【数学】安徽省池州市第二中学2019-2020学年高二10月月考试题

参考答案1.D  2.C  3.B   4.C  5.D  6.D  7.D   8.A  9.A  10.A  11.B  12.B
13.平行14.70° 15.  解：设球的半径为R，则球的体积为V2=R3，
圆柱的体积为V1=πR2•2R=2πR3,  则==．  故答案为．
16.  解：如图所示， 过点A作AF⊥DE，∵平面ADE⊥平面BCD，  ∴AF⊥平面BCD，∴AF⊥BC．
∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC，
又AF∩AD=A，∴BC⊥平面ADE．  ∴BC⊥AE．
∵AB⊥AC，AB=4，AC=3， ∴AE==．
∵DA⊥平面ABC，∴AD⊥AE．
∴DE===．  故答案为．
17.证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，AC，EF平面ABC，
∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC．18.证明：（Ⅰ）PA=PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，
底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，
则PE
（Ⅱ）∵底面ABCD为矩形，
∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
∵
∴AB⊥PD.
又∵AP⊥PD，且,
∴PD⊥平面PAB，
又∵PD平面PCD
∴平面PAB⊥平面PCD.​
（Ⅲ）如图，取PC中点G，连接FG,GD.

F,G分别为PB,PC的中点，
∴FG∥BC，且FG=BC
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ED∥BC，DE=BC，
∴DE∥FG,且ED=FG，∴四边形EFGD为平行四边形，
∴EF∥GD.又EF不在平面PCD内，GD不在平面PCD内，
∴EF∥平面PCD.19.解：设圆锥形容器的底面半径为r米，高为h米，母线为l米，侧面积为S平方米，容积为V立方米，则V＝36π.
(1) 由r＝6，得V＝πr2h＝36π，得h＝3，
所以S＝πrl＝πr＝6π＝18π.
又底面积为πr2＝36π(平方米)，
故该容器的表面积为(18π＋36π)＝18(2＋)π(平方米)．
答：该容器的表面积为18(2＋)π平方米．
(2) 因为V＝πr2h＝36π，得r2＝＝，其中h>0，
所以S＝πrl＝πr＝π＝π＝π
＝π.
记f(h)＝＋h，令f′(h)＝－＋1＝＝0，得h＝6.
当h∈(0，6)时，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；
当h∈(6，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．
所以，当h＝6时，f(h)最小，此时S最小．
答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．20.解：（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．
∵EF=FB，AG=GB，
∴FGEA．
又DCEA，∴FGDC．
∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．
∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：∵EA⊥平面ABC，
∴AE⊥CG．
又△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB．
∴CG⊥平面AEB．
又∵DF∥CG，
∴DF⊥平面AEB．
∴平面AEB⊥平面BDE．
∵AE=AB，EF=FB，
∴AF⊥BE．
∴AF⊥平面BED，
∴AF⊥BD．
（3）解：延长ED交AC延长线于G′，连BG′．由CD=AE，CD∥AE知，D为EG′的中点，
∴FD∥BG′．
又CG⊥平面ABE，FD∥CG．
∴BG′⊥平面ABE．
∴∠EBA为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°．
∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°．21.（本小题共12分）
解：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．
因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'．
又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．
因为CD⊂面ABCD，所以P'A⊥CD．
因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．
所以，，AD=2．所以AC2+CD2=AD2．
所以AC⊥CD．
因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC． …（4分）
（Ⅱ）因为，
P'A⊥面ABCD．
所以．   …（8分）
（Ⅲ）存在一点M，M为P'A的中点，使得BM∥面P'CD，
证明：取P'A中点M，P'D中点N，连结BM，MN，NC，
因为M，N为中点，所以MN∥，因为BC∥，BC=，
所以MN∥BC，MN=BC．
所以四边形BCNM为平行四边形．
所以BM∥CN．
因为BM⊄面P'CD，CN⊂面P'CD．
所以BM∥平面P'CD．…（12分）22.证明：如图所示：

（I）PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥DB，又BD⊥DC，
PD=DC=DB，
∴PC=PB=BC，
∵E是PC的中点，
∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE=E，
∴PC⊥平面BDE，
又PC⊂平面PBC，
∴平面BDE⊥平面PBC．
（Ⅱ）设PD=CD=BD==a，
∴S四边形ABCD==a2，
则VP-ABCD===，∴a=．
∴PC=PD=BC=a=2，
∴S△PBC==，
又S△ABC==2，
∴VP-ABC==，
设A到平面PBC的距离为h，则VA-PBC==．
∵VP-ABC=VA-PBC，
∴h=，
解得h=．