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2020年中考数学真题分类汇编05：一次函数与反比例函数试卷
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2020年中考数学试题分类汇编之五
一次函数与反比函数
一、 选择题
7．（2020安徽）（4分）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是
A． B． C． D．
【解答】解：、当点的坐标为时，，
解得：，
随的增大而增大，选项不符合题意；
、当点的坐标为时，，
解得：，
随的增大而减小，选项符合题意；
、当点的坐标为时，，
解得：，选项不符合题意；
、当点的坐标为时，，
解得：，
随的增大而增大，选项不符合题意．
故选：．
6．（2020广州）一次函数的图象过点，，，则（ * ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
7．（2020陕西）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据方程或方程组得到A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
10．(2020天津)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
6.（2020河南）若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
10.(2020苏州）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
6.（2020乐山）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，
解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
6．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），选：A．
10.（2020乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
9．（2020贵州黔西南）（4分）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y=-33x B．y=-3x C．y=-3x D．y=3x
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∴点C的坐标为（﹣1，3），
∵顶点C在反比例函数y═kx的图象上，
∴3=k-1，得k=-3，
即y=-3x，
故选：B．
8.（2020无锡）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
解：由题意，把B（，m）代入，得m=
∴B（，）
∵点B为反比例函数与一次函数的交点，
∴k=x·y
∴k=×=．
故选：C．
5.（2020长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
7.（2020湖北武汉）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．
故选：B．
12（2020重庆A卷）.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
4．（2020上海）（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
选：D．
12.（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx (k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
A.163 B.8 C.10 D.323
解析：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4,83).答案D.
9．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0， 综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；
②|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故②正确；
③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；
④∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
7．（2020宁夏）（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
选：D．
6．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，，是等边三角形，
点，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，点的坐标为，，
点在反比例函数的图象上，， 故选：．
12．（2020广西南宁）（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y＝x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
∵C、D两点在交双曲线y＝（x＞0）上，则CE＝，DF＝．
∴BD＝BF﹣DF＝b﹣，AC＝﹣a．
又∵AC＝BD， ∴﹣a＝（b﹣），
两边平方得：a2+﹣2＝3（b2+﹣2），即a2+＝3（b2+）﹣4，
在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+，同理OC2＝a2+，
∴3OD2﹣OC2＝3（b2+）﹣（a2+）＝4．
故选：C．
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
解：
由题意得，
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
11．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【解答】解：
∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQS△AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ＝1，
∵1S△AOB=（ANAO）2=19， ∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故选：D．
6．（2020山东滨州）（3分）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为
A．4 B．6 C．8 D．12
解：过点作轴，垂足为，
点在双曲线上，四边形的面积为4，
点在双曲线线上，且轴，四边形的面积为12，
矩形的面积为．
故选：．
12．（3分）（2020•烟台）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3=kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1
C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
所以若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
7．（2020山西）（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
选：A．
10．（3分）（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
选：D．
9．（2020海南）（3分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（ ）
A．（﹣1，8） B．（﹣2，4） C．（1，7） D．（2，4）
选：D．
二、 填空题
8.（2020北京）有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系
【解析】因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0，故选B
13.（2020北京）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 .
【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴
13．（5分）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴．垂足分别为点，．当矩形与的面积相等时，的值为 2 ．
【解答】解：一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
则的面积，而矩形的面积为，
则，解得：（舍去）或2，
故答案为2．
12．（2020成都）（4分）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为 ．
【解答】解：一次函数中，函数值随自变量的增大而增大，
，解得．
故答案为：．
24．（2020成都）（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为 ，或， ．
【解答】解：联立与并解得：，故点的坐标为，，
联立与同理可得：点，，
这两条直线互相垂直，则，故点，，则点，，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
16.（2020福建）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【详解】解：如图， 反比例函数图象关于原点成中心对称，
四边形是平行四边形，故①正确，
如图，若四边形是菱形，
则
显然：＜
所以四边形不可能是菱形，故②错误，
如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称，
当垂直于对称轴时，
四边形是矩形，故③错误，
四边形不可能是菱形，
四边形不可能是正方形，故④正确，
故答案：①④．
13．（2020陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ﹣1 ．
解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），
∴3×2＝﹣6m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2020哈尔滨）（3分）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
14． (2020天津)将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．
答案:
19.（2020河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则_________；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
【答案】 (1). －16 (2). 5 (3). 7
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
12.(2020苏州）若一次函数的图像与轴交于点，则__________．
【详解】解：∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0），
∴3m-6=0，
解得m=2.
故答案为:2．
16.（2020乐山）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】 (1). (2). 或
【详解】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．
故综上：或．
13．（2020南京）（2分）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
解：在一次函数中，令，则，
直线经过点，
将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：，
将点代入得，，
解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
12.（2020贵阳）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．
解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，
则四边形的面积为：3，
故答案为：3．
15．（2020贵州黔西南）（3分）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是 y＝﹣2x ．
解：∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝﹣x+1上，
∴2＝﹣x+1，得x＝﹣1，
∴点跑的坐标为（﹣1，2），
设正比例函数解析式为y＝kx，
则2＝﹣k，得k＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
11.（2020山东青岛）如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________．
解： 的面积为6．
＞，
把代入
经检验：符合题意．
故答案为：
16．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，则k的值为 2 ．
解：如图，∵点C坐标为（2，﹣2），
∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，
∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2，
故答案为2．
17.（2020重庆A卷）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．
【答案】
解：设乙货车行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：．
16．（2020上海）（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
8k+b=96020k+b=1800，解得：k=70b=400，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故答案为：350．
14．（2020贵州遵义）（4分）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 x＜4 ．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．
故答案为x＜4．
8．（2020上海）（4分）已知f（x）=2x-1，那么f（3）的值是 1 ．
【解答】解：∵f（x）=2x-1，
∴f（3）=23-1=1，
故答案为：1．
9．（2020上海）（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
12．（2020辽宁抚顺）（3分）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ 8 ．
17．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．
解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，∴CE＝BE，
∵OC＝OB，∴OC＝CE，
∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，
∴＝（）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，
∴S△COD＝S△BCD＝，∴S△CEA＝4×＝1，
∵OC＝CE，∴S△AOC＝S△CEA＝，
∴S△AOE＝+1＝，
∵S△AOE＝k（k＞0），∴k＝3，
故答案为3．
16．（2020江苏泰州）（3分）如图，点在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为 3 ．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，且横坐标为1，则点，
则点、的坐标分别为，，，
设直线的表达式为：，将点、的坐标代入上式得，解得，
故直线与轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
18．（3分）（2020•玉林）已知：函数y1＝|x|与函数y2=1|x|的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
④函数y＝y1+y2的最小值是2．
则所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【解答】解：补全函数图象如图：
①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；故①错误；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；故②正确；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；故③正确；
④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，故④正确．
综上所述，正确的结论是②③④．
故答案为②③④．
12．（3分）（2020•常德）如图，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．
【解答】解：∵AB⊥OB，
∴S△AOB=|k|2=6，∴k＝±12，
∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，
故答案为﹣12．
16．（3分）（2020•荆门）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点G，则k的值为 -12 ．
解：∵B（﹣2，1），∴AB＝1，OA＝2，
∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，
∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，
∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，
∴△OCG∽△OED，
∴CGDE=OCOE，即CG1=12，解得CG=12，
∴G（-12，1），
把G（-12，1）代入y=kx得k=-12×1=-12．
故答案为-12．
18．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．
【解答】解：设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，
∴第四个三角形的周长为124-123，
∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，
故答案为43，60．
15．（2020山东滨州）（5分）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为 ．
4．（2020云南）（3分）已知一个反比例函数的图象经过点（3，1），若该反比例函数的图象也经过点（﹣1，m），则m＝ ﹣3 ．
16．（2020浙江宁波）（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，ba的值为 -13 ．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴12a-12b＝12，∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，∴S△AOKS△BKO=12a-12b=13，
∴ab=-13．故答案为24，-13．
15．（2020浙江温州）（5分）点P，Q，R在反比例函数y=kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的
值为 275 ．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（k3a，3a），Q（k2a，2a），R（ka，a），
∴CP=3k3a，DQ=k2a，ER=ka，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF=23GA，
∴S1=23S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3=815，S1=545，S2=275，
故答案为275．
17．（4分）（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1=kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2=2x（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 k﹣1 ．（结果用含k的式子表示）
【解答】解：∵D是反比例函数y2=2x(x＞0)图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为12×2=1．
∵点B在函数y1=kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k﹣1．
故答案为：k﹣1．
三、 解答题
22.（2020北京）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
【解析】（1）∵一次函数由平移得到，∴
将点（1,2）代入可得，∴一次函数的解析式为.
（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：
临界值为当时，两条直线都过点（1,2），∴当时.都大于
.又∵，∴可取值2，即，∴的取值范围为
19．（2020成都）（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）直线过点，
，
过点的直线与轴、轴分别交于，两点，
，，，
的面积为的面积的2倍，
，
，
当时，，
当时，，
直线的函数表达式为：，．
26．（2020成都）（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元件）
12
13
14
15
16
（件
1200
1100
1000
900
800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）与满足一次函数的关系，
设，
将，；，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）设线上和线下月利润总和为元，
则，
当为19元件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
21．（2020广州）（本小题满分12分）
如图9，平面直角坐标系xOy中，的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求的周长．
【详解过程】解：（1）∵函数的图象经过点A（3，4）
∴＝＝3×4＝12.∴。
∵的对角线交点M在反比例函数图像上
∴点M是AC与BD的中点，
∴由中点坐标公式得M点的纵坐标为2.
∴将M点纵坐标2即代入中，得
∴M点坐标为（6，2）.
（2） ∵在中，A点坐标为(3,4)，对角线交点M坐标为(6,2)
∴由中点坐标公式可得C点坐标为（9，0）,B(12,4)
∴OC=9。
过A作AE⊥OC于E，∴AE=4，0E=3
在RT△AOE中，由勾股定理，得==5。
∴的周长=2（AO+OC）=2×（5+9）=28。
∴的周长是28。
20.（2020福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】
（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
21．（2020陕西）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
则：20＝15k，
解得k＝，
∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
则：，
解得，
∴y＝，
∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
20．(2020杭州)（10分）设函数y1=kx，y2=-kx（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由反比例函数的性质可得k2=a，①；-k2=a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为k2=a，①；
当x＝2时，y2最小值为-k2=a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1=km0＜0，
当x＝m0+1时，q＝y1=km0+1＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
24.（2020河北）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
－1
0
－2
1
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【详解】（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；
（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
19（2020河南）.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．
【答案】（1）k1=15，b=30；k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）打折前的每次健身费用为25元，k2=20；
（3）方案一所需费用更少，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；
（2）设打折前每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值；
（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：，
解得：，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）由（1）（2）得：，，
当小华健身次即x=8时，
，，
∵150<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少．
22.（2020河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．
【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；
【解析】
【分析】
（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．
【详解】解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
18.（2020江西） 如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数.
【解析】：（1）∵AD⊥轴，∠AOD=45°，OA=，∴.∴A（2,2）
∵点A在反比例函数图象上，∴，∴
（2）∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，∵AB=2OA，∴AO=AE.
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB.∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，∴BC∥轴.
∴∠ECB=∠EOD，∴∠AOE=2∠EOD.∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=
26.(2020苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润（元）与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
日期
销售记录
6月1日
库存，成本价8元/，售价10元/（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日
补充进货，成本价8.5元/．
6月30日
水果全部售完，一共获利1200元．
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）400元；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；
（2）设点坐标为，根据题意列出方程计算即可求得，再利用待定系数法即可求得线段所在直线对应的函数表达式．销售量
【详解】解：（1）（元）．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
（2）设点坐标为．
根据题意，得，
解这个方程，得．
∴点坐标为．
设线段所在直线的函数表达式为，
∵两点坐标分别为，，
∴
解这个方程组，得．
∴线段所在直线的函数表达式为．
21.（2020乐山）如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．
解：（1）将点代入，得，即，
将代入，得，即，
设直线的解析式为，
将、代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）∵、，
∴，
∵轴，
∴BC=4，
∵，
∴．
23.（2020乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿 车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．
由题意得：．
解得 ，
答：租用一辆轿车的租金为元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；
②若只租用轿车，∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，
∴，
∵，∴，
∴，且为整数，
∵随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，∴，
∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，
此时所付租金最少，为元．
20.（2020四川绵阳）（本题满分12分）
4月20日是“世界读书日”。甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动。甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折。
（1） 以（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求关于的函数解析式。
（2） “世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
【解析】本题考查列一次函数关系式和比较两个函数值。
解：（1）；
（2）当元时，显然.即，当购书标价总额不超过100元时，选择甲书店购书更省钱。
当元时，若，解得：。选择乙书店更优惠。
若，解得：，甲、乙书店任意选择都一样。
若，解得：，选择甲书店更优惠。
综上所述：当购书标价小于200元时，选择甲书店更优惠；
当购书标价等于200元时，选择甲书店或乙书店优惠一样；
当购书标价大于200元时，选择乙书店更优惠。
23.（2020四川绵阳）（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数在图像与反比例函数的图像在第二象限交于点A(-3,),B(,2)两点。
（1） 当=1时，求一次函数的解析式。
（2） 若点E在轴上，满足∠AEB=90°，且AE=2-,求反比例函数的解析式。
【解析】解：（1）当m=1时，A点坐标为A(-3,1)
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∴2n=-3, .即：B（，2）
设过A(-3,1)、B(,2)的直线为：
23（2）解答图
得：，解得：
∴一次函数的解析式为：。
（2）∵A(-3,),B(,2)两点在反比例函数的图像上
∴=-3，=2
即：=，=,=.
如图，设直线AB交轴于点C，分别过A、B作AD⊥轴,BF⊥轴,AH⊥BF。
∴AD=,BF=2,AH=3+,BH=AE=2-,EF=
∴△ABH≌△BAE
∴BE=AH=3+，∠BAH=∠ABE=∠BCF
∴CE=BE=3+,CF=CE+EF=3++.
∴,
∴,即：=。
将=代入上式，得：，解得：=。
∴=-3=-3×=。
∴反比例函数的解析式为：。
19.（2020贵阳）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．
【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一）
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，
∴当时，，
∴其中一个交点是．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵一次函数的图象向下平移2个单位，
∴平移后的表达式是．
联立及，可得一元二次方程，
解得，．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为
（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），
∵经过点，则b=5，
∴y=ax+5，
联立y=ax+5以及可得：，
若一次函数图象与反比例函数图象无交点，
则，解得：，
∴（答案不唯一）．
23.（2020湖北黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求点C的坐标．
解：（1）过点B作轴于点M，则
在中．
设，则．
又．
．
又
，
∴点B的坐标是
∴反比例的解析式为．
（2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：．
又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中，
．
．
∴直线AB的解析式为：．
令，则．
．
令，解得．
经检验都是原方程的解．
又．
．
．
．
．
经检验，是原方程的解．
∴点C的坐标为．
20.（2020山东青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
22．（2020齐齐哈尔）（（10分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲车改变速度前的速度是 100 km/h，乙车行驶 10 h到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有 100 km；出发 2 h时，甲、乙两车第一次相距40km．
【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500出5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），
故答案为：100；10；
（2）∵乙车速度为80km/h，
∴甲车到达绥芬河的时间为：5+800-50080=354(h)，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将（5，500）和（354，800）代入得：5k+b=500354k+b=800，
解得k=80b=100，
∴y＝80x+100，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（5≤x≤354）；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×354=100（km），
40÷（100﹣80）＝2（h），
即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．
故答案为：100；2．
22.（2020重庆A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；( )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；( )
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；( )
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【答案】（1），；（2）①× ②√ ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
解：（1）当x=-3时，，
当x=3时，，
函数图象如下：
（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；
故答案为：× ，
②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；
故答案为：√ ，
③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：√．
（3），
时，
得，，，
故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
23.（2020重庆B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质.
x
⋯
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
-23
a
-2
-4
b
-4
-2
-1211
-23
⋯
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= .
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用
“√”作答，错误的用“×”作答)：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2<-23x-103的解集.
解：（1）a=-1211，b=-6.
所画图象，如图所示.
（2）①√；②√；③×.
（3）x<-4或-2
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加209a%，求a的值.
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
y=x+100 24x+24y=21600，解得x=400y=500.
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：24×4001+a%+241+a%×5001+2a%=21600(1+209a%).
令a%=m，则方程化为：24×4001+m+241+m×5001+2m=21600(1+209m).
整理得10m2-m=0，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，即a的值为10.
21．（2020四川南充）（10分）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，
∴a＝4，A（4，8），
∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，
∴BD＝1，即D（1，8），
∵点D在y=kx上，
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）由y=2xy=8x，解得x=2y=4或x=-2y=-4（舍弃），
∴C（2，4），
∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC=12×4×8-12×4×3＝10．
23．（2020四川南充）（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=-14，b=19，
∴z=-14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)z=-14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（-14x+19﹣10）（5x+40）
=-54x2+35x+360
=-54（x﹣14）2+605，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
23．（2020辽宁抚顺）（12分）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；
（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
21．（2020吉林）（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），
可得k＝xy＝2×4＝8， ∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数y＝的解析式为y＝，
∵D为OC中点，OD＝2， ∴OC＝4，
∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝， 可得y＝2，
∴点B的坐标为（4，2），
∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．
23．（2020吉林）（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为 3 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 0.5 L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），
故答案为：3，0.5；
（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，
， 解得，，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；
（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，
当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．
20．（2020内蒙古呼和浩特）（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y1
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
解：（1）根据表格中数据发现：
y1和x的和为10， ∴y1＝10﹣x，
且当x＝0时，y1＝10，
令y1＝0，x＝10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图象上，
∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM
＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）＝30，
化简得：n﹣m＝6， 联立，得：x2﹣10x+k＝0，
∴m+n＝10，mn＝k，
∴n﹣m＝，
则，解得：k＝16，
∴反比例函数解析式为：，
解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；
当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；
当a＝2或8时，y2＝y1．
25．（2020黑龙江龙东）（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【解答】解：（1）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的解析式为；
（2）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为；
设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为，
解方程组得，
同理可得，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间，；
（3），
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为．
25．（2020黑龙江牡丹江）（8分）在一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地停留0.5小时后，按原路原速返回地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达地．两车距各自出发地的路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是 60 千米1时，，两地的路程为 千米；
（2）求乙车从地返回地的过程中，（千米）与（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
，
甲车的行驶速度是：千米时，
的纵坐标为360，
，两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）甲车比乙车晚1.5小时到达地，
点，
乙的速度为千米小时，
则，
，，
设表达式为，将和代入，
，解得：，
（千米）与（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到地之前时，
，即，
解得：，
②小时，小时，
甲乙同时到达地，
当乙在地停留时，
小时；
③当乙车从地开始往回走，追上甲车之前，
小时；
④当乙车追上甲车并超过时，
小时；
⑤当乙车回到地时，甲车距离地15千米时，
小时．
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时．
28．（2020黑龙江牡丹江）（10分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点，的坐标；
（2）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交直线于点．若是的中点，，反比例函数图象的一支经过点，求的值；
（3）在（2）的条件下，过点作，垂足为，点在直线上，点在直线上．坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）线段 的长是方程 的一个根，
解得：或（舍，而点在轴正半轴，
，
，
，
（2），
，
设直线的表达式为，将点和的坐标代入，
得：，解得：，
的表达式为：，
点是的中点，
点的横坐标为，代入中，，
则，
反比例函数经过点，
则；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形中，
和点重合，
，
此时；
在四边形中，点和重合，
可知在直线上，
联立：，
解得：，
，
，
同理可得：，，．
故存在点使以，，，为顶点的四边形是正方形，
点的坐标为，，，，．
24．（2020江苏连云港）（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1） 6 ，点的坐标为 ；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，求面积的最大值．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
交轴于点，为线段的中点．
；
故答案为6，；
（2）设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
点为线段上的一个动点，
设，，
轴，
，
，
当时，的面积的最大值为．
23．（2020四川遂宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
22．(2020山东枣庄)（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
【解答】解：（1）联立①和并解得：，故点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，
故反比例函数表达式为：②；
（2）联立①②并解得：或，
当时，，故点，
设交轴于点，过点、分别作轴的垂线交于点、，
则．
19．（2020湖南岳阳）（8分）（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y=-4x；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b=-4x， ∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0， 解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
21．（7分）（2020•常德）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得
3k+b=18-2k+b=8，解得k=2，b=12，
∴一次函数的解析式为y＝2x+12；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象只有一个交点，
∴y=2x+12y=mx只有一组解，
即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0， ∴m＝﹣18．
把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，
即所求的交点坐标为（﹣3，6）．
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
23．（10分）（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p=25x+4(0＜x≤20)-15x+12(20＜x≤30)，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
b=8020a+b=40，
解得，a=-2b=80，
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
20m+n=4030m+n=80，
解得，m=4n=-40，
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，
由上可得，y与x的函数关系式为y=-2x+80(0＜x≤20)4x-40(20＜x≤30)；
（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（25x+4）×（﹣2x+80）=-45（x﹣15）2+500，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（-15x+12）×（4x﹣40）=-45（x﹣35）2+500，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，
由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
23．（2020四川自贡）（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
解：（1）由题意可得，y甲＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙=x(0≤x≤100)0.8x+20(x＞100)；
（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
20．（2020山东泰安）（9分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6，
故一次函数的表达式为：y=-23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
22．（2020浙江宁波）（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得0=1.6k+b80=2.6k+b，
解得：k=80b=-128，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）当y＝200﹣80＝120时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
25．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．
【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴A(1，52)，
∴k=1×52=52．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBOAO=BO，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得：
则k+5=mkm+5=-1．
解得k1=-3m1=2，k2=-2m2=3．
当m＝2时，OE＝2，OA=5，S△AOB=52＜3，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，OA=10，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
一次函数与反比函数
一、 选择题
7．（2020安徽）（4分）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是
A． B． C． D．
【解答】解：、当点的坐标为时，，
解得：，
随的增大而增大，选项不符合题意；
、当点的坐标为时，，
解得：，
随的增大而减小，选项符合题意；
、当点的坐标为时，，
解得：，选项不符合题意；
、当点的坐标为时，，
解得：，
随的增大而增大，选项不符合题意．
故选：．
6．（2020广州）一次函数的图象过点，，，则（ * ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
7．（2020陕西）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据方程或方程组得到A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
10．(2020天津)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
6.（2020河南）若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
10.(2020苏州）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
6.（2020乐山）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，
解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
6．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），选：A．
10.（2020乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
9．（2020贵州黔西南）（4分）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y=-33x B．y=-3x C．y=-3x D．y=3x
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∴点C的坐标为（﹣1，3），
∵顶点C在反比例函数y═kx的图象上，
∴3=k-1，得k=-3，
即y=-3x，
故选：B．
8.（2020无锡）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
解：由题意，把B（，m）代入，得m=
∴B（，）
∵点B为反比例函数与一次函数的交点，
∴k=x·y
∴k=×=．
故选：C．
5.（2020长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
7.（2020湖北武汉）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．
故选：B．
12（2020重庆A卷）.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
4．（2020上海）（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
选：D．
12.（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx (k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
A.163 B.8 C.10 D.323
解析：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4,83).答案D.
9．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0， 综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；
②|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故②正确；
③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；
④∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
7．（2020宁夏）（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
选：D．
6．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，，是等边三角形，
点，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，点的坐标为，，
点在反比例函数的图象上，， 故选：．
12．（2020广西南宁）（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y＝x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
∵C、D两点在交双曲线y＝（x＞0）上，则CE＝，DF＝．
∴BD＝BF﹣DF＝b﹣，AC＝﹣a．
又∵AC＝BD， ∴﹣a＝（b﹣），
两边平方得：a2+﹣2＝3（b2+﹣2），即a2+＝3（b2+）﹣4，
在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+，同理OC2＝a2+，
∴3OD2﹣OC2＝3（b2+）﹣（a2+）＝4．
故选：C．
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
解：
由题意得，
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
11．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【解答】解：
∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQS△AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ＝1，
∵1S△AOB=（ANAO）2=19， ∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故选：D．
6．（2020山东滨州）（3分）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为
A．4 B．6 C．8 D．12
解：过点作轴，垂足为，
点在双曲线上，四边形的面积为4，
点在双曲线线上，且轴，四边形的面积为12，
矩形的面积为．
故选：．
12．（3分）（2020•烟台）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3=kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1
C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
所以若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
7．（2020山西）（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
选：A．
10．（3分）（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2=k2x（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
选：D．
9．（2020海南）（3分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（ ）
A．（﹣1，8） B．（﹣2，4） C．（1，7） D．（2，4）
选：D．
二、 填空题
8.（2020北京）有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系
【解析】因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0，故选B
13.（2020北京）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 .
【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴
13．（5分）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴．垂足分别为点，．当矩形与的面积相等时，的值为 2 ．
【解答】解：一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
则的面积，而矩形的面积为，
则，解得：（舍去）或2，
故答案为2．
12．（2020成都）（4分）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为 ．
【解答】解：一次函数中，函数值随自变量的增大而增大，
，解得．
故答案为：．
24．（2020成都）（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为 ，或， ．
【解答】解：联立与并解得：，故点的坐标为，，
联立与同理可得：点，，
这两条直线互相垂直，则，故点，，则点，，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
16.（2020福建）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【详解】解：如图， 反比例函数图象关于原点成中心对称，
四边形是平行四边形，故①正确，
如图，若四边形是菱形，
则
显然：＜
所以四边形不可能是菱形，故②错误，
如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称，
当垂直于对称轴时，
四边形是矩形，故③错误，
四边形不可能是菱形，
四边形不可能是正方形，故④正确，
故答案：①④．
13．（2020陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ﹣1 ．
解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），
∴3×2＝﹣6m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2020哈尔滨）（3分）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
14． (2020天津)将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．
答案:
19.（2020河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则_________；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
【答案】 (1). －16 (2). 5 (3). 7
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
12.(2020苏州）若一次函数的图像与轴交于点，则__________．
【详解】解：∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0），
∴3m-6=0，
解得m=2.
故答案为:2．
16.（2020乐山）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】 (1). (2). 或
【详解】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．
故综上：或．
13．（2020南京）（2分）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
解：在一次函数中，令，则，
直线经过点，
将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：，
将点代入得，，
解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
12.（2020贵阳）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．
解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，
则四边形的面积为：3，
故答案为：3．
15．（2020贵州黔西南）（3分）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是 y＝﹣2x ．
解：∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝﹣x+1上，
∴2＝﹣x+1，得x＝﹣1，
∴点跑的坐标为（﹣1，2），
设正比例函数解析式为y＝kx，
则2＝﹣k，得k＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
11.（2020山东青岛）如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________．
解： 的面积为6．
＞，
把代入
经检验：符合题意．
故答案为：
16．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，则k的值为 2 ．
解：如图，∵点C坐标为（2，﹣2），
∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，
∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2，
故答案为2．
17.（2020重庆A卷）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．
【答案】
解：设乙货车行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：．
16．（2020上海）（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
8k+b=96020k+b=1800，解得：k=70b=400，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故答案为：350．
14．（2020贵州遵义）（4分）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 x＜4 ．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．
故答案为x＜4．
8．（2020上海）（4分）已知f（x）=2x-1，那么f（3）的值是 1 ．
【解答】解：∵f（x）=2x-1，
∴f（3）=23-1=1，
故答案为：1．
9．（2020上海）（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
12．（2020辽宁抚顺）（3分）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ 8 ．
17．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．
解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，∴CE＝BE，
∵OC＝OB，∴OC＝CE，
∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，
∴＝（）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，
∴S△COD＝S△BCD＝，∴S△CEA＝4×＝1，
∵OC＝CE，∴S△AOC＝S△CEA＝，
∴S△AOE＝+1＝，
∵S△AOE＝k（k＞0），∴k＝3，
故答案为3．
16．（2020江苏泰州）（3分）如图，点在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为 3 ．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，且横坐标为1，则点，
则点、的坐标分别为，，，
设直线的表达式为：，将点、的坐标代入上式得，解得，
故直线与轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
18．（3分）（2020•玉林）已知：函数y1＝|x|与函数y2=1|x|的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
④函数y＝y1+y2的最小值是2．
则所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【解答】解：补全函数图象如图：
①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；故①错误；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；故②正确；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；故③正确；
④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，故④正确．
综上所述，正确的结论是②③④．
故答案为②③④．
12．（3分）（2020•常德）如图，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．
【解答】解：∵AB⊥OB，
∴S△AOB=|k|2=6，∴k＝±12，
∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，
故答案为﹣12．
16．（3分）（2020•荆门）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点G，则k的值为 -12 ．
解：∵B（﹣2，1），∴AB＝1，OA＝2，
∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，
∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，
∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，
∴△OCG∽△OED，
∴CGDE=OCOE，即CG1=12，解得CG=12，
∴G（-12，1），
把G（-12，1）代入y=kx得k=-12×1=-12．
故答案为-12．
18．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．
【解答】解：设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，
∴第四个三角形的周长为124-123，
∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，
故答案为43，60．
15．（2020山东滨州）（5分）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为 ．
4．（2020云南）（3分）已知一个反比例函数的图象经过点（3，1），若该反比例函数的图象也经过点（﹣1，m），则m＝ ﹣3 ．
16．（2020浙江宁波）（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，ba的值为 -13 ．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴12a-12b＝12，∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，∴S△AOKS△BKO=12a-12b=13，
∴ab=-13．故答案为24，-13．
15．（2020浙江温州）（5分）点P，Q，R在反比例函数y=kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的
值为 275 ．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（k3a，3a），Q（k2a，2a），R（ka，a），
∴CP=3k3a，DQ=k2a，ER=ka，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF=23GA，
∴S1=23S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3=815，S1=545，S2=275，
故答案为275．
17．（4分）（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1=kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2=2x（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 k﹣1 ．（结果用含k的式子表示）
【解答】解：∵D是反比例函数y2=2x(x＞0)图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为12×2=1．
∵点B在函数y1=kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k﹣1．
故答案为：k﹣1．
三、 解答题
22.（2020北京）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
【解析】（1）∵一次函数由平移得到，∴
将点（1,2）代入可得，∴一次函数的解析式为.
（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：
临界值为当时，两条直线都过点（1,2），∴当时.都大于
.又∵，∴可取值2，即，∴的取值范围为
19．（2020成都）（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）直线过点，
，
过点的直线与轴、轴分别交于，两点，
，，，
的面积为的面积的2倍，
，
，
当时，，
当时，，
直线的函数表达式为：，．
26．（2020成都）（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元件）
12
13
14
15
16
（件
1200
1100
1000
900
800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）与满足一次函数的关系，
设，
将，；，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）设线上和线下月利润总和为元，
则，
当为19元件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
21．（2020广州）（本小题满分12分）
如图9，平面直角坐标系xOy中，的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求的周长．
【详解过程】解：（1）∵函数的图象经过点A（3，4）
∴＝＝3×4＝12.∴。
∵的对角线交点M在反比例函数图像上
∴点M是AC与BD的中点，
∴由中点坐标公式得M点的纵坐标为2.
∴将M点纵坐标2即代入中，得
∴M点坐标为（6，2）.
（2） ∵在中，A点坐标为(3,4)，对角线交点M坐标为(6,2)
∴由中点坐标公式可得C点坐标为（9，0）,B(12,4)
∴OC=9。
过A作AE⊥OC于E，∴AE=4，0E=3
在RT△AOE中，由勾股定理，得==5。
∴的周长=2（AO+OC）=2×（5+9）=28。
∴的周长是28。
20.（2020福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】
（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
21．（2020陕西）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
则：20＝15k，
解得k＝，
∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
则：，
解得，
∴y＝，
∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
20．(2020杭州)（10分）设函数y1=kx，y2=-kx（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由反比例函数的性质可得k2=a，①；-k2=a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为k2=a，①；
当x＝2时，y2最小值为-k2=a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1=km0＜0，
当x＝m0+1时，q＝y1=km0+1＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
24.（2020河北）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
－1
0
－2
1
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【详解】（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；
（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
19（2020河南）.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．
【答案】（1）k1=15，b=30；k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）打折前的每次健身费用为25元，k2=20；
（3）方案一所需费用更少，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；
（2）设打折前每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值；
（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：，
解得：，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）由（1）（2）得：，，
当小华健身次即x=8时，
，，
∵150<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少．
22.（2020河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．
【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；
【解析】
【分析】
（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．
【详解】解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
18.（2020江西） 如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数.
【解析】：（1）∵AD⊥轴，∠AOD=45°，OA=，∴.∴A（2,2）
∵点A在反比例函数图象上，∴，∴
（2）∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，∵AB=2OA，∴AO=AE.
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB.∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，∴BC∥轴.
∴∠ECB=∠EOD，∴∠AOE=2∠EOD.∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=
26.(2020苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润（元）与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
日期
销售记录
6月1日
库存，成本价8元/，售价10元/（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日
补充进货，成本价8.5元/．
6月30日
水果全部售完，一共获利1200元．
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）400元；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；
（2）设点坐标为，根据题意列出方程计算即可求得，再利用待定系数法即可求得线段所在直线对应的函数表达式．销售量
【详解】解：（1）（元）．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
（2）设点坐标为．
根据题意，得，
解这个方程，得．
∴点坐标为．
设线段所在直线的函数表达式为，
∵两点坐标分别为，，
∴
解这个方程组，得．
∴线段所在直线的函数表达式为．
21.（2020乐山）如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．
解：（1）将点代入，得，即，
将代入，得，即，
设直线的解析式为，
将、代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）∵、，
∴，
∵轴，
∴BC=4，
∵，
∴．
23.（2020乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿 车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．
由题意得：．
解得 ，
答：租用一辆轿车的租金为元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；
②若只租用轿车，∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，
∴，
∵，∴，
∴，且为整数，
∵随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，∴，
∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，
此时所付租金最少，为元．
20.（2020四川绵阳）（本题满分12分）
4月20日是“世界读书日”。甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动。甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折。
（1） 以（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求关于的函数解析式。
（2） “世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
【解析】本题考查列一次函数关系式和比较两个函数值。
解：（1）；
（2）当元时，显然.即，当购书标价总额不超过100元时，选择甲书店购书更省钱。
当元时，若，解得：。选择乙书店更优惠。
若，解得：，甲、乙书店任意选择都一样。
若，解得：，选择甲书店更优惠。
综上所述：当购书标价小于200元时，选择甲书店更优惠；
当购书标价等于200元时，选择甲书店或乙书店优惠一样；
当购书标价大于200元时，选择乙书店更优惠。
23.（2020四川绵阳）（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数在图像与反比例函数的图像在第二象限交于点A(-3,),B(,2)两点。
（1） 当=1时，求一次函数的解析式。
（2） 若点E在轴上，满足∠AEB=90°，且AE=2-,求反比例函数的解析式。
【解析】解：（1）当m=1时，A点坐标为A(-3,1)
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∴2n=-3, .即：B（，2）
设过A(-3,1)、B(,2)的直线为：
23（2）解答图
得：，解得：
∴一次函数的解析式为：。
（2）∵A(-3,),B(,2)两点在反比例函数的图像上
∴=-3，=2
即：=，=,=.
如图，设直线AB交轴于点C，分别过A、B作AD⊥轴,BF⊥轴,AH⊥BF。
∴AD=,BF=2,AH=3+,BH=AE=2-,EF=
∴△ABH≌△BAE
∴BE=AH=3+，∠BAH=∠ABE=∠BCF
∴CE=BE=3+,CF=CE+EF=3++.
∴,
∴,即：=。
将=代入上式，得：，解得：=。
∴=-3=-3×=。
∴反比例函数的解析式为：。
19.（2020贵阳）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．
【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一）
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，
∴当时，，
∴其中一个交点是．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵一次函数的图象向下平移2个单位，
∴平移后的表达式是．
联立及，可得一元二次方程，
解得，．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为
（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），
∵经过点，则b=5，
∴y=ax+5，
联立y=ax+5以及可得：，
若一次函数图象与反比例函数图象无交点，
则，解得：，
∴（答案不唯一）．
23.（2020湖北黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求点C的坐标．
解：（1）过点B作轴于点M，则
在中．
设，则．
又．
．
又
，
∴点B的坐标是
∴反比例的解析式为．
（2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：．
又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中，
．
．
∴直线AB的解析式为：．
令，则．
．
令，解得．
经检验都是原方程的解．
又．
．
．
．
．
经检验，是原方程的解．
∴点C的坐标为．
20.（2020山东青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
22．（2020齐齐哈尔）（（10分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲车改变速度前的速度是 100 km/h，乙车行驶 10 h到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有 100 km；出发 2 h时，甲、乙两车第一次相距40km．
【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500出5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），
故答案为：100；10；
（2）∵乙车速度为80km/h，
∴甲车到达绥芬河的时间为：5+800-50080=354(h)，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将（5，500）和（354，800）代入得：5k+b=500354k+b=800，
解得k=80b=100，
∴y＝80x+100，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（5≤x≤354）；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×354=100（km），
40÷（100﹣80）＝2（h），
即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．
故答案为：100；2．
22.（2020重庆A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；( )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；( )
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；( )
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【答案】（1），；（2）①× ②√ ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
解：（1）当x=-3时，，
当x=3时，，
函数图象如下：
（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；
故答案为：× ，
②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；
故答案为：√ ，
③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：√．
（3），
时，
得，，，
故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
23.（2020重庆B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质.
x
⋯
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
-23
a
-2
-4
b
-4
-2
-1211
-23
⋯
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= .
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用
“√”作答，错误的用“×”作答)：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2<-23x-103的解集.
解：（1）a=-1211，b=-6.
所画图象，如图所示.
（2）①√；②√；③×.
（3）x<-4或-2
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加209a%，求a的值.
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
y=x+100 24x+24y=21600，解得x=400y=500.
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：24×4001+a%+241+a%×5001+2a%=21600(1+209a%).
令a%=m，则方程化为：24×4001+m+241+m×5001+2m=21600(1+209m).
整理得10m2-m=0，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，即a的值为10.
21．（2020四川南充）（10分）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，
∴a＝4，A（4，8），
∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，
∴BD＝1，即D（1，8），
∵点D在y=kx上，
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）由y=2xy=8x，解得x=2y=4或x=-2y=-4（舍弃），
∴C（2，4），
∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC=12×4×8-12×4×3＝10．
23．（2020四川南充）（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=-14，b=19，
∴z=-14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)z=-14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（-14x+19﹣10）（5x+40）
=-54x2+35x+360
=-54（x﹣14）2+605，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
23．（2020辽宁抚顺）（12分）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；
（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
21．（2020吉林）（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），
可得k＝xy＝2×4＝8， ∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数y＝的解析式为y＝，
∵D为OC中点，OD＝2， ∴OC＝4，
∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝， 可得y＝2，
∴点B的坐标为（4，2），
∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．
23．（2020吉林）（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为 3 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 0.5 L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），
故答案为：3，0.5；
（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，
， 解得，，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；
（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，
当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．
20．（2020内蒙古呼和浩特）（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y1
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
解：（1）根据表格中数据发现：
y1和x的和为10， ∴y1＝10﹣x，
且当x＝0时，y1＝10，
令y1＝0，x＝10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图象上，
∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM
＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）＝30，
化简得：n﹣m＝6， 联立，得：x2﹣10x+k＝0，
∴m+n＝10，mn＝k，
∴n﹣m＝，
则，解得：k＝16，
∴反比例函数解析式为：，
解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；
当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；
当a＝2或8时，y2＝y1．
25．（2020黑龙江龙东）（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【解答】解：（1）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的解析式为；
（2）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为；
设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为，
解方程组得，
同理可得，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间，；
（3），
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为．
25．（2020黑龙江牡丹江）（8分）在一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地停留0.5小时后，按原路原速返回地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达地．两车距各自出发地的路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是 60 千米1时，，两地的路程为 千米；
（2）求乙车从地返回地的过程中，（千米）与（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
，
甲车的行驶速度是：千米时，
的纵坐标为360，
，两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）甲车比乙车晚1.5小时到达地，
点，
乙的速度为千米小时，
则，
，，
设表达式为，将和代入，
，解得：，
（千米）与（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到地之前时，
，即，
解得：，
②小时，小时，
甲乙同时到达地，
当乙在地停留时，
小时；
③当乙车从地开始往回走，追上甲车之前，
小时；
④当乙车追上甲车并超过时，
小时；
⑤当乙车回到地时，甲车距离地15千米时，
小时．
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时．
28．（2020黑龙江牡丹江）（10分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点，的坐标；
（2）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交直线于点．若是的中点，，反比例函数图象的一支经过点，求的值；
（3）在（2）的条件下，过点作，垂足为，点在直线上，点在直线上．坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）线段 的长是方程 的一个根，
解得：或（舍，而点在轴正半轴，
，
，
，
（2），
，
设直线的表达式为，将点和的坐标代入，
得：，解得：，
的表达式为：，
点是的中点，
点的横坐标为，代入中，，
则，
反比例函数经过点，
则；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形中，
和点重合，
，
此时；
在四边形中，点和重合，
可知在直线上，
联立：，
解得：，
，
，
同理可得：，，．
故存在点使以，，，为顶点的四边形是正方形，
点的坐标为，，，，．
24．（2020江苏连云港）（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1） 6 ，点的坐标为 ；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，求面积的最大值．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
交轴于点，为线段的中点．
；
故答案为6，；
（2）设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
点为线段上的一个动点，
设，，
轴，
，
，
当时，的面积的最大值为．
23．（2020四川遂宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
22．(2020山东枣庄)（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
【解答】解：（1）联立①和并解得：，故点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，
故反比例函数表达式为：②；
（2）联立①②并解得：或，
当时，，故点，
设交轴于点，过点、分别作轴的垂线交于点、，
则．
19．（2020湖南岳阳）（8分）（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y=-4x；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b=-4x， ∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0， 解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
21．（7分）（2020•常德）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得
3k+b=18-2k+b=8，解得k=2，b=12，
∴一次函数的解析式为y＝2x+12；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象只有一个交点，
∴y=2x+12y=mx只有一组解，
即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0， ∴m＝﹣18．
把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，
即所求的交点坐标为（﹣3，6）．
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
23．（10分）（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p=25x+4(0＜x≤20)-15x+12(20＜x≤30)，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
b=8020a+b=40，
解得，a=-2b=80，
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
20m+n=4030m+n=80，
解得，m=4n=-40，
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，
由上可得，y与x的函数关系式为y=-2x+80(0＜x≤20)4x-40(20＜x≤30)；
（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（25x+4）×（﹣2x+80）=-45（x﹣15）2+500，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（-15x+12）×（4x﹣40）=-45（x﹣35）2+500，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，
由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
23．（2020四川自贡）（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
解：（1）由题意可得，y甲＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙=x(0≤x≤100)0.8x+20(x＞100)；
（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
20．（2020山东泰安）（9分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6，
故一次函数的表达式为：y=-23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
22．（2020浙江宁波）（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得0=1.6k+b80=2.6k+b，
解得：k=80b=-128，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）当y＝200﹣80＝120时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
25．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．
【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴A(1，52)，
∴k=1×52=52．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBOAO=BO，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得：
则k+5=mkm+5=-1．
解得k1=-3m1=2，k2=-2m2=3．
当m＝2时，OE＝2，OA=5，S△AOB=52＜3，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，OA=10，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
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