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高中人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行课堂教学课件ppt
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这是一份高中人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行课堂教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了平面的平行，平面外，直线与交线平行，两条相交直线，线面平行⇒面面平行，面面平行⇒线线平行等内容，欢迎下载使用。
8.5.1 直线与直线平行
1.基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行。
【思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等。
2.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线。（ ）（2）如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行。（ ）
提示：（1）×。也可能是相交直线。（2）×。等角定理的逆定理不成立。
2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为________。
【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°。答案：45°或135°
3.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________。
【解析】如图所示，MN? AC，因为AC A′C′，所以MN A′C′。答案：平行
类型一 空间中两直线平行的判定及应用【典例】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且 。求证：四边形GHFE是梯形。
【思维·引】根据梯形的定义证明。
【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF= BD，因为G，H分别是BC，CD边上的点，且 ，所以HG∥BD，且HG= BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形。
【内化·悟】本题中证明线线平行用了哪些定理？提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4。
【类题·通】关于空间中两直线平行的证明（1）辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边。
（2）证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系。
【习练·破】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点。求证：EE1∥FF1。
【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC A1C1，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得：EF AC，同理E1F1 A1C1，所以EF E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，故EE1∥FF1。
【加练·固】如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，点E为AA1的中点，点F为CC1的中点，求证：EB∥FD1。
【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，
因为FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以四边形FMAB为平行四边形，可得BF∥AM，且BF=AM，又因为四边形AMD1E也是平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1=AM，
所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行四边形，所以EB∥FD1。
类型二 等角定理的应用【典例】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点。求证：∠NMP=∠BA1D。
【思维·引】证明两个角的两边分别平行。
【证明】如图，连接CB1，CD1，
因为CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C。因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，所以MN∥B1C，所以MN∥A1D。因为BC∥A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1。因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D。
【内化·悟】两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？
提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等。
【类题·通】关于等角定理的应用（1）根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行。（2）根据角的两边的方向判定两角相等。
【习练·破】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
（1）求证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′。（2）求 的值。
【解析】（1）因为AA′∩BB′=O，且 所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。
（2）因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′。同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′且所以
【加练·固】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点。求证：（1）四边形MNA1C1是梯形。（2）∠DNM=∠D1A1C1。
【证明】（1）如图，连接AC，在△ACD中，
因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是三角形的中位线，所以MN∥AC，MN= AC。由长方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1。所以MN∥A1C1，且MN= A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形。
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补。而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM=∠D1A1C1。
类型三 空间中直线平行关系的综合应用角度1 共面问题【典例】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点。求证：E，F，G，H四点共面。
【思维·引】证明EF∥HG即可。
【证明】如图，连接AC。
因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC。因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC。所以EF∥GH。所以E，F，G，H四点共面。
【素养·探】在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面。将本例的条件改为“ ”，试证明EH与FG交于一点。
【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC，EF= AC。因为 ，所以GH∥AC，GH= AC。所以EF∥GH，EF≠GH，所以四边形EFGH是梯形，所以EH与FG交于一点。
角度2 探究问题【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM= MC，BN= BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由。
【思维·引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行。
【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，
则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC，所以△AEM∽△CBM，所以因为点M，N分别在AC，PB上，且AM= MC，BN= BP，
所以MN∥PE，即直线l∥MN。
【类题·通】1.关于共面问题根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行。
2.关于探究问题处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明。
【习练·破】如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形。（2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形。
【解析】（1）在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF= AC，同理有GH∥AC，且GH= AC，所以EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形。
（2）当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：若AC=BD，则有EH=EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形。若AC⊥BD，则EH⊥EF，所以菱形EFGH是正方形。
8.5.2 直线与平面平行
1.直线与平面平行的判定定理（1）定理：如果 一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。（2）符号：（3）实质：
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α。
线线平行⇒线面平行，即空间问题转化为平面问题。
【思考】一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？提示：不一定，该直线也可能在平面内。
2.直线与平面平行的性质定理（1）定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该 。（2）符号：（3）实质：
a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b。
线面平行⇒线线平行，即线面平行蕴含线线平行。
【思考】一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？提示：不一定，可能是异面直线。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α。（ ）（2）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点。（ ）（3）平行于同一平面的两条直线平行。（ ）
提示：（1）×。直线也可能与平面相交。（2）√。若有公共点，则平行不成立。（3）×。两条直线可能平行，也可能相交或异面。
2.能保证直线与平面平行的条件是（ ）A.直线与平面内的一条直线平行B.直线与平面内的某条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的所有直线不相交
【解析】选D。A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交。C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行。
3.如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能
【解析】选B。四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA。
类型一 直线与平面平行判定定理的应用【典例】（2019·常熟高一检测）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，D，E分别是AB，B1C的中点。求证：DE∥平面ACC1A1。
【思维·引】构造中位线或平行四边形，利用线线平行证明。
【证明】方法一：连接BC1，AC1，
因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点，因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1，又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1。
方法二：连接A1C，AC1交于O，连接OE，则O是A1C的中点，又E是B1C的中点，所以OE∥A1B1，OE= A1B1，又AD∥A1B1，AD= A1B1，所以OE AD，所以四边形ADEO是平行四边形，
所以AO∥DE，因为AO⊂平面ACC1A1，DE⊄平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1。
【内化·悟】构造中位线、平行四边形的关键是什么？提示：想象出相应的三角形、四边形。
【类题·通】关于线面平行的判定（1）充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等。
（2）连接平行四边形的对角线是常作的辅助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系。（3）书写步骤时一定要注明面外直线，面内直线，避免步骤扣分。
【习练·破】1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（ ）A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条
【解析】选D。由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行，故选D。
2.（2019·宁德高一检测）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点。求证：AC1∥平面CDB1。
【证明】连接BC1交B1C于点E，连接DE，
又因为四边形BCC1B1为平行四边形。所以E是BC1的中点，因为D是AB的中点，所以DE∥AC1，因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1。
【加练·固】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点。求证：AC∥平面B1DE。
【证明】连接AC1，交B1D于点O，连接OE，则OE为△ACC1的中位线，所以OE∥AC，又OE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，所以AC∥平面B1DE。
类型二 直线与平面平行性质定理的应用【典例】（2019·玄武高一检测）一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？（2）在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
【思维·引】根据线面平行，作出截面与各个表面的交线即可。
【解析】（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，DE，EF即为应画的线。
（2）因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF=EF，所以AC∥EF。
【内化·悟】利用线面平行的性质定理需要满足哪两个前提条件？提示：一是线面平行，二是存在或作出过直线的平面与已知平面的交线。
【类题·通】关于线面平行性质定理的应用（1）如果题目中存在线面平行的条件，寻找或作出交线是前提，也是关键。（2）对应画线问题，要根据线面平行，确定出平行的直线后画出。
【习练·破】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上。若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________。
【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，所以AC=2 。又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点，所以EF= AC= 。答案：
【加练·固】如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，DE与AB不重合，证明：DE∥AB。
【证明】因为ABC-A1B1C1为三棱柱，所以A1B1∥平面ABC，又平面A1B1ED∩平面ABC=DE，所以A1B1∥DE，又A1B1∥AB，所以DE∥AB。
类型三 直线与平面平行判定、性质定理的综合应用角度1 线面平行关系的综合应用【典例】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形。求证：AB∥平面EFGH。
【思维·引】先由线线平行推线面平行，再利用线面平行推出线线平行，进而证明线面平行。
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG。因为HG⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD。因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB⊄平面EFGH。所以EF∥AB。因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH。
【素养·探】在确定线面平行的条件时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过线面平行与线线平行的相互转化证明。本例的条件改为“截面EFGH与AB，CD分别平行”，试证明截面EFGH是平行四边形。
【证明】因为AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EF，AB⊂平面ABC，所以AB∥EF，因为AB∥平面EFGH，平面ABD∩平面EFGH=GH，AB⊂平面ABD，所以AB∥GH，由基本事实4可得：EF∥GH，同理可得EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形。
角度2 线面平行条件的确定【典例】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）
【思维·引】从特殊点入手寻找，再验证是否符合。
【解析】取CC1中点P，连接A1P，
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，因为A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD。答案：P是CC1中点
【类题·通】关于线面平行关系的综合应用判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化。
【习练·破】若在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件________时，SC∥平面EBD。
【解析】当E为SA的中点时，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO。因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点。又E是SA的中点，
所以OE是△SAC的中位线。所以OE∥SC。因为SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，所以SC∥平面EBD。答案：SE=EA
8.5.3 平面与平面平行
1.平面与平面平行的判定定理（1）定理：如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（2）符号： （3）实质：
a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β⇒α∥β。
【思考】定理中的“相交”能否去掉？提示：不能，如果是两条平行直线与另一个平面平行，两个平面也可能相交。
2.平面与平面平行的性质定理（1）定理：（2）符号：（3）实质：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么交线平行。
α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b。
【思考】由面面平行能推出线面平行？提示：能，两个平面平行，其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（ ）（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行。（ ）
（3）已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行。（ ）
提示：（1）×。这无数条直线可能是平行直线。（2）×。也可能是异面直线。（3）√。第三个平面与另一个平面也没有公共点，所以也是平行的。
2.下列命题中不正确的是（ ）A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB.平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
【解析】选A。A中，平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a不一定平行于平面β；因为a有可能在平面β内；故错误；B中，平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β，由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行，故正确；C中，一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，由面面平行的判定可知结论正确；D中，分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线；由面面平行的性质可知结论正确。
3.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP=1，BP=4，CD=6，那么CP=________。
【解析】因为平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，所以AC∥BD，所以 ，因为AP=1，BP=4，CD=6，所以 ，所以CP=2。答案：2
类型一 平面与平面平行判定定理的应用【典例】如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点。求证：平面MNQ∥平面PBC。
【思维·引】在平面MNQ中，分别证明两条直线与平面PBC平行。
【证明】因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，所以N是AC的中点，所以MN∥PC，
又因为PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC。因为M，Q分别是PA，PD的中点，所以MQ∥AD∥BC，又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，
所以MQ∥平面PBC。因为MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN=M，所以平面MNQ∥平面PBC。
【内化·悟】要证明面面平行，需要先证明什么？提示：先证明线线平行。
【类题·通】平面与平面平行的判定方法（1）定义法：两个平面没有公共点。（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β。（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
【习练·破】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点。求证：平面MDB1∥平面ANC。
【证明】如图，连接MN。
因为M，N分别是所在棱的中点，所以四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形。所以MB1∥AN，CN∥MD。又因为MB1⊂平面MDB1，AN⊄平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，
同理可证CN∥平面MDB1，又因为AN∩CN=N，AN⊂平面ANC，CN⊂平面ANC，所以平面MDB1∥平面ANC。
类型二 平面与平面平行性质定理的应用【典例】（2019·南昌高一检测）如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM=9，MN=11，NB=15，S△FMC=78。求△END的面积。
【思维·引】根据两个平面平行，确定两边的比值，再由面积的比求另一个三角形的面积。
【解析】因为平面α∥β，又平面AND∩平面α=MC，平面AND∩平面β=ND，所以MC∥ND，同理EN∥FM，又AM=9，MN=11，NB=15，所以
又∠FMC=∠END，所以因为S△FMC=78，所以S△END=100。故△END的面积为100。
【内化·悟】本例中推出FM∥NE，MC∥ND的依据是什么？FC与ED平行吗？为什么？提示：依据一是α∥β，二是FM与NE，MC与ND分别共面。不一定平行，也可能异面。
【类题·通】1.应用平面与平面平行性质定理的步骤
2.关于平行平面分线段类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理。
【习练·破】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D。
（1）求证：AC∥BD。（2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长。（3）若点P在α与β之间，试在（2）的条件下求CD的长。
【解析】（1）因为PB∩PD=P，所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，则α∩γ=AC，β∩γ=BD。又α∥β，所以AC∥BD。
（2）由（1）得AC∥BD，所以所以CD= cm，所以PD=PC+CD= （cm）。
（3）同（1）得AC∥BD，所以△PAC∽△PBD。所以所以 ，所以PD= cm。所以CD=PC+PD=3+ （cm）。
类型三 平面与平面平行关系的综合应用角度1 面面平行条件的探究【典例】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在________位置时，平面D1BQ∥平面PAO。（ ）
A.Q与C重合B.Q与C1重合C.Q为CC1的三等分点D.Q为CC1的中点
【思维·引】从特殊点入手进行探究。
【解析】选D。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，所以PO∥BD1，因为Q是CC1上的点，当点Q在CC1的中点位置时，PQ AB，所以四边形ABQP是平行四边形，
所以AP∥BQ，因为AP∩PO=P，BQ∩BD1=B，AP，PO⊂平面APO，BQ，BD1⊂平面BQD1，所以平面D1BQ∥平面PAO。
【素养·探】在探究面面平行的过程中，常常用到核心素养中的直观想象，想象出平行平面的位置，从而确定面面平行的条件。本例中，若Q是AA1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO。
【解析】当Q在AA1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，所以PO∥BD1，因为PO⊄面BD1Q，BD1⊂面BD1Q，所以PO∥面BD1Q，
因为Q是AA1上的点，当点Q在AA1的中点位置时，AQ D1P，所以四边形AQD1P是平行四边形，所以AP∥D1Q，因为PA⊄面BD1Q，D1Q⊂面BD1Q，所以PA∥面BD1Q，又PA∩PO=O，所以平面D1BQ∥平面PAO。
角度2 空间平行关系的综合应用【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D。（2）平面MNP∥平面CC1D1D。
【思维·引】（1）利用平行四边形构造线线平行证明。（2）利用线线平行证明线面平行。
【证明】（1）连接AC，CD1，因为ABCD是正方形，N是BD的中点，所以N是AC的中点，又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1，因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D。
（2）连接BC1，C1D，因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，所以P是BC1的中点，又因为N是BD的中点，所以PN∥C1D，
因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D，由（1）得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN=N，所以平面MNP∥平面CC1D1D。
【类题·通】1.关于面面平行条件的探究（1）从线线平行角度：确定出动点的位置满足线线平行，从而得到线面平行，进而证明面面平行。
（2）从面面平行角度：先确定出满足条件的、且与已知平面平行的平面，则动点在线上或面内任意点均满足面面平行。
2.关于空间中线、面平行的内在联系
注：判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系。
【发散·拓】如图，已知直线a，b⊂面α，且a∩b=A，直线c，d⊂面β，且c∩d=B，若a∥c，b∥d，那么平面α，β是否平行，若平行，给出证明；若不平行，说明理由。
【解析】因为a∥c，a⊄β，c⊂β，所以a∥β。因为b∥d，b⊄β，d⊂β，所以b∥β。因为直线a，b⊂面α，且a∩b=A，所以α∥β。
【延伸·练】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点。求证：平面A1C1G∥平面BEF。
【证明】因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1，又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F=BG，又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
因为EF⊂平面BEF，BF⊂平面BEF，A1G⊂平面A1C1G，A1C1⊂平面A1C1G，又EF∩BF=F，A1G∩A1C1=A1，所以平面A1C1G∥平面BEF。
【习练·破】1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1。
【解析】连接FH，FN，HN，因为HN∥DB，FH∥D1D，FH∩HN=H，FH，HN⊂平面FHN，DB∩D1D=D，DB，D1D⊂平面B1BDD1，所以平面FHN∥平面B1BDD1。因为点M在四边形EFGH上及其内部运动，故M∈FH。答案：M在线段FH上
2.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点。求证：（1）BE∥平面DMF。（2）平面BDE∥平面MNG。
【证明】（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF。
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG。又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG。
8.5.1 直线与直线平行
1.基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行。
【思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等。
2.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线。（ ）（2）如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行。（ ）
提示：（1）×。也可能是相交直线。（2）×。等角定理的逆定理不成立。
2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为________。
【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°。答案：45°或135°
3.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________。
【解析】如图所示，MN? AC，因为AC A′C′，所以MN A′C′。答案：平行
类型一 空间中两直线平行的判定及应用【典例】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且 。求证：四边形GHFE是梯形。
【思维·引】根据梯形的定义证明。
【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF= BD，因为G，H分别是BC，CD边上的点，且 ，所以HG∥BD，且HG= BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形。
【内化·悟】本题中证明线线平行用了哪些定理？提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4。
【类题·通】关于空间中两直线平行的证明（1）辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边。
（2）证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系。
【习练·破】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点。求证：EE1∥FF1。
【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC A1C1，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得：EF AC，同理E1F1 A1C1，所以EF E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，故EE1∥FF1。
【加练·固】如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，点E为AA1的中点，点F为CC1的中点，求证：EB∥FD1。
【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，
因为FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以四边形FMAB为平行四边形，可得BF∥AM，且BF=AM，又因为四边形AMD1E也是平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1=AM，
所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行四边形，所以EB∥FD1。
类型二 等角定理的应用【典例】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点。求证：∠NMP=∠BA1D。
【思维·引】证明两个角的两边分别平行。
【证明】如图，连接CB1，CD1，
因为CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C。因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，所以MN∥B1C，所以MN∥A1D。因为BC∥A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1。因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D。
【内化·悟】两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？
提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等。
【类题·通】关于等角定理的应用（1）根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行。（2）根据角的两边的方向判定两角相等。
【习练·破】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
（1）求证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′。（2）求 的值。
【解析】（1）因为AA′∩BB′=O，且 所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。
（2）因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′。同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′且所以
【加练·固】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点。求证：（1）四边形MNA1C1是梯形。（2）∠DNM=∠D1A1C1。
【证明】（1）如图，连接AC，在△ACD中，
因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是三角形的中位线，所以MN∥AC，MN= AC。由长方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1。所以MN∥A1C1，且MN= A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形。
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补。而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM=∠D1A1C1。
类型三 空间中直线平行关系的综合应用角度1 共面问题【典例】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点。求证：E，F，G，H四点共面。
【思维·引】证明EF∥HG即可。
【证明】如图，连接AC。
因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC。因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC。所以EF∥GH。所以E，F，G，H四点共面。
【素养·探】在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面。将本例的条件改为“ ”，试证明EH与FG交于一点。
【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC，EF= AC。因为 ，所以GH∥AC，GH= AC。所以EF∥GH，EF≠GH，所以四边形EFGH是梯形，所以EH与FG交于一点。
角度2 探究问题【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM= MC，BN= BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由。
【思维·引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行。
【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，
则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC，所以△AEM∽△CBM，所以因为点M，N分别在AC，PB上，且AM= MC，BN= BP，
所以MN∥PE，即直线l∥MN。
【类题·通】1.关于共面问题根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行。
2.关于探究问题处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明。
【习练·破】如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形。（2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形。
【解析】（1）在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF= AC，同理有GH∥AC，且GH= AC，所以EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形。
（2）当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：若AC=BD，则有EH=EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形。若AC⊥BD，则EH⊥EF，所以菱形EFGH是正方形。
8.5.2 直线与平面平行
1.直线与平面平行的判定定理（1）定理：如果 一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。（2）符号：（3）实质：
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α。
线线平行⇒线面平行，即空间问题转化为平面问题。
【思考】一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？提示：不一定，该直线也可能在平面内。
2.直线与平面平行的性质定理（1）定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该 。（2）符号：（3）实质：
a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b。
线面平行⇒线线平行，即线面平行蕴含线线平行。
【思考】一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？提示：不一定，可能是异面直线。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α。（ ）（2）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点。（ ）（3）平行于同一平面的两条直线平行。（ ）
提示：（1）×。直线也可能与平面相交。（2）√。若有公共点，则平行不成立。（3）×。两条直线可能平行，也可能相交或异面。
2.能保证直线与平面平行的条件是（ ）A.直线与平面内的一条直线平行B.直线与平面内的某条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的所有直线不相交
【解析】选D。A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交。C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行。
3.如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能
【解析】选B。四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA。
类型一 直线与平面平行判定定理的应用【典例】（2019·常熟高一检测）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，D，E分别是AB，B1C的中点。求证：DE∥平面ACC1A1。
【思维·引】构造中位线或平行四边形，利用线线平行证明。
【证明】方法一：连接BC1，AC1，
因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点，因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1，又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1。
方法二：连接A1C，AC1交于O，连接OE，则O是A1C的中点，又E是B1C的中点，所以OE∥A1B1，OE= A1B1，又AD∥A1B1，AD= A1B1，所以OE AD，所以四边形ADEO是平行四边形，
所以AO∥DE，因为AO⊂平面ACC1A1，DE⊄平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1。
【内化·悟】构造中位线、平行四边形的关键是什么？提示：想象出相应的三角形、四边形。
【类题·通】关于线面平行的判定（1）充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等。
（2）连接平行四边形的对角线是常作的辅助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系。（3）书写步骤时一定要注明面外直线，面内直线，避免步骤扣分。
【习练·破】1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（ ）A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条
【解析】选D。由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行，故选D。
2.（2019·宁德高一检测）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点。求证：AC1∥平面CDB1。
【证明】连接BC1交B1C于点E，连接DE，
又因为四边形BCC1B1为平行四边形。所以E是BC1的中点，因为D是AB的中点，所以DE∥AC1，因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1。
【加练·固】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点。求证：AC∥平面B1DE。
【证明】连接AC1，交B1D于点O，连接OE，则OE为△ACC1的中位线，所以OE∥AC，又OE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，所以AC∥平面B1DE。
类型二 直线与平面平行性质定理的应用【典例】（2019·玄武高一检测）一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？（2）在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
【思维·引】根据线面平行，作出截面与各个表面的交线即可。
【解析】（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，DE，EF即为应画的线。
（2）因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF=EF，所以AC∥EF。
【内化·悟】利用线面平行的性质定理需要满足哪两个前提条件？提示：一是线面平行，二是存在或作出过直线的平面与已知平面的交线。
【类题·通】关于线面平行性质定理的应用（1）如果题目中存在线面平行的条件，寻找或作出交线是前提，也是关键。（2）对应画线问题，要根据线面平行，确定出平行的直线后画出。
【习练·破】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上。若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________。
【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，所以AC=2 。又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点，所以EF= AC= 。答案：
【加练·固】如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，DE与AB不重合，证明：DE∥AB。
【证明】因为ABC-A1B1C1为三棱柱，所以A1B1∥平面ABC，又平面A1B1ED∩平面ABC=DE，所以A1B1∥DE，又A1B1∥AB，所以DE∥AB。
类型三 直线与平面平行判定、性质定理的综合应用角度1 线面平行关系的综合应用【典例】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形。求证：AB∥平面EFGH。
【思维·引】先由线线平行推线面平行，再利用线面平行推出线线平行，进而证明线面平行。
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG。因为HG⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD。因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB⊄平面EFGH。所以EF∥AB。因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH。
【素养·探】在确定线面平行的条件时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过线面平行与线线平行的相互转化证明。本例的条件改为“截面EFGH与AB，CD分别平行”，试证明截面EFGH是平行四边形。
【证明】因为AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EF，AB⊂平面ABC，所以AB∥EF，因为AB∥平面EFGH，平面ABD∩平面EFGH=GH，AB⊂平面ABD，所以AB∥GH，由基本事实4可得：EF∥GH，同理可得EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形。
角度2 线面平行条件的确定【典例】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）
【思维·引】从特殊点入手寻找，再验证是否符合。
【解析】取CC1中点P，连接A1P，
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，因为A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD。答案：P是CC1中点
【类题·通】关于线面平行关系的综合应用判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化。
【习练·破】若在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件________时，SC∥平面EBD。
【解析】当E为SA的中点时，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO。因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点。又E是SA的中点，
所以OE是△SAC的中位线。所以OE∥SC。因为SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，所以SC∥平面EBD。答案：SE=EA
8.5.3 平面与平面平行
1.平面与平面平行的判定定理（1）定理：如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（2）符号： （3）实质：
a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β⇒α∥β。
【思考】定理中的“相交”能否去掉？提示：不能，如果是两条平行直线与另一个平面平行，两个平面也可能相交。
2.平面与平面平行的性质定理（1）定理：（2）符号：（3）实质：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么交线平行。
α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b。
【思考】由面面平行能推出线面平行？提示：能，两个平面平行，其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（ ）（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行。（ ）
（3）已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行。（ ）
提示：（1）×。这无数条直线可能是平行直线。（2）×。也可能是异面直线。（3）√。第三个平面与另一个平面也没有公共点，所以也是平行的。
2.下列命题中不正确的是（ ）A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB.平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
【解析】选A。A中，平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a不一定平行于平面β；因为a有可能在平面β内；故错误；B中，平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β，由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行，故正确；C中，一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，由面面平行的判定可知结论正确；D中，分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线；由面面平行的性质可知结论正确。
3.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP=1，BP=4，CD=6，那么CP=________。
【解析】因为平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，所以AC∥BD，所以 ，因为AP=1，BP=4，CD=6，所以 ，所以CP=2。答案：2
类型一 平面与平面平行判定定理的应用【典例】如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点。求证：平面MNQ∥平面PBC。
【思维·引】在平面MNQ中，分别证明两条直线与平面PBC平行。
【证明】因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，所以N是AC的中点，所以MN∥PC，
又因为PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC。因为M，Q分别是PA，PD的中点，所以MQ∥AD∥BC，又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，
所以MQ∥平面PBC。因为MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN=M，所以平面MNQ∥平面PBC。
【内化·悟】要证明面面平行，需要先证明什么？提示：先证明线线平行。
【类题·通】平面与平面平行的判定方法（1）定义法：两个平面没有公共点。（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β。（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
【习练·破】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点。求证：平面MDB1∥平面ANC。
【证明】如图，连接MN。
因为M，N分别是所在棱的中点，所以四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形。所以MB1∥AN，CN∥MD。又因为MB1⊂平面MDB1，AN⊄平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，
同理可证CN∥平面MDB1，又因为AN∩CN=N，AN⊂平面ANC，CN⊂平面ANC，所以平面MDB1∥平面ANC。
类型二 平面与平面平行性质定理的应用【典例】（2019·南昌高一检测）如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM=9，MN=11，NB=15，S△FMC=78。求△END的面积。
【思维·引】根据两个平面平行，确定两边的比值，再由面积的比求另一个三角形的面积。
【解析】因为平面α∥β，又平面AND∩平面α=MC，平面AND∩平面β=ND，所以MC∥ND，同理EN∥FM，又AM=9，MN=11，NB=15，所以
又∠FMC=∠END，所以因为S△FMC=78，所以S△END=100。故△END的面积为100。
【内化·悟】本例中推出FM∥NE，MC∥ND的依据是什么？FC与ED平行吗？为什么？提示：依据一是α∥β，二是FM与NE，MC与ND分别共面。不一定平行，也可能异面。
【类题·通】1.应用平面与平面平行性质定理的步骤
2.关于平行平面分线段类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理。
【习练·破】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D。
（1）求证：AC∥BD。（2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长。（3）若点P在α与β之间，试在（2）的条件下求CD的长。
【解析】（1）因为PB∩PD=P，所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，则α∩γ=AC，β∩γ=BD。又α∥β，所以AC∥BD。
（2）由（1）得AC∥BD，所以所以CD= cm，所以PD=PC+CD= （cm）。
（3）同（1）得AC∥BD，所以△PAC∽△PBD。所以所以 ，所以PD= cm。所以CD=PC+PD=3+ （cm）。
类型三 平面与平面平行关系的综合应用角度1 面面平行条件的探究【典例】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在________位置时，平面D1BQ∥平面PAO。（ ）
A.Q与C重合B.Q与C1重合C.Q为CC1的三等分点D.Q为CC1的中点
【思维·引】从特殊点入手进行探究。
【解析】选D。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，所以PO∥BD1，因为Q是CC1上的点，当点Q在CC1的中点位置时，PQ AB，所以四边形ABQP是平行四边形，
所以AP∥BQ，因为AP∩PO=P，BQ∩BD1=B，AP，PO⊂平面APO，BQ，BD1⊂平面BQD1，所以平面D1BQ∥平面PAO。
【素养·探】在探究面面平行的过程中，常常用到核心素养中的直观想象，想象出平行平面的位置，从而确定面面平行的条件。本例中，若Q是AA1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO。
【解析】当Q在AA1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，所以PO∥BD1，因为PO⊄面BD1Q，BD1⊂面BD1Q，所以PO∥面BD1Q，
因为Q是AA1上的点，当点Q在AA1的中点位置时，AQ D1P，所以四边形AQD1P是平行四边形，所以AP∥D1Q，因为PA⊄面BD1Q，D1Q⊂面BD1Q，所以PA∥面BD1Q，又PA∩PO=O，所以平面D1BQ∥平面PAO。
角度2 空间平行关系的综合应用【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D。（2）平面MNP∥平面CC1D1D。
【思维·引】（1）利用平行四边形构造线线平行证明。（2）利用线线平行证明线面平行。
【证明】（1）连接AC，CD1，因为ABCD是正方形，N是BD的中点，所以N是AC的中点，又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1，因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D。
（2）连接BC1，C1D，因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，所以P是BC1的中点，又因为N是BD的中点，所以PN∥C1D，
因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D，由（1）得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN=N，所以平面MNP∥平面CC1D1D。
【类题·通】1.关于面面平行条件的探究（1）从线线平行角度：确定出动点的位置满足线线平行，从而得到线面平行，进而证明面面平行。
（2）从面面平行角度：先确定出满足条件的、且与已知平面平行的平面，则动点在线上或面内任意点均满足面面平行。
2.关于空间中线、面平行的内在联系
注：判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系。
【发散·拓】如图，已知直线a，b⊂面α，且a∩b=A，直线c，d⊂面β，且c∩d=B，若a∥c，b∥d，那么平面α，β是否平行，若平行，给出证明；若不平行，说明理由。
【解析】因为a∥c，a⊄β，c⊂β，所以a∥β。因为b∥d，b⊄β，d⊂β，所以b∥β。因为直线a，b⊂面α，且a∩b=A，所以α∥β。
【延伸·练】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点。求证：平面A1C1G∥平面BEF。
【证明】因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1，又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F=BG，又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
因为EF⊂平面BEF，BF⊂平面BEF，A1G⊂平面A1C1G，A1C1⊂平面A1C1G，又EF∩BF=F，A1G∩A1C1=A1，所以平面A1C1G∥平面BEF。
【习练·破】1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1。
【解析】连接FH，FN，HN，因为HN∥DB，FH∥D1D，FH∩HN=H，FH，HN⊂平面FHN，DB∩D1D=D，DB，D1D⊂平面B1BDD1，所以平面FHN∥平面B1BDD1。因为点M在四边形EFGH上及其内部运动，故M∈FH。答案：M在线段FH上
2.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点。求证：（1）BE∥平面DMF。（2）平面BDE∥平面MNG。
【证明】（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF。
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG。又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG。
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