高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量教案

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复习

提问

复习提问

(1)前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握“三角形法则”和“平行四边形法则”；

例如：平面内有向量和，：            和          

①    当顺次首尾连结

时：                    ，

和向量即为图中所示；(副板书)

②当重合起点或终点时，图略，和向量应用“平行四边形法则”求得；

而且向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。

例如：－＝

（2）下面我们来看这么一道题：

1．例：已知如图向量为非零向量，试用作图方式表示＋＋和－+（－）

                                             （投影）

师生互答

与

教师讲解

结合

师生互答

与教师讲解

结合

复习旧知识，

引出新知识

复习旧知识

引出新知识

定理形成

运算率的形成及证明

一、向量数乘的相关概念及性质：

1．向量数乘（实数和向量相乘）的定义：

实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长。

(而且我们可以根据刚才的例题总结出这样的结论：)

(0)的方向

当

2．实数和向量相乘所满足的运算率：

(1)；        (2)；

(3) (分配率)。

(以上各运算律证明方法见后面，由学生自己证明)

首先我们抓住它的特点，＋＋是区别于一般情况下的三个相同的向量的加法，显然顺次连结首尾，我们依照加法规律可以很容易的得到3的几何表示

这一点学生是容易理解并接受的，而－+（－）也是两个和等模反向的向量的和。这时我们会发现：当有非零实数和非零向量相乘时我们只需相应扩大或缩小向量的线段长度，“例如3是将的线段扩大为的三倍”，并且应注意所乘的常数是正数时得到的新向量方向不变，负数时变为和原向量相反即可。若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。

并且：特殊地，当实数0和一个向量相乘时，得到的仍为一个向量，且模为0，即“零向量”。

（因为零向量的方向不固定且模为0，所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向量”没有几何表示方法，它的代数形式为。）

学生通过对老师利用向量加法的讲解，能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换，通过观察、比较、抽象、概括出实数与向量相乘的几何表示与代数表示法。发展学生的理性思维的能力。

对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并且能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了

应用举例

应用举例

1．计算下列各式：

（1）；

（2）；

（3）

解：

；

；

例2．设是未知向量，解方程：

解：原式可变形为：

(例1和例2所需要注意的是书写格式要正确，箭头不要丢掉)

例3．已知说明向量与的关系。

解：因为

=+

=3+3

=3(+)

=3      

所以与共线且方向相同，长度是的3倍。

例3作图是学生需要锻炼的能力之一，督促学生画好，其次是注意回顾和正确使用向量加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论

   通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力