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2020年中考数学真题分类汇编07：解直角三角形试卷
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2020年中考数学试题分类汇编之七
解直角三角形
一、 选择题
8．（2020安徽）（4分）如图，中，，点在上，．若，，则的长度为
A． B． C． D．4
【解答】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：．
4．(2020杭州)（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
2．(2020天津)的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案:B
9.（2020河南）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
7(2020苏州）.如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF=,
AB=AF+BF=，
故选：A．
7．（2020贵州黔西南）（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cosα米
解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα=A'CA'O，
∴A′C＝4sinα，
故选：B．
6.（2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A. 米 B. 米 C. 21米 D. 42米
【答案】A
9.（2020重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A. 76.9m B. 82.1m C. 94.8m D. 112.6m
【答案】B
解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在RtDEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在RtADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
9.（2020重庆B卷）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
解析：如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G.易求得EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注意AB+BC=AG+CG.答案D.
8．（2020四川南充）（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC•BD=12×32•BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选：B．
8．（2020浙江温州）（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanα）米
C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+150sinα）米
解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝150，
∴CE＝AD＝1.5，
在△ABE中，∵tanα=BEAE=BE150，
∴BE＝150tanα，
∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），
故选：A．
二、 填空题
13.（2020乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）
【答案】
【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，
故答案为：．
16．(2020山东枣庄)（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 1.5 ．（结果精确到，参考依据：，，
解：，，
，
，
故答案为1.5．
10．（2020贵州遵义）（4分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．2+1 B．2-1 C．2 D．12
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，
∴tan22.5°=ACCD=11+2=2-1，
故选：B．
16．（2020四川自贡）（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 62 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝32（米），
∴DE＝CF＝32（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝62（米），
故答案为62．
15．（2020山东泰安）（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移 10 m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）
解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，
∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，
∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12：5，
∴BEAE=125，
设BE＝12x，则AE＝5x，
由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，
解得，x＝2，
∴AE＝10，BE＝24，
∴FH＝BE＝24，
在Rt△FAH中，tan∠FAH=EHAH，
∴AH=EHtan50°=20，
∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，
∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
三、 解答题
18．（2020安徽）（8分）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，求山高（点，，在同一条竖直线上）．
（参考数据：，，．
【解答】解：由题意，在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
米，
（米，
答：山高为75米．
18．（2020成都）（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值．
（结果精确到1米；参考数据：，，
【解答】解：过点作于点，
根据题意可得四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
在中，，
，
（米．
答：观景台的高的值约为214米．
20．（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
22．(2020天津)如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，．测得，，．
根据测得的数据，求的长（结果取整数）．
参考数据：，，．
解：如图，过点作，垂足为．
根据题意，，，．
在中，
．
在中，，
在中，，
，
又，
，可得
答：的长约为．
18（2020河南）.位于河南省登封市境内元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，
求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据： )；
“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值
【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，
设AD的长为xm，
∵AE⊥ME，BC∥MN，
∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，
由题易得，四边形BMNC为矩形，
∵AE⊥ME，
∴四边形CNED为矩形，
∴DE=CN=BM=，
在Rt△ABD中，，
解得：，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，
答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．
（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，
减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
20.（2020江西） 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动.（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度.
（参考数据：，,,
,）
【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=，
∴
作AM⊥DE于点M，CN⊥AM于点N.∴MN=CH=，∠NCD=∠CDE=60°
∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.
∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.
（2）解法一：
∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD.
∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB==0.5.
∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
解法二：
当点B落在DE上时，如图3
在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）
∴tan∠CDB==0.5.∴∠CDB≈26.6
∴∠=∠-∠BDC=60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
23．（2020南京）（8分）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．
解：如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为．
21.（2020贵阳）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
【答案】（1）4.2米；（2）14米
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
22.（2020湖北黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
解：（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
18（2020山东青岛）.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据:，，，，，）
【答案】4.3海里
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
【详解】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE∙tan22°=5×=2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）．
20．（2020新疆生产建设兵团）（9分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
解：在Rt△BDC中，
∵tan∠DBC=CDBC，
∴1.60=CDBC，
∴BC=CD1.60，
在Rt△ACD中，
∵tan∠DAC=CDAC，
∴0.40=CDAC，
∴AC=CD0.40，
∴AB＝AC﹣BC=CD0.40-CD0.60=30，
解得：CD＝16（米），
答：建筑物CD的高度为16米．
22.(2020甘肃定西）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图
如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上.
的度数
的度数
的长度
仪器（）的高度
测量数据
31°
42°
5米
1.5米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据：，，，，，）
.解：延长交于点，设的长为.
在中，
∵，∴.
在中，
∵，∴.
∵，
∴.
∴，解得.
∴
答：“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度大约是10.5米.
22．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40海里．
20．（2020吉林）（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）
解：设AB与DE交于点F，如图所示：
由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，
∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），
∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；
答：塔AB的高度约27m．
19．（2020内蒙古呼和浩特）（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
解：（1）如图，由题意得：
∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示： ∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38， ∴AE＝BE＝AB＝，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝，
∴AC＝AE+CE＝，
∴A，C两港之间的距离为（）km．
22．（2020江苏泰州）（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，
解：如图，根据题意得，，，，，
在中，，
解得：，
在中，，
解得：，
，
答：两次观测期间龙舟前进了．
19．（2020四川遂宁）（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan67°≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
22．（2020湖南岳阳）（8分）（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
∴AD＝CD ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CDBD，
∴CD7-CD≈0.40，∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝22≈2.83， BC=CDsin22°≈20.37≈5.41，
∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
23．（2020广西南宁）（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
22．（7分）（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41）
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°=CFAC，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，
在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，
∴BC=2CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°=CEAC，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，
sinC＝sin70°=AEAC，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
19．（2020贵州遵义）（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【解答】解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6m．
BE=AEtan18°≈1.875m，CE=AEtan60°≈0.374m．
所以BC＝BE﹣CE＝1.528m．
所以MN＝BC≈1.5m．
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5m．
21．（10分）（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.73）
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20×12=10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20×32=103≈10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3，
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，
设快艇的速度为v海里/小时，则v=19.72=9.85（海里/小时）．
答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．
23．（9分）（2020•烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 176 厘米，女性应采用 164 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
0.1
78.7
0.2
84.3
1.7
5.7
3.5
11.3
【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米．
故答案为176，164．
（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意FC＝10cm，
∴tan∠FAC=FCAF=5010=5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°
21．（2020山西）（10分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
解：（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，
由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝28°，AB＝60cm，
∵sin∠ABM＝，
∴AM＝AB•sin∠ABM＝60•sin28°≈60×0.47＝28.2，
∴MN＝AM+DN+AD＝2AM+AD＝28.2×2+10＝66.4，
∴BC与EF之间的距离为66.4cm；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，
根据题意得，，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，
当x＝30时，2x＝60，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．
24．（2020青海）（9分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）
解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．
在直角△APC中，∠A＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．
21．（2020四川眉山）（10分）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝＝，则DC＝x米．
∴CE＝（x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．
解得x＝10+40．
答：小山BC的高度为（10+40）米．
20．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：2≈1.414，3≈1.732，结果保留整数）
解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，tan30°=CDCA=CDAB+CB=x20+x=33，
解得x＝103+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
19．（2020浙江宁波）（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm．
（2）在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
20．（2020海南）（10分）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°．
（1）填空：∠A＝ 30 度，∠B＝ 45 度；
（2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：（1）∵点P处测得点A的俯角为30°，点Q处测得点B的俯角为45°．
∴∠A＝30度，∠B＝45度；
故答案为：30，45；
（2）如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，
则PM＝QN＝450，MN＝PQ＝1500，
在Rt△APM中，∵tanA＝，
∴AM＝＝＝450，
在Rt△QNB中，∵tanB＝，
∴NB＝＝＝450，
∴AB＝AM+MN+NB＝450+1500+450≈2729（米）．
答：隧道AB的长度约为2729米．
21．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为26米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=324-24=103；
（2）∵∠α＝60°，
∴∠AMN＝30°，
∴AM＝2MN，
∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，
∴AN2+300＝4AN2
∴AN＝10，
∴AM＝20，
∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．
综上所述，长度增加了2米．
解直角三角形
一、 选择题
8．（2020安徽）（4分）如图，中，，点在上，．若，，则的长度为
A． B． C． D．4
【解答】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：．
4．(2020杭州)（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
2．(2020天津)的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案:B
9.（2020河南）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
7(2020苏州）.如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF=,
AB=AF+BF=，
故选：A．
7．（2020贵州黔西南）（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cosα米
解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα=A'CA'O，
∴A′C＝4sinα，
故选：B．
6.（2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A. 米 B. 米 C. 21米 D. 42米
【答案】A
9.（2020重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A. 76.9m B. 82.1m C. 94.8m D. 112.6m
【答案】B
解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在RtDEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在RtADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
9.（2020重庆B卷）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
解析：如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G.易求得EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注意AB+BC=AG+CG.答案D.
8．（2020四川南充）（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC•BD=12×32•BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选：B．
8．（2020浙江温州）（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanα）米
C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+150sinα）米
解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝150，
∴CE＝AD＝1.5，
在△ABE中，∵tanα=BEAE=BE150，
∴BE＝150tanα，
∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），
故选：A．
二、 填空题
13.（2020乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）
【答案】
【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，
故答案为：．
16．(2020山东枣庄)（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 1.5 ．（结果精确到，参考依据：，，
解：，，
，
，
故答案为1.5．
10．（2020贵州遵义）（4分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．2+1 B．2-1 C．2 D．12
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，
∴tan22.5°=ACCD=11+2=2-1，
故选：B．
16．（2020四川自贡）（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 62 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝32（米），
∴DE＝CF＝32（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝62（米），
故答案为62．
15．（2020山东泰安）（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移 10 m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）
解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，
∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，
∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12：5，
∴BEAE=125，
设BE＝12x，则AE＝5x，
由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，
解得，x＝2，
∴AE＝10，BE＝24，
∴FH＝BE＝24，
在Rt△FAH中，tan∠FAH=EHAH，
∴AH=EHtan50°=20，
∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，
∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
三、 解答题
18．（2020安徽）（8分）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，求山高（点，，在同一条竖直线上）．
（参考数据：，，．
【解答】解：由题意，在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
米，
（米，
答：山高为75米．
18．（2020成都）（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值．
（结果精确到1米；参考数据：，，
【解答】解：过点作于点，
根据题意可得四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
在中，，
，
（米．
答：观景台的高的值约为214米．
20．（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
22．(2020天津)如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，．测得，，．
根据测得的数据，求的长（结果取整数）．
参考数据：，，．
解：如图，过点作，垂足为．
根据题意，，，．
在中，
．
在中，，
在中，，
，
又，
，可得
答：的长约为．
18（2020河南）.位于河南省登封市境内元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，
求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据： )；
“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值
【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，
设AD的长为xm，
∵AE⊥ME，BC∥MN，
∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，
由题易得，四边形BMNC为矩形，
∵AE⊥ME，
∴四边形CNED为矩形，
∴DE=CN=BM=，
在Rt△ABD中，，
解得：，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，
答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．
（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，
减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
20.（2020江西） 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动.（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度.
（参考数据：，,,
,）
【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=，
∴
作AM⊥DE于点M，CN⊥AM于点N.∴MN=CH=，∠NCD=∠CDE=60°
∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.
∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.
（2）解法一：
∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD.
∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB==0.5.
∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
解法二：
当点B落在DE上时，如图3
在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）
∴tan∠CDB==0.5.∴∠CDB≈26.6
∴∠=∠-∠BDC=60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
23．（2020南京）（8分）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．
解：如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为．
21.（2020贵阳）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
【答案】（1）4.2米；（2）14米
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
22.（2020湖北黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
解：（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
18（2020山东青岛）.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据:，，，，，）
【答案】4.3海里
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
【详解】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE∙tan22°=5×=2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）．
20．（2020新疆生产建设兵团）（9分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
解：在Rt△BDC中，
∵tan∠DBC=CDBC，
∴1.60=CDBC，
∴BC=CD1.60，
在Rt△ACD中，
∵tan∠DAC=CDAC，
∴0.40=CDAC，
∴AC=CD0.40，
∴AB＝AC﹣BC=CD0.40-CD0.60=30，
解得：CD＝16（米），
答：建筑物CD的高度为16米．
22.(2020甘肃定西）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图
如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上.
的度数
的度数
的长度
仪器（）的高度
测量数据
31°
42°
5米
1.5米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据：，，，，，）
.解：延长交于点，设的长为.
在中，
∵，∴.
在中，
∵，∴.
∵，
∴.
∴，解得.
∴
答：“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度大约是10.5米.
22．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40海里．
20．（2020吉林）（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）
解：设AB与DE交于点F，如图所示：
由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，
∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），
∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；
答：塔AB的高度约27m．
19．（2020内蒙古呼和浩特）（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
解：（1）如图，由题意得：
∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示： ∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38， ∴AE＝BE＝AB＝，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝，
∴AC＝AE+CE＝，
∴A，C两港之间的距离为（）km．
22．（2020江苏泰州）（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，
解：如图，根据题意得，，，，，
在中，，
解得：，
在中，，
解得：，
，
答：两次观测期间龙舟前进了．
19．（2020四川遂宁）（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan67°≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
22．（2020湖南岳阳）（8分）（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
∴AD＝CD ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CDBD，
∴CD7-CD≈0.40，∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝22≈2.83， BC=CDsin22°≈20.37≈5.41，
∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
23．（2020广西南宁）（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
22．（7分）（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41）
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°=CFAC，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，
在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，
∴BC=2CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°=CEAC，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，
sinC＝sin70°=AEAC，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
19．（2020贵州遵义）（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【解答】解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6m．
BE=AEtan18°≈1.875m，CE=AEtan60°≈0.374m．
所以BC＝BE﹣CE＝1.528m．
所以MN＝BC≈1.5m．
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5m．
21．（10分）（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.73）
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20×12=10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20×32=103≈10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3，
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，
设快艇的速度为v海里/小时，则v=19.72=9.85（海里/小时）．
答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．
23．（9分）（2020•烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 176 厘米，女性应采用 164 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
0.1
78.7
0.2
84.3
1.7
5.7
3.5
11.3
【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米．
故答案为176，164．
（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意FC＝10cm，
∴tan∠FAC=FCAF=5010=5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°
21．（2020山西）（10分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
解：（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，
由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝28°，AB＝60cm，
∵sin∠ABM＝，
∴AM＝AB•sin∠ABM＝60•sin28°≈60×0.47＝28.2，
∴MN＝AM+DN+AD＝2AM+AD＝28.2×2+10＝66.4，
∴BC与EF之间的距离为66.4cm；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，
根据题意得，，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，
当x＝30时，2x＝60，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．
24．（2020青海）（9分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）
解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．
在直角△APC中，∠A＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．
21．（2020四川眉山）（10分）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝＝，则DC＝x米．
∴CE＝（x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．
解得x＝10+40．
答：小山BC的高度为（10+40）米．
20．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：2≈1.414，3≈1.732，结果保留整数）
解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，tan30°=CDCA=CDAB+CB=x20+x=33，
解得x＝103+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
19．（2020浙江宁波）（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm．
（2）在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
20．（2020海南）（10分）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°．
（1）填空：∠A＝ 30 度，∠B＝ 45 度；
（2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：（1）∵点P处测得点A的俯角为30°，点Q处测得点B的俯角为45°．
∴∠A＝30度，∠B＝45度；
故答案为：30，45；
（2）如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，
则PM＝QN＝450，MN＝PQ＝1500，
在Rt△APM中，∵tanA＝，
∴AM＝＝＝450，
在Rt△QNB中，∵tanB＝，
∴NB＝＝＝450，
∴AB＝AM+MN+NB＝450+1500+450≈2729（米）．
答：隧道AB的长度约为2729米．
21．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为26米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=324-24=103；
（2）∵∠α＝60°，
∴∠AMN＝30°，
∴AM＝2MN，
∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，
∴AN2+300＝4AN2
∴AN＝10，
∴AM＝20，
∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．
综上所述，长度增加了2米．
