2021年九年级中考数学 专题练习：圆的有关性质

这是一份2021年九年级中考数学 专题练习：圆的有关性质，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021中考数学 专题练习：圆的有关性质一、选择题1. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为              (　　)A.32°    B.31°    C.29°    D.61°  2. 如图，在⊙O中，若C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度数是(　　)A．40°    B．45°    C．50°    D．60° 3. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB的长为(　　)A. 2 　　　　 B. 3 　　　　 C. 4 　　　　 D. 5  4. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(　　)A．AP＝2OP       B．CD＝2OPC．OB⊥AC       D．AC平分OB 5. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，则拱桥的半径OC为(　　)A．4 m    B．5 m    C．6 m    D．8 m 6. 如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(　　)A．30°          B．45°          C．55°          D．60° 7. 2020·武汉模拟 小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为(　　)A．350 mm       B．700 mm  C．800 mm        D．400 mm 8. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为(　　)A.   B.   C.   D. 　　　
二、填空题9. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是　　　　.   10. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=　　　　度.   11. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．  12. 2018·曲靖 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°. 13. 如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________． 14. 如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________． 三、解答题15. 如图，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，点D在☉O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE.
    16. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．(1)如图①，求证：OP∥BC；(2)如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．     17. 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．      18. 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．      2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】A　[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.  2. 【答案】A　[解析] ∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.∵C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°.故选A. 3. 【答案】B　【解析】由垂径定理可得DH＝，所以BH＝＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，()2＝1×BA，AB＝3.  4. 【答案】A　[解析] ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵四边形OBCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，∴∠CPO＝90°，即OB⊥AC，∴选项C正确；∴CP＝AP.又∵OA＝OD，∴OP是△ACD的中位线，∴CD＝2OP，∴选项B正确；∴CD＝OB＝2OP，即P是OB的中点，∴AC平分OB，∴选项D正确． 5. 【答案】B　[解析] 如图，连接BO.由题意可得AD＝BD＝4 m.设⊙O的半径OC＝x m，则DO＝(8－x)m.由勾股定理可得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.故拱桥的半径OC为5 m. 6. 【答案】B 7. 【答案】C　 8. 【答案】A　【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝.二、填空题9. 【答案】2　[解析]连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.  10. 【答案】20　[解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，∴∠BAD=20°.  11. 【答案】35　【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝∠OAB＝35°.  12. 【答案】n 13. 【答案】　[解析] 连接OD.因为CD⊥OC，所以CD＝，根据题意可知圆的半径一定，故当OC最小时CD最大，故当OC⊥AB时CD最大，此时CD＝AB＝. 14. 【答案】7 　[解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 ，则PA＋PC的最小值为7  . 三、解答题15. 【答案】证明:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∴∠DEO=∠ACB.∵OD∥BC，∴∠DOE=∠ABC，∴△DOE∽△ABC.(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE=∠A.∵∠A和∠BDC都是所对的圆周角，∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC.∴∠ODF=∠BDE.  16. 【答案】解：(1)证明：如图①，连接PC.∵＝，∴∠AOP＝∠COP.在△AOP和△COP中，∴△AOP≌△COP，∴∠APO＝∠CPO.∵OA＝OP，∴∠APO＝∠OAP.又∵∠PCB＝∠OAP，∴∠CPO＝∠PCB，∴OP∥BC.(2)如图②，连接OP，AC.∵＝，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠PAO＝∠PCO.当DO＝DC时，设∠DCO＝x，则∠DOC＝x，∠PAO＝x，∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x.∵∠PAO＝x，∴∠POD＝2∠PAO＝2x.在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠PAO＝36°.当CO＝CD时，设∠DCO＝x，则∠OPC＝x，∠PAO＝x，∴∠POD＝2x，∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝2x＋x＝3x.∵CD＝CO，∴∠DOC＝∠ODC＝3x.在△POC中，x＋x＋5x＝180°，解得x＝()，即∠PAO＝()°,)．当OC＝OD时，B，D重合，不符合题意，舍去．综上所述，∠PAO的度数为36°或()°,)． 17. 【答案】（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．所以－4a＝－2，b＝－3a．所以，．所以。顶点为．（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．图1由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知．所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余．         于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．如图2，点P(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，如图3，点B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．所以点B′′的坐标为．如图4，由，得．解得．由于，所以抛物线向左平移了个单位．图2                         图3                     图4考点伸展第（2）题不可回避要证明∠ADB＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明．由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，得AB2＝25，AD2＝5， BD2＝20．所以AB2＝AD2＋BD2．所以∠ADB＝90°．第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．求点B′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．求点C′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．  18. 【答案】（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．所以，．在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．整理，得．定义域为x＞0．图2                                     图3（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．因此．所以．解方程，得．此时⊙P的半径为．②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．所以．因此．解方程，得．此时⊙P的半径为．图4                     图5                     图6考点伸展第（3）题②也可以这样思考：如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、．