课时训练22　锐角三角函数

课时训练(二十二)　锐角三角函数

(限时:20分钟)

|夯实基础|

1.[2017·天津] cos60°的值等于 (　　)

A.                     B.1                 C.                         D.

2.[2017·湖州] 如图K22-1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是 (　　)

图K22-1

A.                        B.                   C.                          D.

3.[2018·益阳] 如图K22-2,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了 (　　)

图K22-2

A.300sinα米                             B.300cosα米

C.300tanα米                             D.米

4.[2018·常州] 某数学研究性学习小组制作了如图K22-3的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O转,从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是              (　　)

图K22-3

A.                          B.                   C.                         D.

5.[2018·日照] 如图K22-4,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于 (　　)

图K22-4

A.                      B.                         C.2                       D.

6.[2018·荆州] 如图K22-5,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点,当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是              (　　)

图K22-5

A.2                         B.3                            C.4                        D.5

7.[2018·天水] 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为　　　　. 

8.如图K22-6,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值是　　　　. 

图K22-6

9.[2018·枣庄] 如图K22-7,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度约为　　　　米.(结果精确到0.1米) 

【参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601】

图K22-7

10.如图K22-8,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD=　　　　. 

图K22-8

11.计算:(1)+-1-(3-π)0-;

(2)6tan230°-sin60°-2sin45°.

12.如图K22-9,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4.求BC的长(结果保留根号).

图K22-9

13.如图K22-10,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=.求:

(1)BC的长;

(2)sin∠ADC的值.

图K22-10

14.如图K22-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:

(1)线段BE的长;

(2)∠ECB的正切值.

图K22-11

|拓展提升|

15.[2017·福建] 小明在某次作业中得到如下结果:

sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,

sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,

sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,

sin245°+sin245°=2+2=1.

据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.

(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;

(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.

参考答案

1.D

2.A　[解析] 在Rt△ABC中,cosB==.

3.A　[解析] ∵sinα=,∴BO=ABsinα=300sinα米,故选择A.

4.D　[解析] 如图,连接EF,由题意可知OF=0.8,OE=1,

∵∠OEF+∠EOF=∠EOF+∠BOF,∴∠OEF=∠AOB,

∵OE是直径,∴∠EFO=90°,

∴sin∠AOB==,故选D.

5.D　[解析] 如图,在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,

∴tan∠BAC==.

∵∠BED=∠BAD,

∴tan∠BED=.故选D.

6.B　[解析] 如图所示,当点D到弦OB的距离最大时,DE⊥OB于E点,且D,E,P三点共线.连接AB,由题意可知AB为☉P的直径,∵A(8,0),∴OA=8,∵B(0,6),∴OB=6,∴OE=BE=OB=3,在Rt△AOB中,AB==10,∴BP=AB=×10=5,在Rt△PEB中,PE==4,∴DE=EP+DP=4+5=9,∴tan∠DOB===3,故选B.

7.　[解析] 在Rt△ABC中,sinA=,令BC=a=12k,AB=c=13k,

根据勾股定理,得AC=b=5k.

∴tanB==.

8.　[解析] 作AB⊥x轴于B,

∵点A(3,t)在第一象限,

∴AB=t,OB=3,又∵tanα==,∴t=.

9.6.2　[解析] 运用锐角三角函数:=sin∠BAC,即=sin31°,BC≈12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.

10.2　[解析] 如图,连接BC,

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,

∵AB=6,AC=2,

∴BC===4,

又∵∠D=∠A,

∴tanD=tanA===2.

故答案为2.

11.解:(1)原式=2+2-1-

=2+2-1+1-

=+2.

(2)原式=6×2-×-2×=-.

12.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°,∴BD=BC.

∵∠ABC=90°,∠A=30°,

∴AB=BC,∴AD+BD=BC,

即AD+BC=BC.

∵AD=4,∴4+BC=BC,

解得BC=2+2.

13.[解析] (1)过点A作AE⊥BC于点E,根据cosC=,求出∠C=45°,求出AE=CE=1,根据tanB=,求出BE,进而求出BC;

(2)根据AD是△ABC的中线,求出CD的长,得到DE的长,进而得出∠ADC的度数,求出正弦值.

解:(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E,

∵cosC=,∴∠C=45°,

在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=1,

∴AE=CE=1,

在Rt△ABE中,tanB=,

即=,∴BE=3AE=3,

∴BC=BE+CE=4.

(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,

∴DE=CD-CE=1,

∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,

∴sin∠ADC=.

14.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2,

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,

∴∠A=∠B=45°,AB===3,

∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,

∴AE=AD·cos45°=2×=,

∴BE=AB-AE=3-=2,

即线段BE的长为2.

(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示.

∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,

∴EH=BH=BE·cos45°=2×=2,∵BC=3,∴CH=1,

在Rt△CHE中,tan∠ECB==2,

即∠ECB的正切值为2.

15.解:(1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°=2+2=+=1.

所以sin2α+sin2(90°-α)=1成立.

(2)小明的猜想成立.证明如下:

如图,在△ABC中,∠C=90°,

设∠A=α,则∠B=90°-α.

sin2α+sin2(90°-α)=2+2===1.