【数学】安徽省池州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中教学质量检测（理）

安徽省池州市第一中学2019-2020学年

高二下学期期中教学质量检测（理）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．复数在复平面对应的点为（1，－1），且，则=（    ）

A．1                  B．            C．2           D．

2．方程表示双曲线的充分不必要条件是（      ）

A．      B．          C．       D．

3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)

A．当n＝4时命题不成立　　　   　B．当n＝6时命题不成立

C．当n＝4时命题成立　　　　   　D．当n＝6时命题成立

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明

   “设”，索的因应是（      ）

A．      B．     C．    D．  

5．已知MN是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则（   ）

A．－1     B．1     C．－2     D．2

6．下面给出的类比推理中，结论正确的有（　　　）

①若数列{an}是等差数列， bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列；类比推出：若数列{cn}是各项都为正数的等比数列， dn＝，则数列{dn}也是等比数列；

②a，b为实数，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z12＋z22＝0，

则z1＝z2＝0；

③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若为三个向量，则；

④在平面内，三角形的两边之和大于第三边；类比推出：在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

⑤若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝；类比推出：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝；

A．①②③　         　B．①④　       　C．③④⑤　    　　D．①④⑤

7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（   ）

A．            B．          C．       D．

8．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（    ）种

A．24              B．36             C．48              D．60

9．奇函数满足，且则不等式的解集为（     ）

A．         B．       C．        D．

10．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为(　　　)

A．R 　         B．R       　  C．R 　         D．R

11．已知双曲线C ，以为圆心，为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且，则C的离心率为（    ）

A．             B．           C．             D．

12．对于函数，下列结论正确的个数为（　　　　）

    ①为减函数   ②存在极小值  ③存在最大值  ④ 无最小值

A．0               B．1              C．2               D．3  

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．函数在上极大值为M，极小值为N，则M－N=　 　　　.

14．，则的最大值为             .

15．池州一中5名党员志愿者报名参加某天教师体温检测工作，现学校安排其中3名志愿者分别负责晨、午、晚检各一人，其中志愿者有早读辅导工作不能安排晨检工作，志愿者有晚自习辅导工作不能安排晚检工作，则共有             种不同安排方法。

16．已知函数有3个零点，则实数的取值范围为               .

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）在平面四边形OABC中，，AC=2，BC=1，，设，

（1）若，求；

（2）求OB长度的最大值。

18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

（2）设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

19．（12分）已知.

（1）若在处取极值，求在点处切线方程；

（2）若函数在区间最小值为－1，求.

20．（12分）在四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，E为线段

BC的中点.

（1）证明；

（2）已知，且二面角A－BD－P的大小为，

     求AD与平面BDP所成角的正弦值.

21．（12分）椭圆E的方程为，A，B为椭圆E的短轴端点，P为椭圆E上除A、B外一点，且直线PA、PB斜率积为，直线与圆O　相切，且与椭圆E交于M、N两点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）证明为定值.

22．（12分）已知函数.

（1）若，求单调区间；

（2）当，在内是否存在极值，若存在求该极值的取值范围.

参考答案

一、选择题

二、填空题

13．      14．        15．39        16．

三、解答题

17．（1）在Rt△OAC中，显然OA⊥OC，，又∠OCB

∴

∴     ………5分

（2）∵      

∴

∴当时，，∴    ………10分

（其它解法参照给分）

18．解：（1）设d为的公差，依题意得       ∴

∴  ，        ……………………5分

（2）由（1）知，假设中存在不同的三项式等比数列，

不妨设（r、s、t互不相等）成等比数列

∴    ∴  

∴  …………8分

由于r、s、t，为无理数，所以   ∴  …10分

得这与矛盾，∴假设不成立，原命题得证   ………………12分

19．解（1）∵，又在处取极值，

∴得，且检验满足题意     ……………………2分

∴，切点为（1，1），切线斜率为

∴在点（1，1）的切线方程为    ……………………5分

（2）∵，令得或

若，则时，在[0，1]为增函数

此时舍去  …………7分

若，则，此时时，在[0，1]为减函数

，得满足题意    ………………9分

若，则，此时时，时

在减，在增，

此时解得舍去  ……11分

综合以上得     ……………………12分

20．（1）证明：依题意△ABC为等边三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC

又PB＝PC，∴PE⊥BC，而     ……………………4分

∴BC⊥平面PAE，又BC平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC  ………………6分

（2）由（1）知BC⊥PA，又PA⊥AB，AB∩BC＝B

∴PA⊥平面ABCD，连接AC，设AC∩BD＝M

由菱形ABCD知，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAM，

∴∠PMA为 二面角A—BD—P的平面角，且∠PMA＝

∴AM＝PA，不妨设菱形ABCD边长为2，∴AM＝PA＝1，AD＝2   ……9分

由BD⊥平面PAM，BD平面PBD知平面PAM⊥平面PBD且交线为PM

过A作AN⊥PM，N为垂足，

∴AN⊥平面PBD

∴∠ADN为直线AD与平面PBD所成角，

在Rt△APM中AN，

在Rt△ADN中，

AD与平面PBD所成角正弦值为      …………12分

（其它解法参照给分）

21．解：（1）设P（）（）为椭圆E上一点，

则，∴，又A（0，1）、B（0，―1）

∴直线PA、PB斜率积为，∴

∴椭圆E的方程为   ……………………5分

（2）联立直线l：与椭圆E：平方消去x   整理得

，设直线l与椭圆E交于M（x1，y1）、N（x2、y2）

则   ①        ②

考虑到直线l与⊙O相切知，∴  ③…………9分

∴

由①②③得

∴为定值0    ……………………12分

22．解：（1）

若，则，当时，，当时

∴增区间为，减区间为（0，1]     ……………………5分

（2）令，则

当时由得即

又（）在（1，+）为增函数

且，，∴

∴在有唯一零点，设为

∴时，时    ……………………7分

∴在（1，x0）为减函数，在为增函数

又，∴，显然时

而，记，而在为增函数

∴，从而，∴

∴在内仅有唯一零点，记为x1，则且，

当时，则，当时，则

∴当时在存在极值    …………………………9分

且为极小值，为极小值点，其中为满足，∴

∴极小值

∴当时，极小值  的取值范围为    …………………………12分