高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量一等奖ppt课件

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1.向量的数乘运算定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作λa。规定：（1）当λ≠0且a≠0时，|λa|=|λ||a|，且
①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；②当λ<0时，λa的方向与a的方向相反。（2）当λ=0或a=0时，λa=0。
【思考】（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。（2）若把|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗？为什么？提示：不可以，当λ<0时不成立。
2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则λ（μa）=（λμ）a；特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a）。
【思考】这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。
3.向量共线的条件如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
【思考】“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b=λa。”成立吗？提示：不成立，若a=0，b≠0，则λ不存在。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）3a的方向与a的方向相同，且-2a的方向与a的方向相反。（　　）（2）4a与-4a的模相等。（　　）
（3）a与-λa的方向相反。（　　）（4）若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（　　）
提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，所以-2a与a反向。（2）√。因为|4a|=|4||a|，|-4a|=|-4||a|=4|a|，故二者相等。（3）×。当λ<0时，a与-λa的方向相同。（4）×。若b=0时不成立。
2.点C在直线AB上，且 ，则 等于（　　）【解析】选D。如图， ，所以
3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=________a。 【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-3
类型一　数乘向量的定义【典例】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。 ①|-λa|≥|a|；②a与λ2a方向相同；③|-2λa|=2|λ|·|a|。
【思维·引】根据数乘向量的概念解决。【解析】当0<λ<1时，|-λa|<|a|，①错误；②③正确。答案：②③
【内化·悟】解决数乘向量问题关键应注意哪几点？提示：应注意两点：方向相同还是相反，模长放大还是缩小。
【类题·通】数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小。
【习练·破】若两个非零向量a与（2x-1）a方向相同，则x的取值范围为________。 
【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x> 。答案：x>
【加练·固】存在两个非零向量a，b，满足b=-3a，则有（　　）A.a与b方向相同B.a与b方向相反C.|a|=|3b|D.|a|=|b|
【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。
类型二　数乘向量的运算【典例】下列各式化简正确的是________。 ①-3×2a=-5a；② a×3×（-2）= -3a；③-2× = 2 ；④0×b=0。
【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。【解析】因为-3×2a=-6a， a×3×（-2）=-3a，-2× =-2 =2 ，0×b=0。所以，①④错误，②③正确。答案：②③
【内化·悟】数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？提示：可类比数乘单项式运算。
【类题·通】λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。
【习练·破】　化简下列各式。（1）4× a。（2）-2×
【解析】（1）4×（2）-2× =3a。
类型三　数乘向量的应用角度1　判断向量共线【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求 的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以a∥b，且 ，即 =1∶2。向量a，b反向。
【素养·探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b=3e，”其他不变，试求解。
【解析】因为b=3e= a ，所以a∥b，且 即 = 2∶3。向量a，b同向。
角度2　判断三点共线【典例】已知 =e， =-3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为 =-3e=-3 ，所以 ， 且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC=3AB，且向量 反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点。
【类题·通】数乘向量的应用（1）如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。（2）如果存在实数λ，使得 ，则 ， 且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。
【习练·破】分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比。