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人教B版 (2019)6.1.4 数乘向量练习
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这是一份人教B版 (2019)6.1.4 数乘向量练习，共18页。试卷主要包含了已知λ∈R，则下列结论正确的是，下列说法中正确的是，下列算式中正确的是，化简下列各式等内容，欢迎下载使用。
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2 km，则向量3a和－eq \f(1,2)a的意义是什么？
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝( )
A．－2a B．8a
C．－6a D．4a
6．已知a＝－eq \f(3,4)e，b＝eq \f(2,3)e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(9,8)
C．－eq \f(8,9) D．－2
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C．0eq \(AB,\s\up6(→))＝0 D．λ(μa)＝(λ μ)a
8．化简下列各式：
(1)eq \f(1,3)×6a；(2)(－3)×eq \f(1,4)×8a；(3)7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝eq \f(2,3)e，b＝－eq \f(1,3)e；
(4)a＝eq \f(3,4)e，b＝－eq \f(2,3)e.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
11．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))成立，则m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P在边AC的________等分点处．
13．(1)已知a＝eq \f(1,3)e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求eq \f(|b|,|a|)的值；
(2)已知a＝－eq \f(1,3)e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝eq \f(1,2)e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AC,\s\up6(→)).
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝－2e，eq \(AC,\s\up6(→))＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，求|eq \(BE,\s\up6(→))|.
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(BA,\s\up6(→)).
易错分析 在求解本题时，若忽略eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的方向相反，很容易错解为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→)).
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·aB．3b
C．|3a|D.eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→)) B.eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．eq \f(r,R) B．－eq \f(r,R)
C．－eq \f(R,r) D．eq \f(R,r)
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
7．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝eq \f(1,13)DC，AF＝eq \f(12,13)AB，则eq \(AE,\s\up6(→))与eq \(CF,\s\up6(→))的关系是( )
A．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)) B．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→))
C．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→)) D．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→))
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ||a|
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则eq \f(b,a)＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则eq \f(|b|,|a|)＝λ
11. 如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则必有( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))B．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|
C.eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))D.eq \(DO,\s\up6(→))12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
三、填空题
13．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BP,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
14．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→)).
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，eq \f(1,2)a，－3a，－eq \f(1,3)a.
18．(1)化简下列各式．
①6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a；②－eq \f(1,2)×4×9a.
(2)任作一向量eq \(OA,\s\up6(→))，再作向量eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→)).
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))；(2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
6.1.4 数乘向量
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
答案 C
解析 当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案 D
解析 对于A，λ＝0时结论不成立；对于B，只有当λ≠0时才成立；对于C，|b|＝2|a|时，a与b不一定共线；对于D，显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.故选D.
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2 km，则向量3a和－eq \f(1,2)a的意义是什么？
解 3a表示小船沿东北方向行驶了6 km，－eq \f(1,2)a表示小船沿西南方向行驶了1 km.
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
解 (1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．
由λμ>0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝( )
A．－2a B．8a
C．－6a D．4a
答案 C
解析 3×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝－6a，故选C.
6．已知a＝－eq \f(3,4)e，b＝eq \f(2,3)e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(9,8)
C．－eq \f(8,9) D．－2
答案 C
解析 由a＝－eq \f(3,4)e，得e＝－eq \f(4,3)a，故b＝eq \f(2,3)e＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))a＝－eq \f(8,9)a，所以λ＝－eq \f(8,9).故选C.
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C．0eq \(AB,\s\up6(→))＝0 D．λ(μa)＝(λ μ)a
答案 ACD
解析 易知A，C，D正确；eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，而不是eq \(BC,\s\up6(→))，故B错误．故选ACD.
8．化简下列各式：
(1)eq \f(1,3)×6a；(2)(－3)×eq \f(1,4)×8a；(3)7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a.
解 (1)eq \f(1,3)×6a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×6))a＝2a.
(2)(－3)×eq \f(1,4)×8a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×8a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)×8))a＝－6a.
(3)7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))a＝－eq \f(7,3)a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝eq \f(2,3)e，b＝－eq \f(1,3)e；
(4)a＝eq \f(3,4)e，b＝－eq \f(2,3)e.
解 (1)a＝3e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－6)e，故a＝－eq \f(1,2)b.
(2)a＝8e＝eq \f(1,2)×16e，故a＝eq \f(1,2)b.
(3)a＝eq \f(2,3)e＝(－2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))e，故a＝－2b.
(4)a＝eq \f(3,4)e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))e，故a＝－eq \f(9,8)b.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．
11．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))成立，则m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 ∵eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，∴M是△ABC的重心．∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P在边AC的________等分点处．
答案 三
解析 由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，所以eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AP,\s\up6(→))，从而点P在边AC的三等分点处．
13．(1)已知a＝eq \f(1,3)e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求eq \f(|b|,|a|)的值；
(2)已知a＝－eq \f(1,3)e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝eq \f(1,2)e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
解 (1)由a＝eq \f(1,3)e得e＝3a，代入b＝－5e，得b＝－5×(3a)＝－15a，∴a∥b，且|b|＝15|a|，即eq \f(|b|,|a|)＝15.
(2)∵a＝－eq \f(1,3)e，b＝4a，∴b＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)e))＝－eq \f(4,3)e，
∴b与e共线，且|b|＝eq \f(4,3)|e|，即eq \f(|b|,|e|)＝eq \f(4,3).
(3)∵a＝eq \f(1,2)e1，e1＝3e2，b＝－4e2，
∴e1＝2a，e2＝eq \f(1,3)e1，
b＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)e1))＝－4×eq \f(1,3)×2a＝－eq \f(8,3)a，
∴a与b平行，且|b|＝eq \f(8,3)|a|，即eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(3,8).
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AC,\s\up6(→)).
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,3)a.
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝－2e，eq \(AC,\s\up6(→))＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
解 由eq \(AB,\s\up6(→))＝－2e，得e＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
由eq \(AC,\s\up6(→))＝3e，得e＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
故－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
即eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))平行，又AB与AC有公共点A，
∴A，B，C三点共线，又|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，
∴AB∶AC＝2∶3.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，求|eq \(BE,\s\up6(→))|.
解 由题意可知∠ACB＝90°，
∵eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(DE,\s\up6(→))，∴∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,DB)，即eq \f(3,2)＝eq \f(4,DB)，
∴DB＝eq \f(8,3)，
又DE＝eq \f(4,3)，
∴|eq \(BE,\s\up6(→))|＝ eq \r(|\(DB,\s\up6(→))|2－|\(DE,\s\up6(→))|2 )＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2)＝eq \f(4\r(3),3).
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(BA,\s\up6(→)).
易错分析 在求解本题时，若忽略eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的方向相反，很容易错解为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→)).
答案 －eq \f(1,3)
正解 如图，因为eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2)，且点C在线段AB上，
则eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(CB,\s\up6(→))|，故eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→)).
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·aB．3b
C．|3a|D.eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)
答案 C
解析 |3a|是向量3a的模，是实数而不是向量．故选C.
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→)) B.eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，故D错误．A，B，C正确．
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
答案 C
解析 ∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|，a与b的方向相同．故选C.
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向相同或相反，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．eq \f(r,R) B．－eq \f(r,R)
C．－eq \f(R,r) D．eq \f(R,r)
答案 C
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－eq \f(R,r).
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝2e1，c＝6e1,6e1＝3(2e1)，∴a＋b与c共线．
7．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))平行，且|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(5,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|，又|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝eq \f(1,13)DC，AF＝eq \f(12,13)AB，则eq \(AE,\s\up6(→))与eq \(CF,\s\up6(→))的关系是( )
A．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)) B．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→))
C．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→)) D．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→))
答案 B
解析 ∵DE＝eq \f(1,13)DC，∴EC＝eq \f(12,13)DC，即eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(DC,\s\up6(→))，又四边形ABCD为平行四边形，AF＝eq \f(12,13)AB，∴eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，∴四边形AFCE为平行四边形，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→)).故选B.
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ||a|
答案 CD
解析 显然A，B不正确，C，D正确．
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则eq \f(b,a)＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则eq \f(|b|,|a|)＝λ
答案 ACD
解析 A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，eq \f(|b|,|a|)应等于|λ|.故选ACD.
11. 如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则必有( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))B．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|
C.eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))D.eq \(DO,\s\up6(→))答案 AC
解析 ∵在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由平行四形的性质可知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，|eq \(BD,\s\up6(→))|不一定等于|eq \(AC,\s\up6(→))|，eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，A，C正确，B错误；向量不能比较大小，D错误．故选AC.
12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
答案 BC
解析 λ＋a与λ－a均无意义，A是假命题；因为－3<0，故B为真命题；|－6a|＝6|a|＝2|3a|，C是真命题；若b＝0，a≠0，命题不成立，D是假命题．故选BC.
三、填空题
13．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BP,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 －eq \f(3,2)
解析 eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，如图．
结合图形可知eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)eq \(BP,\s\up6(→)).
故λ＝－eq \f(3,2).
14．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→)).
答案 eq \f(3,5) －eq \f(2,5)
解析 因为C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，所以eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，且eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)，eq \f(BC,AB)＝eq \f(2,5)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
解析 eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
答案 1∶2
解析 画出图形如图所示．
∵eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．
又△PAB与△PBC的底边长之比为|eq \(PA,\s\up6(→))|∶|eq \(CP,\s\up6(→))|＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，eq \f(1,2)a，－3a，－eq \f(1,3)a.
解 将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的eq \f(1,2)，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的eq \f(1,3)，就分别得到向量2a，eq \f(1,2)a，－3a，－eq \f(1,3)a，如图所示．
18．(1)化简下列各式．
①6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a；②－eq \f(1,2)×4×9a.
(2)任作一向量eq \(OA,\s\up6(→))，再作向量eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→)).
解 (1)①6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a＝－2a.
②－eq \f(1,2)×4×9a＝－2×9a＝－18a.
(2) 当eq \(OA,\s\up6(→))＝0时，eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＝2·0＝0，
eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)·0＝0；
当eq \(OA,\s\up6(→))≠0时，
如图，延长OA到点B使
|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2|eq \(OA,\s\up6(→))|，
则eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，
反向延长AO至C，使|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(OA,\s\up6(→))|，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→)).
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))；(2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
解 (1)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)).
又eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))有公共点C，
∴A，B，C共线．又易知eq \(AB,\s\up6(→))＝－3eq \(BC,\s\up6(→))，
∴AB∶BC＝3.
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A，
∴A，B，C共线．又易知eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))，
∴AB∶BC＝2.
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明 ∵F，G分别是AB，AC的中点，∴eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)).
同理，eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)).∴eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→)).
∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH为平行四形．
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2 km，则向量3a和－eq \f(1,2)a的意义是什么？
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝( )
A．－2a B．8a
C．－6a D．4a
6．已知a＝－eq \f(3,4)e，b＝eq \f(2,3)e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(9,8)
C．－eq \f(8,9) D．－2
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C．0eq \(AB,\s\up6(→))＝0 D．λ(μa)＝(λ μ)a
8．化简下列各式：
(1)eq \f(1,3)×6a；(2)(－3)×eq \f(1,4)×8a；(3)7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝eq \f(2,3)e，b＝－eq \f(1,3)e；
(4)a＝eq \f(3,4)e，b＝－eq \f(2,3)e.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
11．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))成立，则m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P在边AC的________等分点处．
13．(1)已知a＝eq \f(1,3)e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求eq \f(|b|,|a|)的值；
(2)已知a＝－eq \f(1,3)e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝eq \f(1,2)e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AC,\s\up6(→)).
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝－2e，eq \(AC,\s\up6(→))＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，求|eq \(BE,\s\up6(→))|.
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(BA,\s\up6(→)).
易错分析 在求解本题时，若忽略eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的方向相反，很容易错解为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→)).
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·aB．3b
C．|3a|D.eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→)) B.eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．eq \f(r,R) B．－eq \f(r,R)
C．－eq \f(R,r) D．eq \f(R,r)
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
7．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝eq \f(1,13)DC，AF＝eq \f(12,13)AB，则eq \(AE,\s\up6(→))与eq \(CF,\s\up6(→))的关系是( )
A．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)) B．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→))
C．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→)) D．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→))
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ||a|
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则eq \f(b,a)＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则eq \f(|b|,|a|)＝λ
11. 如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则必有( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))B．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|
C.eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))D.eq \(DO,\s\up6(→))
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
三、填空题
13．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BP,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
14．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→)).
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，eq \f(1,2)a，－3a，－eq \f(1,3)a.
18．(1)化简下列各式．
①6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a；②－eq \f(1,2)×4×9a.
(2)任作一向量eq \(OA,\s\up6(→))，再作向量eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→)).
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))；(2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
6.1.4 数乘向量
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
答案 C
解析 当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案 D
解析 对于A，λ＝0时结论不成立；对于B，只有当λ≠0时才成立；对于C，|b|＝2|a|时，a与b不一定共线；对于D，显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.故选D.
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2 km，则向量3a和－eq \f(1,2)a的意义是什么？
解 3a表示小船沿东北方向行驶了6 km，－eq \f(1,2)a表示小船沿西南方向行驶了1 km.
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
解 (1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．
由λμ>0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝( )
A．－2a B．8a
C．－6a D．4a
答案 C
解析 3×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))a＝－6a，故选C.
6．已知a＝－eq \f(3,4)e，b＝eq \f(2,3)e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(9,8)
C．－eq \f(8,9) D．－2
答案 C
解析 由a＝－eq \f(3,4)e，得e＝－eq \f(4,3)a，故b＝eq \f(2,3)e＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))a＝－eq \f(8,9)a，所以λ＝－eq \f(8,9).故选C.
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C．0eq \(AB,\s\up6(→))＝0 D．λ(μa)＝(λ μ)a
答案 ACD
解析 易知A，C，D正确；eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，而不是eq \(BC,\s\up6(→))，故B错误．故选ACD.
8．化简下列各式：
(1)eq \f(1,3)×6a；(2)(－3)×eq \f(1,4)×8a；(3)7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a.
解 (1)eq \f(1,3)×6a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×6))a＝2a.
(2)(－3)×eq \f(1,4)×8a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×8a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)×8))a＝－6a.
(3)7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))a＝－eq \f(7,3)a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝eq \f(2,3)e，b＝－eq \f(1,3)e；
(4)a＝eq \f(3,4)e，b＝－eq \f(2,3)e.
解 (1)a＝3e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－6)e，故a＝－eq \f(1,2)b.
(2)a＝8e＝eq \f(1,2)×16e，故a＝eq \f(1,2)b.
(3)a＝eq \f(2,3)e＝(－2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))e，故a＝－2b.
(4)a＝eq \f(3,4)e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))e，故a＝－eq \f(9,8)b.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．
11．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))成立，则m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 ∵eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，∴M是△ABC的重心．∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P在边AC的________等分点处．
答案 三
解析 由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，所以eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AP,\s\up6(→))，从而点P在边AC的三等分点处．
13．(1)已知a＝eq \f(1,3)e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求eq \f(|b|,|a|)的值；
(2)已知a＝－eq \f(1,3)e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝eq \f(1,2)e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
解 (1)由a＝eq \f(1,3)e得e＝3a，代入b＝－5e，得b＝－5×(3a)＝－15a，∴a∥b，且|b|＝15|a|，即eq \f(|b|,|a|)＝15.
(2)∵a＝－eq \f(1,3)e，b＝4a，∴b＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)e))＝－eq \f(4,3)e，
∴b与e共线，且|b|＝eq \f(4,3)|e|，即eq \f(|b|,|e|)＝eq \f(4,3).
(3)∵a＝eq \f(1,2)e1，e1＝3e2，b＝－4e2，
∴e1＝2a，e2＝eq \f(1,3)e1，
b＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)e1))＝－4×eq \f(1,3)×2a＝－eq \f(8,3)a，
∴a与b平行，且|b|＝eq \f(8,3)|a|，即eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(3,8).
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AC,\s\up6(→)).
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,3)a.
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝－2e，eq \(AC,\s\up6(→))＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
解 由eq \(AB,\s\up6(→))＝－2e，得e＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
由eq \(AC,\s\up6(→))＝3e，得e＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
故－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
即eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))平行，又AB与AC有公共点A，
∴A，B，C三点共线，又|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，
∴AB∶AC＝2∶3.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，求|eq \(BE,\s\up6(→))|.
解 由题意可知∠ACB＝90°，
∵eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(DE,\s\up6(→))，∴∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,DB)，即eq \f(3,2)＝eq \f(4,DB)，
∴DB＝eq \f(8,3)，
又DE＝eq \f(4,3)，
∴|eq \(BE,\s\up6(→))|＝ eq \r(|\(DB,\s\up6(→))|2－|\(DE,\s\up6(→))|2 )＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2)＝eq \f(4\r(3),3).
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(BA,\s\up6(→)).
易错分析 在求解本题时，若忽略eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的方向相反，很容易错解为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→)).
答案 －eq \f(1,3)
正解 如图，因为eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2)，且点C在线段AB上，
则eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(CB,\s\up6(→))|，故eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→)).
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·aB．3b
C．|3a|D.eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)
答案 C
解析 |3a|是向量3a的模，是实数而不是向量．故选C.
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→)) B.eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，故D错误．A，B，C正确．
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
答案 C
解析 ∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|，a与b的方向相同．故选C.
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向相同或相反，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．eq \f(r,R) B．－eq \f(r,R)
C．－eq \f(R,r) D．eq \f(R,r)
答案 C
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－eq \f(R,r).
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝2e1，c＝6e1,6e1＝3(2e1)，∴a＋b与c共线．
7．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))平行，且|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(5,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|，又|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝eq \f(1,13)DC，AF＝eq \f(12,13)AB，则eq \(AE,\s\up6(→))与eq \(CF,\s\up6(→))的关系是( )
A．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)) B．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→))
C．eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→)) D．eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(12,13)eq \(CF,\s\up6(→))
答案 B
解析 ∵DE＝eq \f(1,13)DC，∴EC＝eq \f(12,13)DC，即eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(DC,\s\up6(→))，又四边形ABCD为平行四边形，AF＝eq \f(12,13)AB，∴eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(12,13)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，∴四边形AFCE为平行四边形，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→)).故选B.
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ||a|
答案 CD
解析 显然A，B不正确，C，D正确．
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则eq \f(b,a)＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则eq \f(|b|,|a|)＝λ
答案 ACD
解析 A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，eq \f(|b|,|a|)应等于|λ|.故选ACD.
11. 如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则必有( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))B．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|
C.eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))D.eq \(DO,\s\up6(→))
解析 ∵在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由平行四形的性质可知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，|eq \(BD,\s\up6(→))|不一定等于|eq \(AC,\s\up6(→))|，eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，A，C正确，B错误；向量不能比较大小，D错误．故选AC.
12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
答案 BC
解析 λ＋a与λ－a均无意义，A是假命题；因为－3<0，故B为真命题；|－6a|＝6|a|＝2|3a|，C是真命题；若b＝0，a≠0，命题不成立，D是假命题．故选BC.
三、填空题
13．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BP,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 －eq \f(3,2)
解析 eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，如图．
结合图形可知eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)eq \(BP,\s\up6(→)).
故λ＝－eq \f(3,2).
14．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→)).
答案 eq \f(3,5) －eq \f(2,5)
解析 因为C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，所以eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，且eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)，eq \f(BC,AB)＝eq \f(2,5)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
解析 eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
答案 1∶2
解析 画出图形如图所示．
∵eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．
又△PAB与△PBC的底边长之比为|eq \(PA,\s\up6(→))|∶|eq \(CP,\s\up6(→))|＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，eq \f(1,2)a，－3a，－eq \f(1,3)a.
解 将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的eq \f(1,2)，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的eq \f(1,3)，就分别得到向量2a，eq \f(1,2)a，－3a，－eq \f(1,3)a，如图所示．
18．(1)化简下列各式．
①6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a；②－eq \f(1,2)×4×9a.
(2)任作一向量eq \(OA,\s\up6(→))，再作向量eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→)).
解 (1)①6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))a＝－2a.
②－eq \f(1,2)×4×9a＝－2×9a＝－18a.
(2) 当eq \(OA,\s\up6(→))＝0时，eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＝2·0＝0，
eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)·0＝0；
当eq \(OA,\s\up6(→))≠0时，
如图，延长OA到点B使
|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2|eq \(OA,\s\up6(→))|，
则eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，
反向延长AO至C，使|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(OA,\s\up6(→))|，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→)).
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))；(2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
解 (1)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)).
又eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))有公共点C，
∴A，B，C共线．又易知eq \(AB,\s\up6(→))＝－3eq \(BC,\s\up6(→))，
∴AB∶BC＝3.
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A，
∴A，B，C共线．又易知eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))，
∴AB∶BC＝2.
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明 ∵F，G分别是AB，AC的中点，∴eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)).
同理，eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)).∴eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→)).
∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH为平行四形．
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