高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试课后测评

第六章 平面向量及其应用（专题测试）

一、单选题

1．（2020·山西省大同一中高一月考）下列结论中正确的是（    ）

①若且，则；

②若，则且；  

③若与方向相同且，则；

④若，则与方向相反且.

A．①③ B．②③

C．③④ D．②④

2．（2020·上海高二课时练习）已知点是内一点，且，则是的（    ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

3．（2020·宜丰县第二中学高一月考）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

4．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）如图中，，，平分线交△ABC的外接圆于点，设，，则向量（　　）

A． B． C． D．

5．（2020·北京市西城外国语学校高一月考）设向量，的模分别为2和3，且夹角为，则等于（    ）

A． B．13 C． D．19

6．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知正方形的边长2，，，则为（    ）

A．6 B． C． D．

7．（2020·河南省高三三模（文））已知点是内部一点，且满足，又，则的面积为（    ）

A． B． C．1 D．

8．（2020·江苏省徐州一中高三其他）设向量，，且，则（    ）.

A． B．5 C．3 D．

二、多选题

9．（2020·山东省高一期中）已知，，则以下结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．的最小值为

10．（2020·山东省高三二模）已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．（2020·山东省高三三模）已知向量，则（    ）

A． B．

C． D．

12．（2020·山东省高一期中）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则是在的投影向量

D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

13．（2020·上海高二课时练习）已知，若，则______．

14．（2020·四川省高三三模（文））已知，若，则_____.

15．（2020·上海高二课时练习）已知，则向量与的夹角为_______．

16．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知向量，，其中，，则_______，与夹角的余弦值为_______.

四、解答题

17．（2019·广东省高一期末）已知向量，，函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，若，求的值.

18．（2020·宁夏回族自治区高三三模（文））设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.

（1）求角C的大小；

（2）若向量与共线，求的周长.

19．（2020·四川省高一月考）在中，角的对边分别是，且向量与向量互相垂直.

（1）求角；

（2）若，且，求的长.

20．（2020·山东省高一期中）如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.

（1）用向量与表示；

（2）用向量与表示，并求出和的值.

21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（理））如图，考虑点，，，，从这个图出发.

（1）推导公式：；

（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.

22．（2020·宝鸡中学高一期中）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

（1）试用向量，表示；

（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.

专题01 第六章 平面向量及其应用（专题测试）

一、单选题

1．（2020·山西省大同一中高一月考）下列结论中正确的是（    ）

①若且，则；

②若，则且；

③若与方向相同且，则；

④若，则与方向相反且.  

A．①③ B．②③

C．③④ D．②④

【答案】B

【解析】由题意，对于①中，由，，则向量与同向或反向，当向量与同向时，可得，当向量与反向时，则，所以不正确的；

对于②中，若，根据相等向量的概念，可得且，所以是正确的；

对于③中，若与方向相同且，根据相等向量的概念，可得，所以是正确的；

对于④中，若，根据向量的概念，则与方向不一定相反且不一定，所以不正确.

故选：B.

2．（2020·上海高二课时练习）已知点是内一点，且，则是的（    ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

【答案】B

【解析】是以、为邻边所作平行四边形的一条对角线，

由平行四边形的性质，得所在直线必过线段的中点，

因为，即．

所以与方向相反，所以所在直线也过线段的中点，

同理可得，、所在直线分别过边、的中点，

因此，为三边中线的交点，即是的重心．

故选：B.

3．（2020·宜丰县第二中学高一月考）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】画出图形，如下图．

选取为基底，则，

∴．

故选C．

4．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）如图中，，，平分线交△ABC的外接圆于点，设，，则向量（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆的半径为，在中，，，

所以，，平分线交的外接圆于点，

所以，

则根据圆的性质，

又因为在中，，

所以四边形为菱形，所以．

故选C．

5．（2020·北京市西城外国语学校高一月考）设向量，的模分别为2和3，且夹角为，则等于（    ）

A． B．13 C． D．19

【答案】C

【解析】

故选：C

6．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知正方形的边长2，，，则为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图，因为正方形的边长为2， , ,，

,

故选：C．

7．（2020·河南省高三三模（文））已知点是内部一点，且满足，又，则的面积为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】，

，

为三角形的重心，

的面积为面积的，

，

，

，

，

面积为，

的面积为。

故选：A．

8．（2020·江苏省徐州一中高三其他）设向量，，且，则（    ）.

A． B．5 C．3 D．

【答案】A

【解析】设

因为，，

所以，即，，，

所以，

因为，

所以，解得，，

故选：A.

二、多选题

9．（2020·山东省高一期中）已知，，则以下结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．的最小值为

【答案】BD

【解析】，则.

对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；

对于B选项，若，则，，，则，，

B选项正确；

对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；

对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.

故选：BD.

10．（2020·山东省高三二模）已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】由，，

可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，

且为的中点，如图所示：

对于A，点P为的三等分点，点为的中点，

所以与不平行，故A错误；

对于B，,

故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，设的高为，，即，

则的面积，故D正确；

故选：BD

11．（2020·山东省高三三模）已知向量，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】由题意，A错；

.B正确，C错误；

，D正确．

故选：BD

12．（2020·山东省高一期中）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则是在的投影向量

D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为

【答案】BCD

【解析】如图所示：

对选项A，，故A错误.

对选项B，

，故B正确.

对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，

由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.

因为，所以为的平分线，

又因为为的中线，所以，如图所示：

在的投影为，

所以是在的投影向量，故选项C正确.

对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，

设，.

又因为，所以.

因为，则，.

令，

当时，取得最大值为.故选项D正确.

故选：BCD

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

13．（2020·上海高二课时练习）已知，若，则______．

【答案】

【解析】

故答案为：

14．（2020·四川省高三三模（文））已知，若，则_____.

【答案】

【解析】

，解得

故答案为：

15．（2020·上海高二课时练习）已知，则向量与的夹角为_______．

【答案】

【解析】因为

所以

所以

所以，又

所以

故答案为：

16．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知向量，，其中，，则_______，与夹角的余弦值为_______.

【答案】10       

【解析】由已知得，

第一空：；

第二空： .

故答案为：10；.

四、解答题

17．（2019·广东省高一期末）已知向量，，函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），，

.

即

∴的最小正周期是.

（2）由，得，

∵，∴，∴，∴.

18．（2020·宁夏回族自治区高三三模（文））设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.

（1）求角C的大小；

（2）若向量与共线，求的周长.

【答案】（1），（2）.

【解析】（1）因为，所以

所以，所以

所以，所以

因为是的内角，所以

（2）因为向量与共线

所以，即

由余弦定理可得，即

解得

所以的周长为

19．（2020·四川省高一月考）在中，角的对边分别是，且向量与向量互相垂直.

（1）求角；

（2）若，且，求的长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由已知得，

由正弦定理可得，

，

，，.

（2）法一：，

，

，

.

法二：在中，由余弦定理得，

，，

，

在直角中，.

20．（2020·山东省高一期中）如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.

（1）用向量与表示；

（2）用向量与表示，并求出和的值.

【答案】（1），（2），

【解析】（1）是线段CD的一个三等分点（靠近C点）.

又D为AB中点，

，

故.

（2）设三点共线，∴存在，使.

由（1）知，.

又C，F，B三点共线，，

即.

.

，即.

，

，

∴，∴．

综上，

21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（理））如图，考虑点，，，，从这个图出发.

（1）推导公式：；

（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.

【答案】（1）推导见解析；（2）证明见解析，

【解析】（1）由三角函数的定义，可得，

根据图象，可得，即，

即.

即.

（2）由（1）可得， ①

②

由①+②可得：

所以，

所以.

22．（2020·宝鸡中学高一期中）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

（1）试用向量，表示；

（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.

【答案】(1) .

(2)证明见解析.

【解析】（1）由，，三点共线，设，由，，三

由，，三点共线，可设 ，

∴，解得，，

∴.

（2）∵，，三点共线，设 ，

由（1）知，，∴，，

∴为定值.

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