2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（二）

2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（二）  1．已知OA是⊙O的半径，OA＝1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．（1）如图1，若P为OA中点，则AC＝　   　，∠ACB＝　   　°；（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．   2．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，D为的中点．（1）求∠ABD的大小；（2）若AC＝6，BD＝5，求BC的长．     3．如图，在⊙O中，弦AB的长为10，半径OD⊥AB，垂足为C，E为⊙O上任意一点，连接DE、BE．（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝2CD，求CD的长．  4．如图，已知AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，弦CD⊥AB，垂足为点E，AB＝5，BC＝3，点F为劣弧AC中点，连结DF．（1）求AD的长．（2）求OE的长．（3）求tan∠FDC的值．（4）求DF的长．  5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE＝3cm，EB＝6cm，求DG的长．   6．如图，在⊙O中，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，（1）求证：∠AOC＝∠BOC；（2）若点D是OC的中点，且AB＝6，求⊙O的半径．  7．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，求弦CD的长．    8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D．延长OD交⊙O于点E，连接EC、EB．（1）若AC＝6，OD＝，求⊙O的直径；（2）证明：S△ABC＝2S△BEC．   9．如图，AC为⊙O的直径，点B．D是⊙O上两点，BA＝BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠ECB＝∠BCA；（2）若CE＝2，⊙O的半径为5，求sin∠BDC的值．   10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　   　．  参考答案1．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，∴AC＝OA，∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝1，∠ACO＝60°，∵PC⊥OA，∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，故答案为：1；30．（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，∵BC⊥OA，∴PB＝PC，∴AB＝AC，∵OB＝CO，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴S△ABO＝S△ACO＝S1，∴S1+S2＝S3，∵，∴，∴S12+S1S2﹣S22＝0，∴﹣1＝0．解得：，∴，∴，∴，∵CE为直径，∴∠CBE＝90°，∴AO∥BE，∴△AOD∽△BED，∴，∵OE＝OC，∴OP＝BE，∴，∴+1，∴，∴．2．解：（1）∵D为的中点，∴＝，∴DA＝DB，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠DAB＝45°． （2）∵AD＝BD＝5，∠ADB＝90°，∴AB＝AD＝10，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝8．3．解：∵在⊙O中，OD⊥AB，∴＝，∵∠AOD＝50°，∴∠DEB＝∠AOD＝25°； （2）设CD＝x，则OC＝2x，OD＝OA＝3x．∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝5，在Rt△AOC中，∵OA2＝AC2+OC2，∴9x2＝4x2+52，解得x＝或﹣（舍弃），∴CD＝4．解：（1）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝4，∵AB⊥CD，∴＝，∴AD＝AC＝4；（2）∵CE•AB＝AC•BC，∴CE＝，在Rt△BCE中，BE＝＝，∴OE＝OB﹣BE＝﹣＝；（3）连接AF、OF，OF交AC于H，如图，∵F为劣弧AC中点，∴＝，OF⊥AC，∴∠FDC＝∠FAC，AH＝CH＝2，在Rt△AOH中，OH＝＝，∴FH＝OF﹣OH＝1，∴tan∠FAH＝＝，∵∠FAC＝∠CDF，∴tan∠FDC＝；（4）FD交AB于M，如图，在Rt△DEM中，tan∠EDM＝＝，∴EM＝DE＝，∴DM＝＝，连接BD∵∠AFM＝∠DBM，∠AMF＝∠DMB，∴△AMF∽△DMB，∴DM•FM＝AM•BM，∴MF＝＝，∴DF＝DM+FM＝+＝．5．（1）证明：连接BD．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，∴∠FDB+∠BDG＝90°，又∵∠EDA+∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE＝BF；（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，∴DE＝DF．∵∠EDF＝90°．∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°．∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF；（3）解：∵AE＝BF，AE＝3，∴BF＝3．在Rt△EBF中，EF＝＝＝3，∵△DED为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴DE＝EF＝×3＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴，即GE•DE＝AE•BE，∴GE＝＝，∴DG＝GE+ED＝＝．6．（1）证明：∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC（三线合一）． （2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝2OD，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝3，∴OA＝＝＝2．7．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE＝DE，∵AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，∴OD＝OA＝2，OM＝1，∵∠OME＝∠CMA＝45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE＝OM＝，在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝＝，∴CD＝2DE＝．8．解：（1）∵OD⊥AC，AC＝6，∴AD＝3，∵OD＝，∴OA＝4，∴⊙O的直径＝8；（2）作EF⊥CB的延长线于点F∵AB为直径，∴∠ACB＝∠CDE＝∠CFE＝90°，∴四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD＝AC，∴．9．（1）证明：∵∠ECB+∠BCD＝180°，∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ECB＝∠BAD，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，∴∠ECB＝∠BCA． （2）解：∵AC是直径，BE⊥EC∴∠ABC＝∠BEC＝90°∵∠BCE＝∠BCA，∴△BEC∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝2，∵∠BDC＝∠BAC，∴sin∠BDC＝sin∠BAC＝＝＝．10．解：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∴弧BC＝弧BD，∴∠BDC＝∠BOD，而∠CDB＝15°，∴∠BOD＝2×15°＝30°，在Rt△ODE中，∠DOE＝30°，OE＝2，∴OE＝DE，OD＝2DE，∴DE＝＝2，∴OD＝4，即⊙O的半径为4； （2）有4种情况：如图：①如图1所示：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，∴∠OAB＝∠OBA＝75°，∵CD⊥AB，AB是直径，∴弧BC＝弧BD，∴∠CAB＝∠BOD＝15°，∴∠CAB＝∠BAO+∠CAB＝15°+75°＝90°；②如图2所示，∠CAD＝75°﹣15°＝60°；③如图3所示：∠ACB＝90°；④如图4所示：∠ACB＝60°；故答案为：60°或90°．