微专题：2021年中考数学分类专题提分训练 圆之圆周角定理解答题专项（五）

微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（五）  1．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．   2．如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，＝，联结AC、OB，若CD＝40，AC＝20．（1）求弦AB的长；（2）求sin∠ABO的值．   3．如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．   4．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．  5．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED＝∠COB；（2）点E´在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE´D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论． 6．如图，在⊙O中，AB为直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD＝，AE＝5．（1）求⊙O半径r的值；（2）点F在直径AB上，连结CF，当∠FCD＝∠DOB时，直接写出EF的长，并在图中标出F点的具体位置．  7．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．  8．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED＝∠OED＝60°，连OC、OD（1）求证：∠C＝∠D；（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝5，BC﹣AC＝1，求CE的长．    10．在△ABC中，∠BAC＝45°，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．（1）若EF＝4时，则AP的长为多少？（2）若∠B＝60°，AB＝6，试探究：当BP长为多少时，EF最短？
参考答案1．解：（1）∵∠CAB＝∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°；又∵∠APD＝65°，∴∠BPD＝115°；∴在△BPD中，∴∠B＝180°﹣∠CDB﹣∠BPD＝25°；（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；∴OE∥AD；又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD＝2OE＝6．2．解：（1）∵CD过圆心O，＝，∴CD⊥AB，AB＝2AD＝2BD，∵CD＝40，AC＝20，∠ADC＝90°，∴AD＝＝20，∴AB＝2AD＝40；（2）设圆O的半径为r，则OD＝40﹣r，∵BD＝AD＝20，∠ODB＝90°，∴BD2+OD2＝OB2，即202+（40﹣r）2＝r2，解得，r＝25，OD＝15，∴sin∠ABO＝＝．3．解：（1）∵AO⊥BD，∴＝，∴∠AOB＝2∠ACD，∵∠AOB＝80°，∴∠ACD＝40°；（2）①当点C1在上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°；②当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD＝180°，∴∠AC2D＝140°综上所述，∠ACD＝140°或40°．4．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°，在Rt△AMB中，AB＝，∴AB＝10．∴OB＝5，∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形，∴NB＝OB＝5． （2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．理由：方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ，即  C是MQ的中点，又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线，∴CP∥QN，∴∠MCP＝∠MQN，∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN，∴∠MCP＝∠MBN，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°． 方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．∵P是MN中点，又∵OM＝ON，∴OP⊥MN，且∠MOP＝∠MON，∵MC⊥AB，∴∠MCO＝∠MPO＝90°，∴设OM的中点为Q，则  QM＝QO＝QC＝QP，∴点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，又∵∠MOP＝∠MON，∴∠MCP＝∠MON，在半圆O中，∠NBM＝∠MON，∴∠MCP＝∠NBM，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．5．（1）证明：如图所示，连接OD、OC．∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∴∠COB＝∠DOB＝∠COD．又∵∠CED＝∠COD，∴∠CED＝∠COB； （2）解：∠CE'D与∠COB的数量关系是∠CE'D+∠COB＝180°．理由：∵∠CED＝∠COD，∠CE'D＝（360°﹣∠COD）＝180°﹣∠COD，∴∠CED+∠CE'D＝180°由（1）知，∠CED＝∠COB，∴∠CE'D+∠COB＝180°．6．解：（1）∵AB为直径，AB⊥CD，∴DE＝CD＝．在Rt△ODE中，∵OD＝r，OE＝5﹣r，DE＝，∴r2＝（5﹣r）2+（）2，解得r＝3； （2）如图，连接CB．∵∠BCD＝∠BOD，作点B关于CD的对称点F，点F即为所求．∴EF＝EB＝OB﹣OE＝3﹣2＝1．7．解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°； （2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．8．证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′∵∠CED＝∠OED＝60°，∴∠AEC＝60°，∴∠OED′＝60°，∴∠DEO＝∠D′EO＝60°，由轴对称的性质可得∠D＝∠D′，ED＝ED′，∵OC＝OD′，∴∠D′＝∠C，∴∠C＝∠D； （2）∵∠D′EO＝60°，∴∠C＜60°，∴∠C＝∠D′＜60°，∴∠COD′＞60°，∴CD′＞OC＝OD′，∵CD′＜OC+OD′，∵CE+ED＝CE+ED′＝CD′，∴r＜CE+ED＜2r．9．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，∵BC＝CD，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；  （2）解：在Rt△ACB中，AB＝5，BC﹣AC＝1，由勾股定理得：AC2+（AC+1）2＝52，解得：AC＝3，BC＝4，∵BC＝CD，即CD＝4，∵由圆周角定理得：∠B＝∠E，又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CE＝DC，∵CD＝4，∴CE＝4．10．解：（1）连接OE、OF．∵∠EAF＝45°，∴∠EOF＝2∠EAF＝90°．∵OE＝OF，EF＝4，∴EF＝＝OE＝4，∴OE＝4，∴直径AP＝2OE＝8；（2）由EF＝OE可知，当AP最短时，OE最短，EF也就最短；根据“点到直线之间垂线段最短”可知，当AP⊥BC时，AP最短．此时，∵∠ABC＝60°，AB＝6，∴∠BAP＝30°，∴BP＝AB＝3，即BP＝3时，EF最短．