高中数学6.4 平面向量的应用优秀ppt课件

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用优秀ppt课件，共48页。PPT课件主要包含了探究一，探究二，探究三，探究四，探究五，思维辨析，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
一、直线与平面垂直的定义1.思考(1)如图,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么?随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?提示垂直关系,所成的角度不变,都为90°.
(2)如图,旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B'C'的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论?提示垂直关系,依据是异面直线所成角的定义.得到的结论是:如果一条直线与平面垂直,则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.
2.填空直线与平面垂直的定义
3.做一做直线l与平面α内的无数条直线垂直,则(　　)A.l和α相互平行B.l和α相互垂直C.l在平面α内D.不能确定答案:D解析:直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能,如图所示.
二、直线与平面垂直的判定定理1.思考(1)如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么?提示不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交.
(2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?提示从实验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.
(3)如果我们把折痕抽象为直线l,把桌面抽象为平面α,如图.你认为保证直线l与平面α垂直的条件是什么?提示需直线l与平面α内的两条相交直线都垂直.即l⊥m,l⊥n,m∩n=O.(4)如果将问题(3)中的两条相交直线m,n的位置改变一下,仍保证l⊥m,l⊥n,m∩n=O,此时直线l与平面α还垂直吗?提示仍然垂直.
2.填空直线和平面垂直的判定定理
3.做一做(1)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　)A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC答案:C
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.(　　)②若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.(　　)③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.(　　)④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.(　　)答案:①×　②×　③√　④×
三、直线与平面所成的角1.思考(1)平面的斜线、斜足是怎样定义的?斜线在平面上的射影是如何定义的?什么是斜线与平面所成的角?提示如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和平面α垂直,这条直线PA叫做这个平面α的斜线,它们的交点A叫做斜足.过斜线PA上斜足A以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线PA在平面α上的射影.斜线PA和它在平面α上的射影AO所成的锐角∠PAO,叫做斜线PA和平面α所成的角.
(2)直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.
2.做一做如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　　;AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　　;AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　　. 答案:45°　45°　0°解析:∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
四、空间距离1.思考(1)过一点可作几条直线与已知平面垂直?提示有且只有一条.(2)如果一条直线与一个平面平行,在直线上任意取几个点,这些点到这个平面的距离相等吗?提示相等.(3)如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个点,这些点到另一个平面的距离相等吗?提示相等.(4)在棱柱、棱锥和棱台中,它们的高如何确定?提示棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行平面之间的距离;棱锥的高就是顶点到底面的距离.
2.填空(1)过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.(2)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.(3)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
3.做一做已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)答案:B解析:如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,∴AC⊥平面BDD1B1.∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.
五、直线与平面垂直的性质定理1.思考(1)平面内,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何?提示平行.(2)空间中,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何?提示可能相交、平行或异面,如图所示.
(3)在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?提示棱AA',BB'所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.
2.填空直线与平面垂直的性质定理
3.做一做在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则(　　)A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B与l异面但不垂直D.B1B与l相交但不垂直答案:B解析:因为B1B⊥平面A1C1,又因为l⊥平面A1C1,所以l∥B1B.
证明直线与平面垂直例1如图所示,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC中点为D.求证:SD⊥平面ABC.分析先由等腰三角形SAC及D为边AC的中点,得SD⊥AC.再由△SDA≌△SDB,得SD⊥DB.证明:∵SA=SC,D为AC中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,∴△SDA≌△SDB.∴∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.
反思感悟 判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.
延伸探究在本例条件下,若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明:∵BA=BC,D为AC中点,∴BD⊥AC.∵SD⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴BD⊥SD,∵AC与SD都在平面SAC内且相交,∴BD⊥平面SAC.
证明两直线垂直例2如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.分析首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.
反思感悟 直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.
延伸探究若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.证明:由【例2】知BC⊥平面PAC,∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC,∴AE⊥PB.
求直线与平面所成的角例3已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面BCD所成的角的正弦值为　　　　　. 分析作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OD→取OD中点P,连接QP,CP→∠QCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角→求出sin∠QCP
解析:过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.取OD中点P,连接QP,CP.由AO⊥平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.∵Q是AD中点,P是OD中点,∴QP∥AO.∵AO⊥平面BCD,∴QP⊥平面BCD.∴∠QCP就是CQ与平面BCD所成的角.
反思感悟 1.求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.
变式训练1如图,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,则MC与平面CAB所成角的正弦值为　　　　　. 
解析:由题意知,A是M在平面ABC内的射影,∴MA⊥平面ABC,∴MC在平面CAB内的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.∵在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,
空间距离的求法例4如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.分析因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离,为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线.
解:连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OK⊥GH于点K.∵四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,H为AO的中点.∵BD∥EF,BD⊄平面GFE,∴BD∥平面GFE.∴BD与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离.∵BD⊥AC,∴EF⊥AC.∵GC⊥平面ABCD,∴GC⊥EF.∵GC∩AC=C,∴EF⊥平面GCH.
∵OK⊂平面GCH,∴EF⊥OK.又∵OK⊥GH,GH∩EF=H,∴OK⊥平面GEF,即OK的长就是点B到平面GEF的距离.∵正方形ABCD的边长为4,CG=2,
反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化为求点到平面的距离来解决,最终实质是求两点间距离.求点到平面的距离一般有两种方法:(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.
延伸探究本题条件不变,如果求直线BD到平面GEF的距离呢?解:先证明BD∥平面GEF,将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离,过程和答案与例题一致.
变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,平面AB1D1到平面BC1D的距离为(　　)答案:C解析:因为两平面平行,所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h,
直线与平面垂直的性质的应用例5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.分析连接AB1与CB1,证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.
证明:连接AB1,B1C,BD,如图.∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
反思感悟 1.本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.2.在空间证明线线平行的方法有:定义法、公理4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理.3.直线与平面垂直的其他性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
变式训练3在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD,求证:l∥AE.证明:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD,∴AE⊥DC.又AE⊥PD,PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.∵l⊥平面PCD,∴l∥AE.
转化与化归思想的应用典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD.证明:取BD的中点E,连接AE,CE.由已知,在等腰△ABD、△CBD中,有AE⊥BD,CE⊥BD.又∵AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.∴BD⊥AC.点评要证明直线与直线垂直,往往转化为证明线面垂直,再利用线面垂直的重要性质得出线线垂直.
分析要证空间直线AC⊥BD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BD⊥AC转化为证BD⊥EC,BD⊥EA.
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是(　　)A.①③B.①② C.②④D.①④答案:A解析:三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是①③.
2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为 (　　)A.a∥bB.a⊥bC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直答案:B解析:由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c,则b∥c,且c⊂α.∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b.3.点A,B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm,则线段AB的中点M到平面α的距离为　　　　　. 答案:1 cm或5 cm解析:当A,B在平面α同侧时,由梯形中位线定理可得点M到平面α的距离为5 cm;当A,B在平面α异侧时,由相似三角形列比例式可得距离为1 cm.
4.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　　. 答案:平行解析:∵α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,∴n⊥α.又m⊥α,∴m∥n.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB= ,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为　　　　　. 答案:30°解析:如图所示,连接B1D1,则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.则∠BD1B1=30°.