2021年中考复习数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（一）

2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（一） 1．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．（1）求EF的长．（2）若点E为OC的中点，①求弧CD的度数．②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．   2．如图，⊙O中直径AB⊥弦CD于E，点F是的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．（1）求证：BI＝BD；（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半径．     3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．（1）求证：△BFG≌△DCG；（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．  4．如图，已知点A、B、C、D在已知⊙O上，AD∥BC，∠ADC＝120°，⊙O的半径为2．（1）求证：AC是∠BCD的平分线；（2）求圆内接四边形ABCD的周长． 5．如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB与点D，CD＝1．（1）求圆⊙O的半径；（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．   7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．   8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）若OE＝4，求AC的长．   9．【理论学习】学习图形变换中的轴对称知识后，我们容易在直线l上找到点P，使AP+BP的值最小，如图1所示，根据这一理论知识解决下列问题：（1）【实践运用】如图2，已知⊙O的直径CD为4，弧AD所对圆心角的度数为60°，点B是弧AD的中点，请你在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（2）【拓展延伸】在图3中的四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）．  10．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．   参考答案1．解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，∴圆的半径为12÷2＝6，∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴EF＝OD＝6；（2）①∵点E为OC的中点，∴OE＝OC＝OD，∴∠EDO＝30°，∴∠DOE＝60°，∴弧CD的度数为60°；②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，∵∠G＝∠COD＝30°，∵EG＝9，∴DG＝＝＝6，∴PC+PD的最小值为6．2．（1）证明：如图，连接DI，∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，∵点F是的中点，∴∠ACF＝∠DCF，∴I是△ADC的内心，∴∠ADI＝∠CDI，∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，∴∠BID＝∠BDI，∴BI＝BD；（2）连接OD，设⊙O的半径为r，∵OI＝1，OE＝2，∴BE＝r﹣2，BD＝BE＝r+2，由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，r2﹣6r﹣1＝0，r1＝3+，r2＝3﹣（舍），答：⊙O的半径是3+．3．解：（1）∵D是的中点，∴＝，∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，∴＝，∴＝，∴BF＝CD，又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG（AAS）； （2）如图，连接OD交BC于点M，∵D为的中点，∴OD⊥BC，∴BM＝CM，∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位线，∴OM＝AC＝5，∵＝，∴＝，∴OE＝OM＝5，∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，∴EF＝DE＝＝12，∴BF＝＝＝4；4．（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC＝120°，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝30°，∵∠ADC＝120°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA＝∠ACB，∴AC是∠BCD的平分线；（2）解：连接OA，如图，∵∠B＝60°，OB＝OA，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵AD∥BC，∠ADC＝120°，∴∠DCB＝60°，∴OA∥CD，∵OA＝OC，∴四边形OADC为菱形，∴AD＝DC＝OC＝2，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴四边形ABCD的周长＝2+2+2+4＝10．5．解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，∴OC⊥AB且OC平分AB，∴AD＝3，∠ODA＝90°，设OA＝r，则OD＝r﹣1，∴r2＝32+（r﹣1）2，解得，r＝5，即圆⊙O的半径为5；（2）作OH⊥EF于点H，∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，∵OA∥BG，OG∥AB，∴四边形OABG是平行四边形，∴OG＝AB，∵AB＝6，∴OG＝6，∴sin∠OGH＝＝＝，即sin∠OGE＝．6．解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝∠AOC＝×40°＝20°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，则AB＝2AC＝8．7．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；8．（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠OAC＝2∠OAD．∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠OAC，∴AC∥OD．（2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示：则AF＝AC，∵AC∥OD，∴∠DOE＝∠OAF．在△DOE和△OAF中，，∴△DOE≌△OAF（AAS），∴OE＝AF＝AC，∴AC＝2OE＝8．9．解：（1）作点B关于CD的对称点E，则点E在圆上，连接AE交CD于点P，则AP+BP最短，连接OA，OB，OE，∵∠AOD＝60°，B是弧AD的中点，∴∠AOB＝∠DOB＝30°，∵B关于CD的对称点E，∴∠DOE＝∠DOB＝30°，∴∠AOE＝90°又∵OA＝OE＝2，∴△OAE是等腰直角三角形，∴AE＝；（2）作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD．10．（1）证明：如图1，∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴∠A＝∠D，∴AM＝DM；（2）①∠E与∠DFE相等．理由如下：连接AC，如图，∵弧BE＝弧BC，∴∠CAB＝∠EAB，∵AB⊥CD，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E；②∵∠DFE＝∠E，∴DF＝DE＝7，∵AM＝DM，∴AM＝MF+7，∵AM+MF＝17，∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，∴AM＝12，∴S△ADF＝×7×12＝42．