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人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念优秀课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念优秀课件ppt，文件包含第六章平面向量初步611向量的概念课件pptx、第六章平面向量初步611向量的概念教案docx、第六章平面向量初步611向量的概念学案docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1.向量的定义与表示（1）定义：既有大小又有方向的量。
（2）表示方法：①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作有向线段 。②字母表示法：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c、…表示向量，在书写时，可写成带箭头的小写字母如 ，…。
（3）向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a， 的模分别记作|a|，| |。
【思考】（1）定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？提示：向量不仅有大小，而且有方向。大小是代数特征，方向是几何特征。看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可。
（2）由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点。
2.特殊向量（1）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0。（2）单位向量：长度（或模）为1的向量称为单位向量。（3）相等向量：大小相等且方向相同的向量称为相等向量。向量a与b相等，记作a=b。
（4）平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也称为共线向量。向量a平行于b，记作a∥b。规定零向量平行于任何向量。
【思考】（1）0与0相同吗？0是不是没有方向？提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0。0有方向，其方向是任意的。
（2）若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同。（3）“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？提示：向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同。（ ）（2）任意两个单位向量都相等。（ ）
（3）平行向量的方向相同或相反。（ ）（4）若 ，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点。（ ）
提示：（1）×。两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，其终点也不一定相同。（2）×。任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故不一定相等。（3）√。由平行向量的定义可知。（4）×。若 ，则A，B，C，D也可能落在同一条直线上。
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度。其中不是向量的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C。②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量。
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）【解析】选B。易知 。
类型一 向量的概念、零向量与单位向量【典例】1.（2019·兰州高一检测）以下选项中，都是向量的是（ ）A.正弦线、海拔 B.质量、摩擦力C.三角形的边长、体积D.余弦线、速度
2.给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________（填序号）。
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答。2.紧扣零向量、单位向量的定义解答。
【解析】1.选D。三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向，不是向量。2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确。答案：②③④
【内化·悟】（1）判定所给量是否为向量需要从哪几个方面考虑？提示：大小与方向两个方面缺一不可。（2）零向量的大小与方向是怎样的？提示：零向量的长度为0，方向任意。
（3）所有的单位向量有何共同特征？提示：所有的单位向量的长度相等，都是1。
【类题·通】理解零向量和单位向量应注意的问题（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。提醒：两个单位向量的长度相等，但这两个单位向量不一定相等。
【习练·破】（2019·永州高一检测）在下列判断中，正确的是（ ）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③长度相等的向量都是单位向量；④单位向量都是同方向；⑤向量 与向量 的长度相等。A.①②③ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①⑤
【解析】选D。由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确。长度相等的向量其模不一定为1，③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确，⑤正确。
【加练·固】（2019·衡阳高一检测）下列说法正确的是（ ）A.有向线段 与 表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.对任意向量a， 是一个单位向量
【解析】选C。向量 与 方向相反，不是同一向量，A说法错误；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B说法错误；当a=0时， 无意义，D说法错误；零向量与任何向量都是平行向量，C说法正确。
类型二 相等向量与共线向量【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形。（1）找出与向量 相等的向量。（2）找出与向量 共线的向量。
【思维·引】（1）找与向量 相等的向量，就是找与 长度相等且方向相同的向量。（2）找与向量 共线的向量，就是找与 方向相同或相反的向量。
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与 的长度相等且方向相同，所以与向量 相等的向量为 。（2）由题图可知 ， 与 方向相同， 与 方向相反，所以与向量 共线的向量有
【素养·探】本题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想象的核心素养中，培养读图能力。本例在找与 共线的向量时，易忽视与其本身方向相反的向量，即易把 漏掉。
若本例改为，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是正方形，请在图中找出与向量 模相等的向量。
【解析】由图可知，与向量 模相等的向量为
【类题·通】1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的。2.寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量。
3.共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反。
【发散·拓】向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c。因为当b=0时，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥c，即平行可传递。因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定看清题目中是“零向量”，还是“非零向量”。
【延伸·练】（2019·秦皇岛高一检测）下列命题正确的是（ ）A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C.向量 与 是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
【解析】选D。当b=0时，A不对；如图a= ，c= ，b= ，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，所以B错。
在▱ABCD中， 与 共线，但A，B，C，D四点不共线，所以C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，所以a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确。
【习练·破】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
（1）写出与 共线的向量。（2）写出与 方向相同的向量。（3）写出与 的模相等的向量。（4）写出与 相等的向量。
【解析】等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD=BC。（1）题图中与 共线的向量有（2）题图中与 方向相同的向量有（3）题图中与 的模相等的向量为 ，与 的模相等的向量为 。（4）题图中与 相等的向量为 。
【加练·固】1.如图在等腰梯形ABCD中。① 与 是共线向量。② = 。③ > 。以上结论中正确的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A。①因为 与 的方向不相同，也不相反，所以 与 不共线，即①不正确；②由①可知不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确。
2.四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为2 的向量个数有________个。
【解析】如图所示，满足与 平行且长度为2 的向量有 共8个。答案：8
类型三 向量的表示与应用【典例】1.如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且| |= ，画出所有的向量 。
2.如图所示，在四边形ABCD中， = ，N，M分别是AD，BC上的点，且 。求证： 。
【思维·引】1.根据方向与大小确定终点即可。2.利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM是平行四边形，进而得到向量 。
【解析】1.画出所有的向量 ，如图：
2.因为 = ，所以| |=| |，且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形。所以| |=| |，且DA∥CB。又因为 与 的方向相同，所以 = 。同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以 因为
所以| |=| |，DN∥MB，即 与 的模相等且方向相同，所以 = 。
【内化·悟】1.用有向线段表示向量需要确定哪几个量？提示：起点、方向、大小、终点。
2.（1）在四边形ABCD中，若 = ，四边形ABCD是什么图形，为什么？提示：向量 = 包含两层含义，AB∥CD，AB=CD，故四边形ABCD是平行四边形。
（2）要证明向量 必须满足什么条件？提示：方向相同，长度相等。
【类题·通】（1）用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。
（2）利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，但需说明两向量所在的基线无公共点。用平行向量可证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点。
【习练·破】下列说法中，正确的序号是________。 ①若 与 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD是平行四边形，则 = ；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同。
【解析】共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 ， 在同一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可
能相等，所以③错误；画出图形，可得 = ，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确。答案：②④
类型四 向量在生活中的应用【物理情境】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地。问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【转化模板】1.建 ——由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题，故可以建立向量模型解决。2.设 ——设飞机三次飞行位移分别为向量
3.译 ——已知向量 的方向为北偏东30°，长度为2000km，向量 的方向为南偏东30°，长度为2000 km，向量 的方向为西南方向，长度为1000 km，求向量 的方向及长度。
4.解 ——（1）由题意，作出向量 ， 如图所示，
1.向量的定义与表示（1）定义：既有大小又有方向的量。
（2）表示方法：①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作有向线段 。②字母表示法：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c、…表示向量，在书写时，可写成带箭头的小写字母如 ，…。
（3）向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a， 的模分别记作|a|，| |。
【思考】（1）定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？提示：向量不仅有大小，而且有方向。大小是代数特征，方向是几何特征。看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可。
（2）由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点。
2.特殊向量（1）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0。（2）单位向量：长度（或模）为1的向量称为单位向量。（3）相等向量：大小相等且方向相同的向量称为相等向量。向量a与b相等，记作a=b。
（4）平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也称为共线向量。向量a平行于b，记作a∥b。规定零向量平行于任何向量。
【思考】（1）0与0相同吗？0是不是没有方向？提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0。0有方向，其方向是任意的。
（2）若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同。（3）“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？提示：向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同。（ ）（2）任意两个单位向量都相等。（ ）
（3）平行向量的方向相同或相反。（ ）（4）若 ，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点。（ ）
提示：（1）×。两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，其终点也不一定相同。（2）×。任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故不一定相等。（3）√。由平行向量的定义可知。（4）×。若 ，则A，B，C，D也可能落在同一条直线上。
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度。其中不是向量的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C。②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量。
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）【解析】选B。易知 。
类型一 向量的概念、零向量与单位向量【典例】1.（2019·兰州高一检测）以下选项中，都是向量的是（ ）A.正弦线、海拔 B.质量、摩擦力C.三角形的边长、体积D.余弦线、速度
2.给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________（填序号）。
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答。2.紧扣零向量、单位向量的定义解答。
【解析】1.选D。三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向，不是向量。2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确。答案：②③④
【内化·悟】（1）判定所给量是否为向量需要从哪几个方面考虑？提示：大小与方向两个方面缺一不可。（2）零向量的大小与方向是怎样的？提示：零向量的长度为0，方向任意。
（3）所有的单位向量有何共同特征？提示：所有的单位向量的长度相等，都是1。
【类题·通】理解零向量和单位向量应注意的问题（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。提醒：两个单位向量的长度相等，但这两个单位向量不一定相等。
【习练·破】（2019·永州高一检测）在下列判断中，正确的是（ ）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③长度相等的向量都是单位向量；④单位向量都是同方向；⑤向量 与向量 的长度相等。A.①②③ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①⑤
【解析】选D。由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确。长度相等的向量其模不一定为1，③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确，⑤正确。
【加练·固】（2019·衡阳高一检测）下列说法正确的是（ ）A.有向线段 与 表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.对任意向量a， 是一个单位向量
【解析】选C。向量 与 方向相反，不是同一向量，A说法错误；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B说法错误；当a=0时， 无意义，D说法错误；零向量与任何向量都是平行向量，C说法正确。
类型二 相等向量与共线向量【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形。（1）找出与向量 相等的向量。（2）找出与向量 共线的向量。
【思维·引】（1）找与向量 相等的向量，就是找与 长度相等且方向相同的向量。（2）找与向量 共线的向量，就是找与 方向相同或相反的向量。
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与 的长度相等且方向相同，所以与向量 相等的向量为 。（2）由题图可知 ， 与 方向相同， 与 方向相反，所以与向量 共线的向量有
【素养·探】本题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想象的核心素养中，培养读图能力。本例在找与 共线的向量时，易忽视与其本身方向相反的向量，即易把 漏掉。
若本例改为，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是正方形，请在图中找出与向量 模相等的向量。
【解析】由图可知，与向量 模相等的向量为
【类题·通】1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的。2.寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量。
3.共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反。
【发散·拓】向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c。因为当b=0时，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥c，即平行可传递。因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定看清题目中是“零向量”，还是“非零向量”。
【延伸·练】（2019·秦皇岛高一检测）下列命题正确的是（ ）A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C.向量 与 是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
【解析】选D。当b=0时，A不对；如图a= ，c= ，b= ，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，所以B错。
在▱ABCD中， 与 共线，但A，B，C，D四点不共线，所以C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，所以a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确。
【习练·破】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
（1）写出与 共线的向量。（2）写出与 方向相同的向量。（3）写出与 的模相等的向量。（4）写出与 相等的向量。
【解析】等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD=BC。（1）题图中与 共线的向量有（2）题图中与 方向相同的向量有（3）题图中与 的模相等的向量为 ，与 的模相等的向量为 。（4）题图中与 相等的向量为 。
【加练·固】1.如图在等腰梯形ABCD中。① 与 是共线向量。② = 。③ > 。以上结论中正确的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A。①因为 与 的方向不相同，也不相反，所以 与 不共线，即①不正确；②由①可知不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确。
2.四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为2 的向量个数有________个。
【解析】如图所示，满足与 平行且长度为2 的向量有 共8个。答案：8
类型三 向量的表示与应用【典例】1.如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且| |= ，画出所有的向量 。
2.如图所示，在四边形ABCD中， = ，N，M分别是AD，BC上的点，且 。求证： 。
【思维·引】1.根据方向与大小确定终点即可。2.利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM是平行四边形，进而得到向量 。
【解析】1.画出所有的向量 ，如图：
2.因为 = ，所以| |=| |，且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形。所以| |=| |，且DA∥CB。又因为 与 的方向相同，所以 = 。同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以 因为
所以| |=| |，DN∥MB，即 与 的模相等且方向相同，所以 = 。
【内化·悟】1.用有向线段表示向量需要确定哪几个量？提示：起点、方向、大小、终点。
2.（1）在四边形ABCD中，若 = ，四边形ABCD是什么图形，为什么？提示：向量 = 包含两层含义，AB∥CD，AB=CD，故四边形ABCD是平行四边形。
（2）要证明向量 必须满足什么条件？提示：方向相同，长度相等。
【类题·通】（1）用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。
（2）利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，但需说明两向量所在的基线无公共点。用平行向量可证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点。
【习练·破】下列说法中，正确的序号是________。 ①若 与 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD是平行四边形，则 = ；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同。
【解析】共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 ， 在同一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可
能相等，所以③错误；画出图形，可得 = ，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确。答案：②④
类型四 向量在生活中的应用【物理情境】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地。问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【转化模板】1.建 ——由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题，故可以建立向量模型解决。2.设 ——设飞机三次飞行位移分别为向量
3.译 ——已知向量 的方向为北偏东30°，长度为2000km，向量 的方向为南偏东30°，长度为2000 km，向量 的方向为西南方向，长度为1000 km，求向量 的方向及长度。
4.解 ——（1）由题意，作出向量 ， 如图所示，
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