人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量学案及答案，共3页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
理解向量的数乘运算及其几何意义．
【学习重难点】
理解向量的数乘运算及其几何意义．
【学习过程】
一、初试身手
1．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up9(→))＝－eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up9(→))，则此四边形是( )
A．平行四边形B．菱形
C．梯形D．矩形
2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b．
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
二、合作探究
1．向量数乘的定义
【例1】 已知a．b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
（1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
（2）－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的eq \f(2,3)倍；
（3）－2a与2a是一对相反向量；
（4）a－b与－(b－a)是一对相反向量．
2．向量的线性运算
【例2】 （1）计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)．
（2）设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－y＝a，,x－\f(1,2)y＝b.))
【学习小结】
数乘向量及运算律：
（1）向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa．它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
（2）向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
思考：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
[提示] 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）实数λ与向量a的积还是向量．( )
（2）对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
（3）向量－8a的模是向量4a的模的2倍．( )
（4）若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( )
（5）若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa．( )
2．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up9(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up9(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up9(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
所以A，B，D三点共线．]
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．
4．如图所示，已知eq \(AP,\s\up9(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up9(→))，用eq \(OA,\s\up9(→))，eq \(OB,\s\up9(→))表示eq \(OP,\s\up9(→)).