2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理 解答题专项（五）

2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（五） 1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．  2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A＝30°，OD＝20cm．求CD的长．  3．如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值． 4．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC＝8cm，DE＝2cm，求OD与AD的长．  5．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线角于点F，求证：∠FGC＝∠AGD．  6．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC＝∠AGD．  7．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交⊙O于点F，连结AD，AF．（1）求证：∠BAF＝∠DAC．（2）当AF＝8，AD＝6，CD＝3时，求⊙O的直径．   8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为的中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．  9．已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若DE＝DC．求证：BD＝DE． 10．如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DE⊥AB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）若AD＝6，BE＝8，求EF的长；（2）求证：CE＝EF．
参考答案1．（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝×4＝2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．2．解法（1）：∵OD⊥AB，∠A＝30°，∴OA＝OD÷tan30°＝20，AD＝2OD＝40．∵AB是⊙O的直径，∴AB＝40，且∠ACB＝90°．∴AC＝AB•cos30°＝40＝60．∴DC＝AC﹣AD＝60﹣40＝20（cm）． 解法（2）：过点O作OE⊥AC于点E，∵OD⊥AB于点O，∠A＝30°，∴AD＝2OD＝40，AO＝OD÷tan30°＝20．∴AE＝AO•cos30°＝20＝30．∵OE⊥AC于点E，∴AC＝2AE＝60．∴DC＝AC﹣AD＝60﹣40＝20（cm）． 解法（3）：∵OD⊥AB于点O，AO＝BO，∴AD＝BD．∴∠1＝∠A＝30°．又∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠2＝60°﹣30°＝30°＝∠A．又∵∠AOD＝∠C＝90°，∴△AOD≌△BCD．∴DC＝OD＝20（cm）．3．（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON，∴AB＝CD；（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，∴∠BEO＝∠BED＝30°，∵OM⊥AB，∴∠OME＝90°，∵OE＝2，∴＝1，∴＝＝，∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．4．解：连接AC，设⊙O的半径为R．∵＝，∴OE⊥BC，∴CD＝DB＝4cm，在Rt△ODB中，∵OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣2）2+42＝R2，∴R＝5，∴OD＝OE﹣DE＝3，∵AO＝OB，CD＝DB，∴AC＝2OD＝6，∵AB是直径，∴∠C＝90°，∴AD＝＝＝2．5．解：连接AD．∵CD⊥AB，∴＝，∴∠AGD＝∠ADC，∵∠FGC＝∠ADC，∴∠FGC＝∠AGD6．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得R＝5． （2）证明：连接AD，∵弦CD⊥AB∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．7．（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵EF⊥AC，∴∠FAE+∠AFE＝90°，∵∠ABD＝∠AFE，∴∠BAD＝∠FAE，∴∠BAD﹣∠DAF＝∠FAE﹣∠DAF，即：∠BAF＝∠DAC． （2）连结BF．∵AB是圆O的直径，∴∠BFA＝90°，∵∠BDA＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝90°，∴AC＝，∴∠BFA＝∠ADC＝90°，∵∠BAF＝∠DAC，∴△ABF∽△ACD，∴，∴，∴⊙O的直径为4．8．（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．9．证明：连接AD，∵四边形ABDE为圆内接四边形，∴∠B+∠AED＝180°，又∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠B＝∠DEC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝DC，∵DE＝DC，∴BD＝DE．10．解：（1）∵点C在以线段AB为直径的圆上，且∴∠ACB＝90°，且AC＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵DE⊥AB，∴AE＝DE＝AD＝×6＝6，在Rt△BDE中，∵DE＝6，BE＝8，∴BD＝＝10，又∵F是线段BD的中点，∴EF＝BD＝5；（2）如图，连接CF，∵∠BED＝∠AED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∴B、C、D、E在以BD为直径的圆上，∴∠EFC＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴CE＝EF．