高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计

§2.2  直线、平面平行的判定及其性质

§2.2.1  直线与平面平行的判定

一、教材分析

    空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；

（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；

2．过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.

3．情感、态度与价值观

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.

三、教学重点与难点

    如何判定直线与平面平行.

四、课时安排

    1课时

五、教学设计

（一）复习

    复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.

（二）导入新课

思路1.(情境导入)

    将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

思路2.(事例导入)

    观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？

图1

（三）推进新课、新知探究、提出问题

①回忆空间直线与平面的位置关系.

②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.

③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.

④试证明直线与平面平行的判定定理.

活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.

问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.

问题③引导学生进行语言转换.

问题④引导学生用反证法证明.

讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.

②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？

不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，

因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.

若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？

既然不可能相交，则该直线与平面平行.

③直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

符号语言为：.

图形语言为：如图2.

图2

④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.

∴aβ，bβ.

∵aα，aβ，∴α和β是两个不同平面.

∵bα且bβ，

∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,

则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.

∴假设错误.故a∥α.

（四）应用示例

思路1

例1  求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.

求证：EF∥面BCD.

活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

证明：如图3,连接BD,

图3

EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.

变式训练

    如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.

图4

画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.

证明：如图5,

图5

.

所以,BC∥平面MNEF.

点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.

例2  如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.

图6

求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.

证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.

在△ABC中，

∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.

又EF面EFG，AC面EFG,

∴AC∥面EFG.

同理可证BD∥面EFG.

变式训练

    已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.

证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.

图7

∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，

∴=2.∴MN∥PQ.

又PQα，MNα,∴MN∥α.

点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

思路2

例题  设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8,

（1）证明PQ∥平面AA1B1B；

（2）求线段PQ的长.

图8

(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP,

∵MP∥AD,MP=,NQ∥A1D1,NQ=,

∴MP∥ND且MP=ND.

∴四边形PQNM为平行四边形.

∴PQ∥MN.

∵MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,

∴PQ∥面AA1B1B.

证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,

∴PQ∥AB1,且PQ=.

∵PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,

∴PQ∥面AA1B1B.

(2)解:方法一:PQ=MN=.

方法二：PQ=.

变式训练

    如图9，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.

图9

求证：EF∥平面BB1C1C.

证明：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.

∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.

∴.

又∵BD=B1A，B1E=BF,∴DF=AE.

∴.

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C.

∴EF∥平面BB1C1C.

（五）知能训练

    已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.

证明：如图10,连接AC、BD交于O点,连接MO,

图10

∵O为AC的中点,M为PC的中点,

∴MO为△PAC的中位线.

∴PA∥MO.

∵PA平面MBD,MO平面MBD,

∴PA∥平面MBD.

（六）拓展提升

    如图11，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.

图11

求证:AM∥平面BDE.

证明：设AC∩BD=O，连接OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，

∴四边形AOEM是平行四边形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

（七）课堂小结

知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.

方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

（八）作业

    课本习题2.2  A组3、4.