初中数学中考复习 专题12 圆的有关性质与计算（解析版）

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专题12 圆的有关性质与计算


【考点1】垂径定理
【例1】（2020·广东广州·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．
【详解】
解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．

【点睛】
本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
【变式1-1】（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．

【答案】3
【分析】
过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点O作OH⊥CD于H，

连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
【变式1-2】（2020·江苏南通·中考真题）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
【答案】12
【分析】
如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．
【详解】
解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，

则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系
【例2】（2019·四川自贡中考真题）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【变式2-1】（2018·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.
【详解】
延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.
【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．

【答案】见解析.
【解析】
【分析】
连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
【详解】
解：如图，连接.
∵，
∴.
∴，即.
∴.
∴.

【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【考点3】圆周角定理及其推论
【例3】（2020·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】
此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
【变式3-1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.
【详解】
∵,
∴∠BOC=2∠BDC=40°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，
故选：B.
【点睛】
此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.
【变式3-2】（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【分析】
连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．

【点睛】
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
【考点4】圆内接四边形
【例4】（2020·河北中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）

A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．

故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
【变式4-1】（2020·辽宁营口·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【分析】
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【详解】
解：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式4-2】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）

A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【分析】
连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果.
【详解】
解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B.

【点睛】
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角.
【考点5】正多边形和圆
【例5】（2020·四川中考真题）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．abc B．bac C．acb D．cba
【答案】A
【分析】
分别画出符合题意的图形，利用直角三角形 利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．
【详解】
解：设圆的半径为R，

如图，
由为圆内接正三角形，

则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
如图，四边形为圆的内接正方形，



四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
如图，六边形为圆的正内接六边形，



正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴＜b＜，
故选：．
【分析】
本题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
【变式5-1】（2020·湖南株洲·中考真题）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）

【答案】
【分析】
根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．
【详解】
解：∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE为直径，=45°，
由题意得AB=2.5，
∴CE=2.5-0.25×2=2，
∴CD=CE ，
∴=45°，
∴正方形CDEF周长为尺．

故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
【变式5-2】（2019·陕西中考真题）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.

【答案】6.
【解析】
【分析】
根据正六边形的半径就是其外接圆半径，则最长的对角线就是外接圆的直径，据此进行求解即可.
【详解】
正六边形的中心角为=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∴BE=2OB=6，
即正六边形最长的对角线为6，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是解题的关键.
【考点6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）
【例6】（2020·湖北黄石·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．

【答案】
【分析】
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
【详解】
∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．

【点睛】
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
【变式6-1】（2020·湖北恩施·中考真题）如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值）

【答案】
【分析】
根据60°特殊角求出AC和BC,再算出△ABC的面积,根据扇形面积公式求出扇形的面积,再用三角形的面积减去扇形面积即可．
【详解】
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴BC=,AC=,
∴,
由以上可知∠CAB=30°,
∴扇形ACD的面积=,
∴阴影部分的面积为．
故答案为: ．
【点睛】
本题考查圆和扇形面积的结合,关键在于利用圆周角的性质找到直角三角形并结合扇形面积公式解出．
【变式6-2】（2020·山东潍坊·中考真题）如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】
（1）连接，

是的直径，
，即，
，

连接，
∵点C为劣弧的中点，
，
∵，

∵OC是的半径，
∴CE是的切线；
（2）连接
，，

∵点C为劣弧的中点，
，
，
，
，
∴S扇形FOC=，
即阴影部分的面积为：．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
【考点7】与圆锥有关的计算
【例7】（2019·湖南中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，

（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【详解】
∵在等腰中，，
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
【变式7-1】（2020·新疆中考真题）如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____．

【答案】
【分析】
由题意根据圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π进行计算即可求解．
【详解】
解：作OD⊥AC于点D，连接OA，

∴∠OAD=30°，AC=2AD，
∴AC=2OA×cos30°=2，
∴，
∴圆锥的底面圆的半径．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆锥的计算；注意掌握圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；解题的关键是得到扇形的半径．
【变式7-2】（2020·辽宁营口·中考真题）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为_____．
【答案】15π
【分析】
首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π
【点睛】
本题考查圆锥的侧面积,关键在于熟知圆锥的展开面是扇形,利用扇形面积公式求解.
【变式7-3】（2020·山东济南·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．

【答案】6
【分析】
根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
【详解】
解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，


解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．

1．（2020·山东淄博·中考真题）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）

A．2π+2 B．3π C． D．+2
【答案】C
【详解】
利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，
故选：C．
【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【分析】
首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.
【详解】
解：连接BE,

∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,
∴∠BOD＝2∠BED＝90°.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.
3．（2020·四川内江·中考真题）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】
连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．

【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
4．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，中，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由垂径定理都出，然后根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】
∵OC⊥AB，
∴，
∴∠APC=∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出是解题关键．
5．（2020·云南中考真题）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．
【详解】
∵正方形的边长为4
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．
6．（2020·山东日照·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9
【答案】A
【分析】
根据垂径定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE＝CD＝3．
设⊙O的半径为r，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝，
∴∠EOD＝60°，
∴，，
根据圆的对称性可得：
∴，
故选：A．

【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出∠EOD=60°是解题关键．
7．（2020·浙江嘉兴·中考真题）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．10 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，设OA交BC于T．

∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2020·山东聊城·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．
【详解】
解：是的直径，弦，
，．



又


在和中，

，


故选：B
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．
9．（2020·山东泰安·中考真题）如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】
如图，连接OB，

∵是的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴，，
又∵，
∴，
∴,
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴，
解得：，
∴．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．
10．（2020·陕西中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．
11．（2020·湖北黄石·中考真题）如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】
解：在优弧AB上取一点F，连接AF，BF．
∵ ，
∴∠CDO=∠CEO=90°．
∵，
∴∠O=140°，
∴∠F=70°，
∴∠ACB=180°-70°=110°．
故选C．

【点睛】
本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
12．（2020·山东烟台·中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（ ）

A．60° B．70° C．80° D．85°
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
13．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．

【答案】50
【分析】
根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】
∵是的外接圆的直径，
∴点，，，在上，
∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．（2020·江苏镇江·中考真题）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于_____．
【答案】30π
【分析】
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
【详解】
解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．
故答案为30π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（2020·云南昆明·中考真题）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．

【答案】10π
【分析】
利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故答案为：10π．

【点睛】
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
16．（2020·四川凉山·中考真题）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为__________．

【答案】
【分析】
如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】
解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，


为等边三角形，






解得： （负根舍去），
故答案为：

【点睛】
本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
17．（2020·湖北随州·中考真题）如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为_____．

【答案】30°
【分析】
根据圆周角定理求出，再由角平分线的性质可得到结果；
【详解】
∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤．
18．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是_____________．

【答案】
【分析】
由圆周角定理可得∠AOB＝110°，再根据弧长公式求解．
【详解】
解：∵∠C＝55°，
∴∠AOB＝2∠C＝110°，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的弧长问题，掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键．
19．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝_____．

【答案】
【分析】
连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
【详解】
解：连接OC．

∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2020·湖北中考真题）如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______．

【答案】2
【分析】
本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．
【详解】
将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+ S2=π-1，
∵BC为直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
故CD=DB=DA，
∴D点为 中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC=BC=x，
则，
其中 ，，
故：，
求解得：（舍去）
故答案：2．

【点睛】
本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．
21．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若AD=6，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）π．
【分析】
（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；
（2）可证得=，则的长为圆周长的．
【详解】
（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
（2）解：∵∠CAD=∠ABC，
∴=，
∵AD是⊙O的直径，且AD=6，
∴的长=×π×6=π．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得=是解(2)题的关键．
22．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】
证明：（1），
，
，
，
又,


四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，

四边形是的内接四边形







【点睛】
本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．（2020·创A教育扬帆初中初三二模）如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D．
（1）∠CAB＝　 　，∠BOD＝　 　；
（2）求证：△ABC≌△ODB．
（3）若BD＝2，求弧BC的长．

【答案】（1）60°，60°；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角及∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，然后由圆周角定理可知∠AOC＝60°，再根据对顶角相等即可解答．
（2）根据直角三角形的性质求出AC＝OB，再由ASA定理即可求出△ABC≌△ODB．
（3）由直角三角形的性质求出OB＝2，由弧长公式可得出答案．
【详解】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°．
故答案为：60°，60°．
（2）证明：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，
又OB＝AB，
∴AC＝OB，
由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°，
在△ABC和△ODB中，
，
∴△ABC≌△ODB（ASA）．
（3）解：∵∠BOD＝60°，BD＝2，
∴∠BOC＝120°，OB＝BD＝×2＝2，
∴弧BC的长为＝．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定方法及圆周角定理的相关知识，熟练掌握切线的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
24．（2020·山西初三二模）作图与计算
如图，是直角三角形，．

（1）尺规作图：以为直径作，且与交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作图的基础上，若，，则由，和劣弧所围成的封闭图形的面积为_______________．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作AC的中垂线找到AC中点O，再作圆即可得；
（2）在（1）所作图的基础上，连接OD、DC，根据已知可求得ADC=CDB=90°，BD、AC的长，△OCD是等边三角形，则利用求得由，和劣弧所围成的封闭图形的面积即可．
【详解】
解:尺规作图如图所示，即为所求作圆．

（2）如图连接OD、DC，

在中
∵，，，
∴AC=
∴OC=OD=
又∵AC是的直径，
∴ADC=CDB=90°
∴BD=1，CD=
∴△OCD是等边三角形
∴
=

=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握基本的尺规作图和直角三角形的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键．
25．（2020·山西初三三模）如图，以为直径，点为圆心的半圆上有一点且点为上一点．将沿直线对折得到点的对应点为且与半圆相切于点连接交半圆于点．

（1）求证：；
（2）当时，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到∠B'CO=90，根据等边三角形的性质、翻转变换的性质计算，得到∠B′DB=90°，证明结论；
（2）求出∠B′OC=45°，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）连接


与半圆相切于点

，
是等边三角形.
.
沿直线对折得到
.
在中，.
，
.
是等边三角形，




．
【点睛】
本题考查圆的综合题型，切线、扇形面积等，注意运用圆的性质，属于中考常考题型．
26．（2020·辽宁沈阳·初三其他模拟）如图，在中，弦于点，弦于点，直线与直线相交于点．连结．
（1）如图，求证：；

（2）若，的半径为6，直接写出弧的长度．
（3）在图中，按题目要求画出图形，并直接回答（1）中的结论是否正确．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析，正确
【分析】
（1）连接AD，利用等角的余角相等证明，得到是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”证得；
（2）由（1）得，再根据圆周角定理求出的度数，再用弧长公式求出的长；
（3）先根据题意画出图象，类似（1），用等角的余角相等证明，得到是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”证得．
【详解】
解：（1）如图，连接AD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴E是DM的中点，即；

（2）连接，，
由（1）得，
∴，
由弧长公式得 ；

（3）正确，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴E是DM的中点，即．

【点睛】
本题考查圆的基本性质，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是抓住等腰三角形“三线合一”这个重要性质并结合圆的相关性质定理来进行证明．