初中数学中考复习 专题12 圆的有关性质与计算 （解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题12 圆的有关性质与计算 （解析版），共68页。
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品
专题12 圆的有关性质与计算

【典例分析】
【考点1】垂径定理
【例1】（2019·湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选：A．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
【变式1-1】（2019·四川中考真题）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为（ ）

A． B．4 C． D．4.8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算BD的长．
【详解】
∵AB为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
【变式1-2】（2019·四川中考真题）如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为( )

A． B． C．6 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，可得为等腰直角三角形，所以，从而得到的长．
【详解】
∵，AB为直径，
∴，
∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴，
∴.
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系
【例2】（2019·四川自贡中考真题）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【变式2-1】（2018·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.
【详解】
延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.
【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．

【答案】见解析.
【解析】
【分析】
连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
【详解】
解：如图，连接.
∵，
∴.
∴，即.
∴.
∴.

【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【考点3】圆周角定理及其推论
【例3】（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）

A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.
【详解】
连接FB，

则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
【变式3-1】（2019·北京中考真题）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
【答案】D
【解析】
【分析】
由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】
解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN=∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理可得到的度数．
【详解】
，
，
，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【考点4】圆内接四边形
【例4】（2019·贵州中考真题）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；

【答案】100°
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质，即可解答
【详解】
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°，
故答案为100°
【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，难度不大
【变式4-1】（2019·甘肃中考真题）如图，四边形内接于，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选D.
【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角的性质即可求解.
【详解】
连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=,
故选B.

【点睛】
此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
【考点5】正多边形和圆
【例5】（2019·山东中考真题）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．

【答案】54
【解析】
【分析】
连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．
【详解】
连接AD，

∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=54°，
故答案为54．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．
【变式5-1】（2019·山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.
【详解】

解：如图，连接、，作于；
则，
∵六边形正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.
【变式5-2】（2019·陕西中考真题）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.

【答案】6.
【解析】
【分析】
根据正六边形的半径就是其外接圆半径，则最长的对角线就是外接圆的直径，据此进行求解即可.
【详解】
正六边形的中心角为=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∴BE=2OB=6，
即正六边形最长的对角线为6，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是解题的关键.
【考点6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）
【例6】（2019·广西中考真题）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长（结果保留）．

【答案】（1）见解析；（2）的长．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，得到，根据弧长公式即可得到结论.
【详解】
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，

∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键.
【变式6-1】（2019·湖北中考真题）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.

【答案】 .
【解析】
【分析】
过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
过作于，于，

等边三角形的边长为2，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积

，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式6-2】（2019·四川中考真题）如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选：B．
【点睛】
考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
【考点7】与圆锥有关的计算
【例7】（2019·湖南中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，

（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【详解】
∵在等腰中，，
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
【变式7-1】（2019·广西中考真题）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是_____度．
【答案】90
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得， ，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ，
根据题意得 ，解得 ，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．
故答案为90．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【变式7-2】（2019·辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】
设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，解得．故答案为3．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【变式7-3】（2019·西藏中考真题）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．
【详解】
过作于，
，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选：A．

【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【达标训练】
一、单选题
1．（2019·山东中考真题）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（ ）

A．32° B．31° C．29° D．61°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意连接OC，为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的的度，再根据直角三角形可得的度数.
【详解】
根据题意连接OC.因为

所以可得BC所对的大圆心角为
因为BD为直径，所以可得
由于为直角三角形
所以可得
故选A.
【点睛】
本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.
2．（2019·广西中考真题）如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理进行判断．
【详解】
解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（2019·吉林中考真题）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠ACB=100°，
∵∠AOP=55°，
∴∠POB=45°，
故选：B．
【点睛】
本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．
4．（2019·山东中考真题）如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，，如果，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
【详解】
连接CD，如图所示：

∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2019·贵州中考真题）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．

考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
6．（2019·甘肃中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）

A．54° B．64° C．27° D．37°
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．
【详解】
解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∵∠CDB＝∠BOC＝27°
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2018·贵州中考真题）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　）

A．55° B．110° C．120° D．125°
【答案】D
【解析】
分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
详解：根据圆周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故选D．
点睛：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
8．（2019·浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意标上字母，作，根据题意可得：是边长为2的等边三角形，等边三角形的高为原来的纸带宽度，在中，根据勾股定理即可求得答案.
【详解】
如图，作，

依题可得：是边长为2的等边三角形，
在中，
∵，，
∴，
即原来的纸宽为.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查正多边形和圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正六边形的性质．
9．（2019·浙江中考真题）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【详解】
∵五边形为正五边形
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．
10．（2019·宁夏中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以点为圆心，以为半径作扇形，扇形．则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵正六边形的边长为2，
∴正六边形的面积是：，，
∴图中阴影部分的面积是：，
故选：B．
【点睛】
本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2019·江苏中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
【详解】
解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
12．（2019·山东中考真题）如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 S阴＝S△ABD﹣S扇形 BAE计算即可．
【详解】
，
故选：．
【点睛】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割
法求阴影部分面积．
13．（2019·浙江中考真题）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：该扇形的弧长＝.
故选C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
14．（2019·湖南中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π B．4π C．12π D．24π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式S=计算即可．
【详解】
S=，
故选C．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．
15．（2019·浙江中考真题）如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
【详解】
连接OB，OC．

∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°，
∴∠BOC=90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2，
∴的长为=π，
故选A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
16．（2019·山东中考真题）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BC、OD、OB，先证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇形BOD-S△BOD计算可得．
【详解】
如图所示，连接BC、OD、OB，

∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝70°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∴∠BCD＝30°，
则∠BOD＝2∠BCD＝60°，
又OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD
＝﹣×22
＝π﹣，
故选B．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．
二、填空题
17．（2019·广西中考真题）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．

【答案】26．
【解析】
【分析】
设的半径为，在中，，则有，解方程即可.
【详解】
设的半径为．
在中，，
则有，
解得，
∴的直径为26寸，
故答案为26．

【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
18．（2019·江苏中考真题）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______．

【答案】6
【解析】
【分析】
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【详解】
解：连接OB,OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，

故答案为6．
【点睛】
本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
19．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____

【答案】
【解析】
【分析】
连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】
解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.

【点睛】
本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
20．（2019·辽宁中考真题）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____．

【答案】2π．
【解析】
【分析】
根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝，
故答案为：2π．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
21．（2019·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．

【答案】10
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
【详解】
解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为：10
【点睛】
此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
22．（2019·江苏中考真题）如图，点、、、、在上，且弧为，则________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得.
【详解】
弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以 .
顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：
, ，
.

【点睛】
本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.
23．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可.
【详解】
连接，
∵，
∴是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
∵，
∴，，即圆的半径为2，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
24．（2019·湖北中考真题）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________.

【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，先求出圆的面积，再求出△ABC面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.
【详解】
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，
∵的半径为1，
∴的面积，OA=OB=1，
∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=，
∴AC=OB=，
∴S△AOB=OB•AC=，
∴圆的内接正十二边形的面积S1=12S△AOB=3，
∴则，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
25．（2019·江苏中考真题）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .

【答案】15.
【解析】
【分析】
连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行分析即可得.
【详解】
连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°-36°=24°，
即360°÷n=24°，∴n=15，
故答案为：15.

【点睛】
本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．
26．（2019·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°
∴AO=AB=1，由勾股定理得，
又∵AC=2，BD=2，
∴调影部分的面积为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.
27．（2019·浙江中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰激凌外壳的侧面积等于______（计算结果精确到个位）.

【答案】113.
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面积公式，代入题中数据，即可得到答案.
【详解】
根据题中数据，结合圆锥侧面积公式得：

【点睛】
本题考查求圆锥侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式.
28．（2019·山东中考真题）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出AB的长，再证明，进而由可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出的度数，则圆心角的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：在中，∵，．
∴，
∵，
∴是圆的切线，
∵与斜边相切于点，
∴，
∴；
在中，∵，
∴，
∵与斜边相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
三、解答题
29．（2019·天津中考真题）已知，分别与相切于点，，，为上一点．

（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．

（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．

【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
30．（2019·黑龙江中考真题）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；

（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题可知，点B满足这两个条件，说明点B在AC的垂直平分线上，说明点B在以AC为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求.
【详解】
解；（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点；
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点；

【点睛】
本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.
31．（2019·河南中考真题）如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：；
（2）填空：
①若，且点E是的中点，则DF的长为　 　；
②取的中点H，当的度数为　 　时，四边形OBEH为菱形．

【答案】（1）见解析（2）①②30°
【解析】
【分析】
（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，得证；
（2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得．
【详解】

解：（1）证明：如图1，，，

AB是的直径，
，





；

（2）①如图2，过F作于H，点E是的中点，

，

，
，即
，
，即，

故答案为．

②连接OE，EH，点H是的中点，
，



四边形OBEH为菱形，


．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．
32．（2019·江苏中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
(1)求⊙O的半径；
(2)点P为中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
(3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

【答案】(1)⊙O的半径为；(2)；(3)．
【解析】
【分析】
(1)若连接OB，则△BCO是一个含30°角的直角三角形，△AOB是底角为30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB；
(2) 连接OP，设AB与QP交于点M，根据题中条件证得∠QPO=∠A=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OQ；
(3)可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan∠PCA的值．
【详解】
(1)连接OB，如图
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠A=30°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBC中，，
即，
解得，
即⊙O的半径为；
(2)连接OP，设AB与QP交于点M，
∵点P为的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠QPO+∠PMB=90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠A+∠AMQ=90°，
又∵∠AMQ=∠PMB，
∴∠QPO=∠A=30°，
在Rt△OPQ中，，
即，
∴
(3)在Rt△OBC中，
∵，∠OBC=30°，∠ACB=90°
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
33．（2019·广西中考真题）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE=∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG=∠OHB=90°，由切线的性质得出∠FCG=90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF=CG，OG=OH，由等边三角形的性质得出∠OBH=30°，由直角三角形的性质得出OH=OB=1，OG=，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：连接并延长交于，作于，如图所示：

则，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
34．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，得到∠DBC=∠DCB，得到DB=DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE=FC=3，根据射影定理计算即可．
【详解】
（1）证明：作于，连接，

∵是圆的切线，
∴，即，
∵是圆的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴经过点，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵经过点，，

∴，
在和中，
，
∴≌
∴，
∵，，
∴，
则，
∴，
∴圆的半径为．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
35．（2019·内蒙古中考真题）如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接．
（1）求⊙半径的长；
（2）求证：．

【答案】（1）⊙的半径为．（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE=BC，连接CE，证明BC=BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB=ME，进而得结论．
【详解】
解：（1）连接，过作于点，如图1，

，
，
，
，
，
，
故⊙的半径为．
（2）证明：在上截取，连接，如图2，

，平分
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，

是等边三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．
36．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.
①求∠AQB的度数；
②若OA=18，求弧AmB的长.

【答案】（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.
【解析】
【分析】
(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；
(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；
②根据弧长公式进行计算即可得.
【详解】
(1)连接OB，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠ABO+∠CBP=90°，
∴∠OBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；

(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，
∴∠AQB=∠AOB=65°；
②∵∠AOB=130°，OB=18，
∴l弧AmB==23π.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
37．（2019·江苏中考真题）（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图中的）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
（实际应用）:观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．

（1）求的度数；
（2）已知km，求这两个观测点之间的距离即上的长．（取）
【答案】（1）；（2）（km）．
【解析】
【分析】
（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC=67°，证出∠HBD=∠DHC=67°，由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性质得出∠BOE=23°，得出∠POB=90°-23°=67°；
（2）同（1）可证∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧长公式即可得出结果．
【详解】
（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：

则，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）同（1）可证，
，
（km）．
【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
38．（2019·湖北中考真题）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，，求优弧的长．

【答案】（1）见解析；（2）优弧的长＝．
【解析】
【分析】
（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BD、OB，如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6，再利用正弦定义求出∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6，则∠BOC=120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．
【详解】
（1）证明：连接交于，如图，

∵点是的内心，
∴平分，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是圆的切线；
（2）解：连接、，如图，
∵点是的内心，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
在中，，
∴，
而，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴优弧的长＝．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的判定和弧长公式．
39．（2019·湖南中考真题）如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
(1)求证：EC是的切线；
(2)当时，求阴影部分面积．

【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为．
【解析】
【分析】
(1)如图，连接BC，OC，OE，证明，可得，进而根据BD是的切线，得到，继而得到，即可求得结论；
(2)先求出四边形OBEC的面积，继而根据阴影部分面积为进行求解即可得.
【详解】
(1)如图，连接BC，OC，OE，
AB为的直径，
，

在中，，
，
，，
，
，
BD是的切线，
，
，
OC为半径，
EC是的切线；
(2)，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形OBEC的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.
40．（2019·贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为.
【解析】
【分析】
（1）连接OF，AO，根据题意可得∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，再利用OB＝OF，证明AB∥OF，即可解答
（2）先利用等弧对等角求出△AOF是等边三角形，再证明S△ABF＝S△AOF，即可解答
【详解】
(1)证明：连接OF，AO，

∵AB＝AF＝EF，
∴，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
(2)解：∵，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝.
【点睛】
此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角
41．（2019·广东中考真题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，以点为圆心的与相切于点，分别交、于点、.

（1）求三边的长；
（2）求图中由线段、、及所围成的阴影部分的面积.
【答案】（1）AB=2，AC=2，BC=4；（2）S阴影.
【解析】
【分析】
(1)结合网格特点利用勾股定理进行求解即可；
(2)由(1)根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，连接AD，求出AD长，利用三角形面积公式以及扇形面积公式分别求出的面积和扇形AEF的面积，继而可求得答案.
【详解】
(1)，
，
；
(2)由(1)得AB2+BC2=(2)2+(2)2=80=(4)2=BC2，
∴，
连接，则，
∴
=
=
=.
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，扇形面积公式，熟练掌握相关内容以及网格的结构特点是解题的关键.