2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（三）

2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（三）  1．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．   2．已知AB为圆O的直径，C为圆周上不同于A、B两点的一点，CH为△ABC的AB边上的高线，且有tanA+tanB﹣4tanAtanB＝0．若△ABC边AB上的中线长为1：（I）求圆O的面积；（Ⅱ）求sin∠HCO；（Ⅲ）若线段BC上一点T满足2CT＝3TB，求点T到直线CO的距离．       3．如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是半圆的中点，BE⊥CD交CD的延长线于点E，tan∠CAB＝2．（1）求证：CD＝DE；（2）求sin∠ABE的值．  4．如图，A，B，C是⊙O上的点，sinA＝，半径为5，求BC的长．   5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D．过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H．以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连结CF，若CF＝CH．（1）求证：四边形ABCD为菱形．（2）若tanB＝，OH＝9，求AE的长．  6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．  7．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称，作BE⊥l于点E，连接AD，DE（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．    8．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，求∠OAD；（2）点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝，求FN的长．  9．如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若AB＝10cm，点O到AC的距离为4cm．（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，△APC是等腰三角形．  10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．（1）若⊙O的半径为，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．（2）求证：∠AFC＝∠DFG． 参考答案1．解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°． （2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．2．解：（Ⅰ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵△ABC边AB上的中线长为1，∴OC＝1，∴⊙O的面积为π．  （Ⅱ）设AH＝b，BH＝c，CH＝a，∵tanA+tanB﹣4tanAtanB＝0，tanA＝，tanB＝，∴（+）＝4×，∵b+c＝2，∴a＝，在Rt△COH中，OH＝＝＝，∴sin∠HCO＝＝． （Ⅲ）作TK⊥OC于K．∵∠COB＝60°或120°，∴BC＝1或，∵＝，∴CT＝BC，∴d＝CK＝CT•sin60°＝×1×＝或d＝CK＝CT•sin30°＝××＝，∴T到CO的距离d＝．3．解：（1）连接BC、BD、OD，∵，∴∠DOB＝90°，∴∠BCE＝∠DOB＝45°，∴CE＝BE，∵∠BDE＝∠A，∴tan∠BDE＝＝2，BE＝2DE，∴CD＝DE．（2）方法一：连接OE、BC、OC，设OE、BC交于点F，∵OB＝OC，CE＝BE，∴OE垂直平分BC，设CD＝DE＝2x，则BE＝4x，∴BC＝BE＝4x，BF＝EF＝BE＝2x，∵tan∠CAB＝＝2，∴AC＝2x，∴OF＝AC＝x，∴OE＝OF+EF＝3x，OB＝＝x，作EM⊥OB于点M，∵OB•EM＝OE•BF，∴EM＝＝，∴sin∠ABE＝＝．方法二：连接OC、OE，过点O作OH⊥CD于点H，则CH＝DH＝CD＝DE，易证△OBE≌△OCE，∴∠ABE＝∠OCE，∠OEB＝∠OEC＝45°，设CH＝DH＝x，则CD＝DE＝2x，OH＝EH＝3x，∴OC＝x，∴sin∠ABE＝sin∠OCH＝．4．证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sinA＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sinA＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．5．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠D+∠DAB＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B+∠DAB＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE是直径，CH⊥AB，∴∠CFD＝90°＝∠CHB，∵CF＝CH，∴△CFD≌△CHB（AAS），∴CB＝CB，∴四边形ABCD是菱形． （2）解：由（1）可知，BC∥AD，CF⊥AD，∴BC⊥CF，∴∠B＝∠BAE，∵BH＝DF，AB＝AD，∴AF＝AH，∵tan∠B＝＝tan∠BAE，∴可以假设AH＝4a，则HE＝3a，AE＝5a，AF＝4a，∵∠E＝∠E，∠AHE＝∠EFC＝90°，∴△EAH∽△ECF，∴＝＝，∴＝＝∴CF＝12a，CE＝15a，∵OH＝9，∴15a＝2（3a+9），∴a＝2，∴AE＝5a＝10．6．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝． （2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝． （3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．7．解：（1）如图，（2）∠BAD＝∠BED．理由如下：连结BC、CD，如图，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵直线l与MA所在直线关于直线MD对称，∴MD平分∠EMC，∴BC＝BE，∴点C与点E关于直线MD对称，∴△BCD≌△BED，∴∠BCD＝∠BED，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BED．8．解：（1）如图1，连接OD， ∵是⊙的直径，于点∴AB垂直平分CD，∵M是OA的中点，∴，∴，∴∠DOM＝60°，∵AO＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠OAD＝60°；（2）如图2，连接CF，CN， ∵OA⊥CD于点M，∴点M是CD的中点，∴AB垂直平分CD，∴NC＝ND，∵∠CDF＝45°，∴∠NCD＝∠NDC＝45°，∴∠CND＝90°，∴∠CNF＝90°，由（1）可知，∠AOD＝60°，∴∠ACD＝30°，又∵DE⊥CA交CA的延长线于点E，∴∠E＝90°，∵∠ACD＝30°，DE＝．∴CD＝2DE＝2，∴CN＝CD•sin45°＝2，由（1）可知，∠CAD＝2∠OAD＝120°，∴∠F＝180°﹣120°＝60°，在Rt△CFN中，FN＝．9．解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，易知AO＝5，OD＝4，从而AD＝＝3，∴AC＝2AD＝6； （2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP＝10﹣t①如图2，若AC＝PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ODA＝90°，∴△AHC∽△ADO，∴AC：AH＝OA：AD，即AC：＝5：3，解得t＝s，∴经过s后△APC是等腰三角形；②如图3，若AP＝AC，由PB＝x，AB＝10，得到AP＝10﹣x，又∵AC＝6，则10﹣t＝6，解得t＝4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；③如图4，若AP＝CP，P与O重合，则AP＝BP＝5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．综上可知当t＝4或5或s时，△APC是等腰三角形．10．解：（1）如图1，连接OD，OC，∵直径AB⊥CD，∴，DE＝CE，∴，又∵在Rt△DEO中，，∴DE＝3，∴CD＝6；（2）证明：如图2，连接AC，∵直径AB⊥CD，∴＝，∴∠ACD＝∠AFC，∵四边形ACDF内接于⊙O，∴∠DFG＝∠ACD，∴∠DFG＝∠AFC．