2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 (含解析)

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)

A.－    B.－

C.    D.2

解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.

答案　A

2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)

A.2x＋y－5＝0    B.2x＋y－7＝0

C.x－2y－5＝0    D.x－2y－7＝0

解析　∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，

∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，

∴切线的斜率为－2，

则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.

答案　B

3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)

A.－2    B.－4

C.－6    D.－8

解析　将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.

答案　B

4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)

A.1个    B.2个

C.3个    D.4个

解析　圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.

答案　C

5.(2017·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)

A.y＝－    B.y＝－

C.y＝－    D.y＝－

解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，

将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－. 故选B.

答案　B

二、填空题

6.(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2，

∴A(－3，)，B(0，2).

过A，B作l的垂线方程分别为

y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，

得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.

答案　4

7.(2017·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________.

解析　把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得

(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.

圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.

圆心距d＝＝3.

所以，|PQ|的最小值是3－5.

答案　3－5

8.(2017·贵阳一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.

解析　设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝.

要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.

设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|＝≥＝.

答案　

三、解答题

9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解　(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，

由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，

因为l与C交于两点，所以<1.

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得

(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，

解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在l上，所以|MN|＝2.

10.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.

法一　(1)证明　由

消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，

因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|

＝2＝2 ，

令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，

当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，

所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，

故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.

法二　(1)证明　因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

(2)解　由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.

11.(2017·衡水中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A.1   B.3   C.   D.

解析　x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，

则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，

所以＋＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝±b时取等号.

答案　A

12.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A.－或－   B.－或－

C.－或－    D.－或－

解析　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.

答案　D

13.已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，则m的取值范围为________.

解析　曲线C：x＝－，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP∈[－2，0]，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，

说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，

∴m＝∈[2，3].

答案　[2，3]

14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解　(1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍).

所以圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.