专题4.6 指数函数与对数函数章末测试（基础卷）-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册） (2份打包)

专题4.6 指数函数与对数函数章末测试（基础卷）

(时间：120分钟，满分：150分)

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ）

A．且 B．且

C．且 D．

【答案】C

【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，

解得且.故选：C.

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（    ）

A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)

【答案】A

【解析】当，即时，，为常数，

此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.

3．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（    ）

A．0 B．1 C．－1 D．log5

【答案】A

【解析】因为.故选：A.

4．（2020·浙江高一课时练习）函数的定义域为（ ）

A．（，1）   B．（，∞）   C．（1，+∞）    D．（，1）∪（1，+∞）

【答案】A

【解析】由解得，所以原函数的定义域为．故选：A

5．（2020·天津南开高二学业考试）已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，.故选:.

6．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题得函数定义域为，

函数或）的增区间为，

函数在定义域内是减函数，在定义域内是减函数，

由复合函数的单调性得的单调递增区间为.故选A

7．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 (    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；

当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；

当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.

故选D

8．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】B

【解析】由题意，，，

则，即，

所以，即普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】对于选项A,因为，而，即A错误；

对于选项B，因为，即B错误；

对于选项C， ，即C正确；

对于选项D， ，即D正确，

故选：CD．

10．（2019·九龙坡�重庆市育才中学高一期中）(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（  ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:

由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.

11．（2020·海南高三其他）若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】由，，得，，则

，，

，

故正确的有：故选：.

12．（2019·山东滕州市第一中学新校高一月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（       ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则.

【答案】ACD

【解析】由题,故.

对A,函数为增函数正确.

对B, 不为偶函数.

对C,当时, 成立.

对D,因为往上凸,故若，则成立.

故选：ACD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．（2020·安徽蚌埠�高三其他（文））已知函数，则_______.

【答案】

【解析】．故答案为：－1

14．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝x3－的零点有______个．

【答案】1

【解析】函数的零点个数等价于解的个数等价于函数与函数的交点个数;画出函数与函数：

由图知函数与函数有1个交点.故函数有1个零点.故答案为：1.

15．（2020·全国高一课时练习）函数的值域为__________________．

【答案】

【解析】函数定义域为R，，函数是增函数，所以值域为

16．（2020·台州市书生中学高二期末）设函数则_______；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是_______．

【答案】    或   

【解析】（1），；

（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，

当时，，，

画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或

故答案为：；或

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）（2020·全国高一课时练习）设，且，求证：

【解析】设，，则，，.

因为，所以，

即.

所以，即.

18．（本小题满分12分）（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.

（1）求常数的值.

（2）解关于的不等式.

【解析】（1）由，得，解得.

（2）由（1）得.

由得，当时，，

解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

19．（本小题满分12分）（2019·陕西临渭�高一期末）已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明在其定义域上的单调性.

【解析】（1）的定义域为实数集，

，

所以是奇函数；

（2），设，

，

，

所以在实数集上增函数.

20．（本小题满分12分）（2020·北京房山�高一期末）已知函数，其中且.

（1）求函数的定义域；

（2）求函数的零点；

（3）比较与的大小.

【解析】（1）由，得，

所以函数的定义域为；

（2）令，即，

则，所以，

所以函数的零点为2；

（3），

，

当时，函数是增函数，所以，即

当时，函数是减函数，所以，即

21．（本小题满分12分）（2019·天水市第一中学高一期中）候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

【解析】解:(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，

即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，

整理得a＋2b＝1.

解方程组得,

(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，

则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270,

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.

22．（本小题满分12分）（2020·浙江高三专题练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.

（1）求a，k的值；

（2）当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．

【解析】

（1）因为，所以，

又a＞0，且a≠1，所以.

（2）f(logax)=f(log2x)=(log2x)2−log2x＋2=(log2x−)2＋.

所以当log2x=，即时，f(logax)有最小值.