第三单元 第9课时 一元二次方程及应用（含答案）

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1．用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是 (　 　)A．(x－2)2＝2 B．(x＋1)2＝2C．(x＋2)2＝2 D．(x＋1)2＝3【解析】 根据完全平方公式可配方，得x2＋2x＋1－2＝0，整理，得(x＋1)2＝2.
2．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝ (　 　)
3．一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值为 (　 　)A．4 B．2C．0 D．－4【解析】 根的判别式可表示为b2－4ac，在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×0＝4.
4．已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 (　 　)A．k≥1 B．k＞1C．k≥－1 D．k＞－1【解析】 方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－k)＝4＋4k>0，解得k＞－1.故选D.5．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________________．【解析】 第一次降价后的价格为50(1－x)元，第二次降价后的价格为50(1－x)2元，故方程为50(1－x)2＝32.
50(1－x)2＝32
一、必知5 知识点1．一元二次方程的概念及一般式一元二次方程：只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．一般形式：____________________．
【智慧锦囊】在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2．一元二次方程的解法直接开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程．配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用直接开平方法解方程．
3．一元二次方程根的判别式根的判别式定义：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，也把它记做Δ＝b2－4ac.根的判别式与根的关系：b2－4ac>0⇔方程有______________的实数根；b2－4ac＝0⇔方程有____________的实数根；b2－4ac0，
【点悟】　解一元二次方程的方法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等．一般地，在不能直接用因式分解法时，可选择配方法或公式法来解．
一元二次方程根的判别式　 已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根？【解析】 (1)方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；(2)方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，且m－2≠0，从而求得m的值；
(3)方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，且m－2≠0，从而得到m的值．解：(1)∵方程只有一个实数根，∴m－2＝0，且m－1≠0，解得m＝2；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＝0，解得m＝3，且m－2≠0，∴m＝3；(3)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＞0，解得m＜3，且m－2≠0，∵m为非负整数，∴m＝0或1.
1．一元二次方程3x2－4x＋1＝0的根的情况是 (　 　)A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根 D．两个不等的实数根【解析】 ∵Δ＝(－4)2－4×3×1＝4>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D.
2．已知关于x的方程x2－4x＋c＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为 (　 　)A．－1 B．0 C．1 D．3【解析】 一元二次方程有两个相等实数根，则判别式为0，即Δ＝(－4)2－4(c＋1)＝0，则可得c＝3.
3．若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．【点悟】　对于ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，令Δ＝b2－4ac，则有：Δ＞0等价于方程有两个不等实数根；Δ＝0等价于方程有两个相等实数根；Δ＜0等价于方程无实数根；Δ≥0等价于方程有实数根．注意：运用判别式，当a含有字母时，要把a≠0考虑进去．
(选学)一元二次方程根与系数的关系　 [2017·黄冈]已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；
1．一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是 (　 　)A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＋x2＝3 D．x1·x2＝22．若方程x2－4x＋1＝0的两个根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为_____．【解析】 x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1·x2＋x2＝x1＋x2＋x1·x2.由一元二次方程的根与系数关系，可知x1＋x2＝4，x1·x2＝1，∴x1(1＋x2)＋x2＝4＋1＝5.
3．[2017·十堰]已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；
【点悟】　(1)用根与系数的关系求字母的值时，要代入Δ检验；(2)一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值，体现了整体思想．
一元二次方程的应用 　收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一种普通活动，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
解： (1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得400(1＋x)2＝484，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.2(舍去)．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，依题意得2y＋34＋y＝484，解得y＝150，∴484－150＝334(元)．答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，她妹妹收到微信红包为334元．
某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？
解： 设销售单价为x元，由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，整理，得x2－920x＋211 600＝0，解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利20 000元．【点悟】　本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
必明3 易错点1．解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同的式子，因为这个式子可能是0.2．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．3．运用根与系数的关系时，只有在Δ≥0时才能使用．