高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品课后作业题

8.6.2　直线与平面垂直

课后篇巩固提升

基础巩固

1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　)

A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交

答案C

解析取BD的中点O,连接AO,CO,

则BD⊥AO,BD⊥CO,

故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.

又BD,AC异面,

故选C.

2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(　　)

A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定

答案C

解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.

同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.

3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有(　　)

A.AH⊥△EFH所在平面

B.AG⊥△EFH所在平面

C.HF⊥△AEF所在平面

D.HG⊥△AEF所在平面

答案A

解析原题图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.

4.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是(　　)

A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β

答案B

解析选项A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交,故A不正确;

选项C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面,

故C不正确;

选项D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交,故D不正确.故选B.

5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案C

解析如图,连接AC.

∵PA⊥平面ABCD,

∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=,PA=,∴tan∠PCA=.

∴∠PCA=60°.

6.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是　　　　　.(填“平行”或“垂直”) 

答案垂直

解析∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO.

∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,

∴AC⊥BB1.

又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.

∵EF是△ABC的中位线,

∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.

7.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是　　　　　. 

答案平行

解析∵DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,

∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,

∴DE∥平面PAC.

8.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为　　　　　. 

答案

解析如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.

∵底面△A'B'C'是正三角形,

∴C'D⊥A'B'.

∵AA'⊥底面ABC,

∴A'A⊥C'D.

又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',

故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.

等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,

在Rt△BB'C'中,BC'=,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.

9.

在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) 

答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)

解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.

10.已知PA垂直于▱ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则▱ABCD的形状一定是　　　　　. 

答案菱形

解析因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以PA⊥BD.

因为PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.

11.

如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为　　　　　. 

答案45°

解析过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,

连接OF,易知△CFO为直角三角形.

又PC=4,PF=2,∴CF=2,

∴CO=2,在Rt△PCO中,cos θ=,

∴θ=45°.

12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.

证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,

所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.

又F是PC的中点,所以EF⊥PC.

又BP==2=BC,

F是PC的中点,所以BF⊥PC.

又BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.

因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.

13.

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.

证明∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴AA1⊥平面A1B1∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1,

∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B,

∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD=,A1D=,AA1=2.∴AD2+A1D2=A,∴A1D⊥AD.

∵A1C1∩A1D=A1,∴AD⊥平面A1DC1.

14.

如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.

(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;

(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,

∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,

∴AD⊥平面BCC1B1.

(2)解连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1,

则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.

在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,

即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.

能力提升

1.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(　　)

A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心

答案D

解析如图,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP⊥平面PBC,BP⊥平面PAC,CP⊥平面PAB,

所以BC⊥OA,AB⊥OC,AC⊥OB,

所以点O是△ABC三条高的交点,即点O是△ABC的垂心,故选D.

2.

(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 (　　)

A.BD∥平面CB1D1

B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1

D.异面直线AD与CB1所成的角为60°

答案ABC

解析由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;

因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,

所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以B正确;

可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,

所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;

由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.

3.(2019全国Ⅰ高考)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为　　　　　. 

答案

解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,

∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.

∵PD=PE=,PC=2,

∴sin∠PCE=sin∠PCD=,

∴∠PCB=∠PCA=60°.

∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,

∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=.

又PC=2,∴PO=.

4.已知四棱锥P-ABCD,PA⊥PB,PA=PB=,AD⊥平面PAB,BC∥AD,BC=3AD,直线CD与平面PAB所成角的大小为,M是线段AB的中点.

(1)求证:CD⊥平面PDM;

(2)求点M到平面PCD的距离.

(1)证明∵AD⊥平面PAB,PM⊂平面PAB,

∴AD⊥PM.

∵PA=PB=,M是线段AB的中点,

∴PM⊥AB,

又AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD,

又CD⊂平面ABCD,∴PM⊥CD.

取CB上点E,使得CE=CB,连接AE,

∴AD∥CE且AD=CE,

∴四边形AECD为平行四边形,∴CD∥AE,

∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,

又AD⊥平面PAB,BC∥AD,

∴BC⊥平面PAB,∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角,∴∠EAB=,∴BE=AB.

∵PA=PB=,PA⊥PB,∴AB=2=BE,

∴AD=1,BC=3,CD=2,∴DM=,CM=,

∴DM2+DC2=CM2,∴CD⊥DM.∵DM∩PM=M,DM,PM⊂平面PDM,∴CD⊥平面PDM.

(2)解由(1)可知CD⊥平面PDM,

∴△CDM和△CDP均为直角三角形,

又PD=,设点M到平面PCD的距离为d,

则VP-CDM=VM-PCD,即CD·DM·PM=CD·DP·d,化简得DM·PM=DP·d,解得d=,

∴点M到平面PCD的距离为.