高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量习题课件ppt

培优课　向量在平面几何中的三大应用

 (1)用向量方法解决几何问题的一般思路：把已知向量中的线段转化为向量形式，选取合适的基底，再通过相应的向量运算去完成(基底法)；当问题中存在坐标或易建坐标系时，可以利用平面向量的坐标表示，实现向量坐标化(坐标法).解题时，要学会灵活运用向量的线性运算，同时要掌握好共线、模等常用知识.

(2)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样就可以将许多几何问题转化为熟知的代数运算，这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题.

(3)向量化简变形的常见方法：

①拆分，有时对向量系数拆分，有时对向量拆分；

②合并，通过向量的加、减运算对向量合并.

类型一　用向量证明平面几何问题]

例1 已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线.

证明　法一　由已知得四边形AECD为正方形，设＝a，＝b.

(1)∵＝－＝a－b，

＝－＝a－b.

∴＝，

∴∥，即DE∥BC.

(2)＝＋＝a－b，

＝＋＝－b＋a.

∴＝，又与有公共点M，所以D，M，B三点共线.

法二　如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，连接MB，MD.

令||＝1，则||＝1，||＝2.

∵CE⊥AB，且AD＝DC，

∴四边形AECD为正方形.

∴可求得各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1).

(1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1), ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1),

∴＝，∴∥，即DE∥BC.

(2)∵M为CE的中点，M，

∴＝(－1，1)－＝，

∴＝(1，0)－＝，

∴＝－，∴∥.

又与有公共点M，

∴D，M，B三点共线.

类型二　向量在三角形中的应用

例2 (1)已知点O是△ABC内部一点，并且满足2＋3＋5＝0，△OAC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则＝(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　A

解析　∵2＋3＋5＝0，

∴2(＋)＝－3(＋).

设AC的中点为M，BC的中点为N，

则2＝－3，

∴MN为△ABC的中位线，且＝，

∴S△OAC＝2S△OMC＝2×S△CMN

＝×

＝S△ABC，即＝.

(2)已知点O，N在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的(　　)

A.重心、垂心    B.外心、垂心

C.外心、重心    D.外心、内心

答案　C

解析　因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心.

类型三　坐标法求线段的长度

例3 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.

(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；

(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(m，n表示).

(1)证明　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(0，m)，B(n，0).

因为D为AB的中点，所以D，

所以||＝，||＝，

所以||＝||，

即CD＝AB.

(2)解　因为E为CD的中点，所以E，

设F(x，0)，则＝，＝(x，－m).

因为A，F，E三点共线，所以＝λ，

即(x，－m)＝λ，

则解得

所以F，所以||＝，

即AF＝.