

29．（2022•江阳区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，CD交AB于点G，∠ABD＝2∠BDG，M为AC上的点，过点M的弦DN⊥AB于点H．过点C的切线交DB的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥CF．
（2）当BF＝5，BD＝3BE时，求MN的长．

30．（2022•新都区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E．
（1）求证：△AED∽△BEC；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CD2＝DE•DB；
（3）在（2）小题的条件下，若DE＝4，BE＝2，过圆心O点，作OF⊥CD于点F，OF＝2，求该圆的半径长．


2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•岳池县模拟）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（　　）

A．72° B．60° C．48° D．36°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
2．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（　　）

A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；空间观念．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧长公式得2πr＝，解方程得r＝9，然后利用勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝
解得r＝9，
所以圆锥的高＝＝12（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
3．（2022•无锡一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（　　）

A．56° B．68° C．72° D．78°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】先根据圆内接四边形和圆周角定理得∠BOD，再利用平行线的性质得到∠CDO，最后利用四边形内角和求出∠B．
【解答】解：∵∠C＝124°，
∴∠A＝180°﹣124°＝56°，
∴∠BOD＝2∠A＝112°，
∵OD∥BC，
∴∠CDO＝180°﹣124°＝56°，
∴∠B＝360°﹣124°﹣56°﹣112°＝68°．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、平行线的性质、四边形内角和，解题关键是熟练使用圆的相关性质．
4．（2022•顺城区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝15°，AE是⊙O的直径，点D在上，连接CE、DE、BD，则∠BDE的度数是（　　）

A．105° B．115° C．120° D．130°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】由圆周角定理求出∠BCE，根据圆内接四边形的性质即可求出∠BDE．
【解答】解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝15°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°﹣15°＝75°，
∵四边形BDEC内接于⊙O，
∴∠BCE+∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣∠BCE＝180°﹣75°＝105°，
故选A．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与圆心，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理求出∠BCE是解决问题的关键．
5．（2022春•思明区校级月考）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PMN：S△PBM的值为（　　）

A． B．1 C． D．
【考点】正多边形和圆；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】设正六边形的边长为a．想办法求出△PMN，△PBM的面积即可．
【解答】解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PMN：S△PBM＝a2：a2＝2：3，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2022•张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C，D，E依次是半圆上的三点，若∠C＝n°，则∠E的度数为（　　）

A．（270﹣n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】连接AE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，再利用圆内接四边形对角互补可得∠AED＝（180﹣n）°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：连接AE，

∵AB是半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形ACDE是圆内接四边形，
∴∠C+∠AED＝180°，
∵∠C＝n°，
∴∠AED＝（180﹣n）°，
∴∠DEB＝∠AEB+∠AED
＝90°+（180﹣n）°
＝（270﹣n）°，
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2022•南沙区一模）一根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN＝60°，则OP的长度是（　　）

A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算．
【分析】连接OM，ON，易证Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），根据全等三角形的性质，可得∠OPM＝30°，再根据sin∠OPM＝＝，即可求出OP．
【解答】解：连接OM，ON，如图所示：

∵PM、PN分别与⊙O相切，且M，N在圆上，
∴OM⊥PM，ON⊥PN，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，OM＝ON，
∵OP＝OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠OPN＝∠OPM，
∵∠MPN＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∵钢管的直径为20cm，
∴OM＝10cm，
∵sin∠OPM＝＝，
∴OP＝20cm．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握切线的性质并证明OP是∠MON的角平分线是解题的关键．
8．（2022•新泰市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若OE＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COB，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵∠CDB＝15°，
∴∠COB＝2∠CDB＝30°，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴OC＝OE•cos∠COB＝2×＝，
故选：A．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
9．（2022•新都区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为BC边上任意一点（点E不与点B，C重合）连接DE，若∠A＝60°，则∠DEB的度数可能是（　　）

A．120° B．115° C．100° D．125°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
10．（2022•东莞市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】圆内接四边形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接AC，先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD，∠ABC，再利用AB＝AD求出∠ACB，进而求出∠BAC，最后利用点E为的中点得到∠BAE．
【解答】解：如图，连接AC，

由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵点E为的中点，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的有关性质，涉及到圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，三角形内角和等，解题关键是熟练掌握圆的有关性质．
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•长沙期中）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 　175π　cm2．

【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，列式计算即可．
【解答】解：∵生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，
∴圆锥的母线长为＝25（cm）．
∵底面圆半径r为7cm，
∴底面周长＝14πcm，
∴该扇形纸片的面积为＝×14π×25＝175π（cm2）．
故答案为：175π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝　　cm．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】先根据圆周角定理得到∠A及∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可求出AB．
【解答】解：∵∠D＝45°，
∴∠A＝45°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，涉及到勾股定理，解题关键是熟练使用圆周角定理．
13．（2022•温江区模拟）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠CAB＝40°，则∠ADC＝　50°　．

【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACD＝90°，继而求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝50°，
∴∠ADC＝∠ABC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意直径对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键．
14．（2022•兖州区一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的 　14　倍．（精确到个位）

【考点】正多边形和圆；近似数和有效数字．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】根据圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，设圆的直径，表示出正方形的对角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可．
【解答】解：设AB＝6a，
∵CD：AB＝1：3，
∴CD＝2a，OA＝3a，
∴正方形的面积为CD•CD＝2a2，
圆的面积为π•（3a）2＝9πa2，
所以圆的面积是正方形面积的9πa2÷（2a2）≈14（倍），
故答案为：14．

【点评】本题考查圆的有关计算，正方形的性质，掌握圆的面积和正方形面积的计算方法是解决问题的关键．
15．（2022春•江汉区期中）如图，已知平面直角坐标系中两点A（2，1），B（4，2），以原点O为圆心，分别以OA，OB长为半径画弧，交x轴于C，D两点，则CD的长是 　　．

【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】由点的坐标根据勾股定理求出OC＝OA＝，OD＝OB＝2，进而可求出CD的长．
【解答】解：由题意得：
OC＝OA＝，OD＝OB＝2，
∴CD＝OD﹣OC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理和直角坐标系中点的坐标，将CD的长转化为OD﹣OC是解题的关键．
16．（2022春•长沙期中）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为 　16　米．

【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】在Rt△CFO中利用勾股定理求出CF的长，再由垂径定理求出AB＝CD＝2CF即可得出答案；
【解答】解：设圆弧形所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在EF的延长线上，连接OC，
∵OE⊥CD，
∴∠CFO＝90°，CF＝DF，
在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，
∴CF＝＝＝8，
∴AB＝CD＝2CF＝16，
即路面AB的宽度为16米．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2022•江北区一模）如图，AE是⊙O的直径，半径OC⊥弦AB于点D，连结EB．若，则BE的长为 　6　．

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝DB＝AB＝，
在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，
即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，
解得：OA＝4，
∴OD＝OC﹣CD＝3，
∵AO＝OE，AD＝DB，
∴OD是△ABE的中位线，
∴BE＝2OD＝6．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
18．（2022•丰台区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝　45　°．

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据垂径定理可得CE＝DE，然后根据圆周角和圆心角的关系可得答案．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴，
∴∠BAC＝∠BAD＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题考查的是圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系等知识，掌握其秘技定理是解决此题的关键．
19．（2022•新都区模拟）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1＝　6+3　；＝　　．

【考点】正多边形和圆；数学常识．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【分析】连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，设A1H＝x，在Rt△A1A2H中，可得x2+（2x﹣x）2＝12，解出x的值，即可求出S、S1，从而得到答案．
【解答】解：连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，如图：

∵圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴∠A1OH＝30°，
∴A1H＝OA1，
设A1H＝x，则OA1＝2x＝OA2，OH＝A1H，
∴A2H＝2x﹣x，
在Rt△A1A2H中，A2H2+A1H2＝A1A22，
∴x2+（2x﹣x）2＝12，
解得x＝（负值已舍去），
∴A1H＝，OA1＝，
∴S＝π×（）2＝（2+）π，
S1＝12×××＝6+3，
∴＝＝，
故答案为：6+3，．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
20．（2022•渝中区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90*，则△AEF的外接圆半径为 　　．

【考点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】延长EF交AD的延长线于G，由菱形的性质得出AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，证明△DFG≌△CFE（ASA），得出DG＝CE，GF＝EF，由线段垂直平分线的性质得出AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，由直角三角形斜边上的中线性质得出GF＝EF＝CD＝1，得出EG＝2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，进而求出AE，即可得到△AEF的外接圆半径．
【解答】解答】解：延长EF交AD的延长线于G，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，
∴∠GDF＝∠C，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△DFG和△CFE中，
，
∴△DFG≌△CFE（ASA），
∴DG＝CE，GF＝EF，
∵∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF，
∴AE＝AG，
设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，
∵AG∥BC，DE⊥BC，F是CD的中点，
∴DE⊥AG，GF＝EF＝CD＝1，
∴EG＝2EF＝2，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2﹣AD2＝EG2﹣DG2，
即（2+x）2﹣22＝22﹣x2，
解得：x＝﹣1，或x＝﹣﹣1（舍去），
∴DG＝﹣1，
∴AE＝AG＝AD+DG＝+1，
∵∠AFE＝90°，
∴AE是△AEF的外接圆的直径，
∴△AEF的外接圆半径为，
故答案为：．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•西青区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝70°，点D是上一点，
（Ⅰ）如图①，连接AD，BD，CD，求∠ADC，∠BDC的度数：
（Ⅱ）如图②，若OD⊥AC，垂足为点E．连接DC，过点D作⊙O的切线与BC的延长线交于点F，求∠CDF的度数．

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）先根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝110°，再利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝70°，则利用圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，然后计算∠ADC﹣∠ADB得到∠BDC的度数；
（Ⅱ）连接BD，如图，根据垂径定理得到＝，利用圆周角定理得到∠ABD＝35°，则∠ACD＝∠ABD＝35°，再根据切线的性质得到OD⊥DF，所以AC∥DF，然后根据平行线的性质得到∠CDF的度数．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝110°﹣70°＝40°，
即∠ADC的度数为110°，∠BDC的度数为40°；
（Ⅱ）连接BD，如图，
∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠ACD＝∠ABD＝35°，
∵DF为切线，
∴OD⊥DF，
∴AC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACD＝35°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．
22．（2022•济阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过B点的圆的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠FBC＝∠BAC；
（2）若tan∠BFA＝，AD＝6，求⊙O的半径的长．

【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）连接AE，如图，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据圆周角定理得到∠BAE＝∠CAE，再根据切线的性质得到∠ABF＝90°，再证明∠FBC＝∠BAE，从而得到∠FBC＝∠BAC；
（2）连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠F＝∠ABD，则tan∠ABD＝tan∠F＝，在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝8，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径的长．
【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BF为切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠FBC+∠ABC＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠FBC＝∠BAE，
∴∠FBC＝∠BAC；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠F+∠BAF＝90°，
∴∠F＝∠ABD，
∴tan∠ABD＝tan∠F＝，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝＝，
∴BD＝AD＝×6＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径的长为5．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．
23．（2022•河东区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°．
（Ⅰ）如图①，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是弧CD的中点，求∠ABE的度数；
（Ⅱ）如图②，以点B为圆心的圆与边AC相切于点F，与BC交于点G，求∠GFC的度数．


【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（Ⅰ）连接DC，如图①，根据圆周角定理得到DC是⊙O的直径，则利用点B是弧CD的中点得到∠BCD＝∠BDC＝45°，接着计算出∠ACB＝58°，然后可得到∠ACD＝13°，从而根据圆周角定理得到∠ABE的度数；
（Ⅱ）连接BF，如图②，根据切线的性质得到∠BFA＝∠BFC＝90°，则可计算出∠ABF＝58°，接着计算出∠CBF＝32°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BFG＝74°，最后计算∠BFC﹣∠BFG即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接DC，如图①，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是弧CD的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°，
∴∠ABE＝∠ACD＝13°；
（Ⅱ）连接BF，如图②，
∵AC与⊙B相切于点F，
∴BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠BFC＝90°，
∵∠BAC＝32°，
∴∠ABF＝58°，
∴∠CBF＝90°﹣58°＝32°，
∵BF＝BG，
∴∠BFG＝∠BGF＝（180°﹣32°）＝74°，
∴∠GFC＝90°﹣∠BFG＝90°﹣74°＝16°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
24．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 　　cm．

【考点】切线的判定与性质；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据垂径定理可得OC⊥BF，由圆周角定理可得∠AFB＝90°，进而得出BF∥DE，由平行线的性质可得OC⊥DE，根据切线的判断方法可得结论；
（2）根据梯形的中位线定理可求出答案．
【解答】（1）证明：
连接OC．BF，
∵＝，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，
∵AD⊥l，
∴BF∥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，
即直线l是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴OC∥AD∥BE，
∵OA＝OB，
∴DC＝EC，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴OC＝（AD+BE）
＝（4+1.5）
＝，
故答案为：．

【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及梯形的中位线，掌握切线的判定方法，圆周角定理、垂径定理以及梯形的中位线定理是正确解答的前提．
25．（2022•南京一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
（1）求证：直线AP是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，tanP＝，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出∠B+∠P＝90°，由三角形的内角和定理得出∠BAP＝90°即可；
（2）由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，求出EC，AE由锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝2∠P，
∴∠BAD＝∠P，
∵∠BAD+∠B＝90°，
∴∠P+∠B＝90°，
∴∠BAP＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥PA，垂足为E，
由（1）可得BD＝CD＝BC＝6，
∵tan∠P＝＝tan∠BAD＝，
∴AD＝8，
∴AB＝＝10，
即⊙O的半径为5；
∵tan∠P＝＝，AB＝10，
∴PA＝，
∴PB＝＝，
∴PC＝PB﹣BC＝﹣12＝，
∵CE∥AB，
∵＝＝＝，
∴AE＝，EC＝PC＝，
∴tan∠PAC＝＝．

【点评】本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．，
26．（2022•虞城县二模）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CE切⊙O于点C，点D为BC上一个动点，DF⊥AB于点F，FD的延长线交弧BC于点G，交CE于点E．
（1）求证：EC＝ED．
（2）若⊙O的半径为6，∠ABC＝30°．
①当点F为OB的中点时，CE的长为 　4　；
②当弧CG的长为 　2π　时，四边形OCGB为菱形．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质定理，垂直的意义，三角形的内角和定理和互为余角的性质得到∠ECD＝∠EDC，再利用等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（2）①过点O作OH⊥BC于点H，利用垂径定理和直角三角形的边角关系解答即可得出结论；
②连接OG，利用菱形的性质和同圆的半径相等，得到△OGC为等边三角形，利用圆的弧长公式即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥EC．
∴∠ECO＝90°．
∴∠OCB+∠ECD＝90°．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°．
∴∠FDB+∠B＝90°．
∵∠EDC＝∠FDB，
∴∠EDC+∠B＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠B，
∴∠EDC+∠OCD＝90°．
∴∠ECD＝∠EDC．
∴EC＝ED．
（2）解：①过点O作OH⊥BC于点H，如图，

则CH＝BH＝BC．
∵⊙O的半径为6，点F为OB的中点，
∴BF＝OB＝3．
∵DF⊥AB，∠ABC＝30°，
∴BD＝＝2．
∵OH⊥BC，∠ABC＝30°，
∴BH＝OB•cos30°＝3．
∴BC＝2BH＝6．
∴CD＝BC﹣BD＝4．
∵∠ABC＝30°，DF⊥BF，
∴∠FDB＝60°．
∴∠EDC＝60°．
由（1）知：EC＝ED，
∴△ECD为等边三角形．
∴EC＝CD＝4．
故答案为：4；
②当弧CG的长为2π时，四边形OCGB为菱形．理由：
连接OG，如图，

∵四边形OCGB为菱形，
∴OC＝OB＝BG＝GC．
∵OG＝OC，
∴OC＝OG＝GC．
∴△OGC为等边三角形．
∴∠GOC＝60°．
∴弧CG的长＝＝2π．
∴当弧CG的长为2π时，四边形OCGB为菱形．
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆的弧长公式，垂径定理，连接经过切点的半径和作弦的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
27．（2022•河北区一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．
（Ⅰ）如图①，连接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．

【考点】切线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力．
【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理解答即可；
（Ⅱ）连接OC，利用切线的性质定理和平行四边形的性质求得∠EOC＝90°，利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质求得∠D＝45°，再利用三角形的内角和定理和圆周角定理即可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵DC为⊙O的切线，
∴∠DCA＝∠B．
∵∠B＝25°，
∴∠ACD＝25°；
（Ⅱ）连接OC，如图，

∵DC为⊙O的切线，
∴OC⊥DC．
∵四边形ODCE为平行四边形，
∴DC∥OE．
∴OC⊥OE．
∴∠COE＝90°．
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°．
∵四边形ODCE为平行四边形，
∴∠D＝∠OEC＝45°．
∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠D＝45°．
∠B＝∠COD＝22.5°．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，弦切角定理，平行四边形的性质，三角形的内角和定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
28．（2022•临安区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；
（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OD，利用垂径定理和勾股定理求得OE的长，利用直角三角形的边角关系即可求得结论；
（2）①连接BQ，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换即可得出结论；
②通过证明△PDQ∽△CAQ，利用相似三角形的性质相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到；利用等高的三角形的面积比等于底的比，得到，依据题意化简即可得出结论．
【解答】（1）解：连接OD，如图，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，
∴DE＝EC＝CD＝3．
∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OD＝5．
∴OE＝＝4．
∴AE＝OA+OE＝9．
∵DP＝4，
∴PE＝DP+DE＝7．
∵PE⊥AE，
∴tan∠P＝；
（2）①证明：连接BQ，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AQB＝90°．
∴∠QAB+∠B＝90°．
∵PE⊥AE，
∴∠QAB+∠P＝90°．
∴∠P＝∠B．
∵∠B＝∠ACQ，
∴∠ACQ＝∠CPA．
②解：∵CE⊥AB，
∴AC＝3．
∵四边形AQDC为圆的内接四边形，
∴∠PDQ＝∠QAC．
∵∠ACQ＝∠CPA，
∴△PDQ∽△CAQ．
∴＝．
∴．
∵△PDQ与△DCQ是等高的三角形，
∴．
∴．
∵，
∴y＝＝．
∴y与x之间的函数关系式为y＝．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
29．（2022•江阳区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，CD交AB于点G，∠ABD＝2∠BDG，M为AC上的点，过点M的弦DN⊥AB于点H．过点C的切线交DB的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥CF．
（2）当BF＝5，BD＝3BE时，求MN的长．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质定理得到OC⊥FC，利用已知条件和平行线的判定定理得到DE∥OC，利用平行线的性质即可得出结论；
（2）连接AD，利用圆周角定理和相似三角形的判定定理及性质定理，列出比例式求得线段AB，DB，DE；利用垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系定理求得线段DH，FC，FE，DE，EC；利用圆周角定理和直角三角形的边角关系求得线段MH，则MN＝NH＝MH．
【解答】（1）证明：连接OC如图，

∵∠BDG＝∠A，∠COA＝2∠A，
∴∠COB＝2∠BDG．
∵∠ABD＝2∠BDG，
∴∠COB＝∠ABD．
∴DE∥OC．
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC．
∴DE⊥CF．
（2）解：连接AD，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵DE⊥CF，
∴∠BEF＝90°．
∴∠ADB＝∠BEF＝90°．
∵∠ABD＝∠EBF，
∴△ADB∽△FEB．
∴．
∵BF＝5，BD＝3BE，
∴AB＝3BF＝15．
∴OB＝OC＝7.5．
∴OF＝OB+BF＝12.5．
∵OC⊥CF，
∴FC＝＝10，sinF＝．
∵∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝．
∴sin∠BAD＝．
∴BD＝9．
∴BE＝BD＝3．
∴DE＝DB+BE＝12．
∴AD＝＝12．
∵DN⊥AB，
∴sin∠BAD＝．
∴DH＝．
∵DN⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴NH＝DH＝．
∵FE＝＝4，
∴CE＝FC﹣FE＝6．
∵DE⊥FC，
∴tan∠CDE＝．
∴tan∠CAB＝tan∠CDE＝．
∵tan∠CAB＝，
∴．
∴HM＝AH＝＝＝．
∴MN＝NH﹣MH＝＝．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与系数，平行线的判定与性质，垂直的意义，连接过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
30．（2022•新都区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E．
（1）求证：△AED∽△BEC；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CD2＝DE•DB；
（3）在（2）小题的条件下，若DE＝4，BE＝2，过圆心O点，作OF⊥CD于点F，OF＝2，求该圆的半径长．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；几何直观；应用意识．
【分析】（1）由＝，得∠DAE＝∠CBE，即可得△AED∽△BEC；
（2）由BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠CBD，可得∠CBD＝∠ACD，从而△DEC∽△DCB，即可得CD2＝DB•DE；
（3）连接OD，根据DE＝4，BE＝2，CD2＝DB•DE，可得CD＝2，DF＝CD＝，由勾股定理即得⊙O的半径是．
【解答】（1）证明：

∵＝，
∴∠DAE＝∠CBE，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC；
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠CBD＝∠ACD，
∵∠EDC＝∠CDB，
∴△DEC∽△DCB，
∴＝，
∴CD2＝DB•DE；
（3）解：连接OD，如图：

∵DE＝4，BE＝2，
∴BD＝6，
由（2）知CD2＝DB•DE，
∴CD2＝6×4＝24，
∴CD＝2，
∵OF⊥CD，
∴F是CD的中点，
∴DF＝CD＝，
∵OF＝2，
∴OD＝＝＝，
即⊙O的半径是．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质及熟练应用相似三角形判定定理、勾股定理解决问题．

考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
12．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
13．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
14．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
15．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
16．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
17．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
18．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
19．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
20．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
21．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
22．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
23．圆的综合题
圆的综合题．
24．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）